Theorem ordsuc 3895

Description: The successor of an ordinal class is ordinal.

Assertion

Ref	Expression
ordsuc	|- (Ord A <-> Ord suc A)

Proof of Theorem ordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elong 3665	. . . 4 |- (A e. _V -> (A e. On <-> Ord A))
2		suceloni 3894	. . . . 5 |- (A e. On -> suc A e. On)
3		eloni 3667	. . . . 5 |- (suc A e. On -> Ord suc A)
4	2, 3	syl 12	. . . 4 |- (A e. On -> Ord suc A)
5	1, 4	syl6bir 232	. . 3 |- (A e. _V -> (Ord A -> Ord suc A))
6		ordelord 3680	. . . . 5 |- ((Ord suc A /\ A e. suc A) -> Ord A)
7	6	ex 402	. . . 4 |- (Ord suc A -> (A e. suc A -> Ord A))
8		sucidg 3743	. . . 4 |- (A e. _V -> A e. suc A)
9	7, 8	syl5com 63	. . 3 |- (A e. _V -> (Ord suc A -> Ord A))
10	5, 9	impbid 574	. 2 |- (A e. _V -> (Ord A <-> Ord suc A))
11		sucprc 3740	. . . 4 |- (-. A e. _V -> suc A = A)
12	11	eqcomd 1889	. . 3 |- (-. A e. _V -> A = suc A)
13		ordeq 3664	. . 3 |- (A = suc A -> (Ord A <-> Ord suc A))
14	12, 13	syl 12	. 2 |- (-. A e. _V -> (Ord A <-> Ord suc A))
15	10, 14	pm2.61i 140	1 |- (Ord A <-> Ord suc A)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  Ord word 3656  Oncon0 3657  suc csuc 3659

This theorem is referenced by:  ordpwsuc 3896  sucelon 3898  ordsucss 3899  ordsucelsuc 3902  ordsucelsucOLD 3903  ordsucsssuc 3904  ordsucun 3905  onsucuni2 3914  0elsuc 3916  nlimsucg 3923  nlimsucgOLD 3924  limsssuc 3934  php4 5610  axfelem15 14045

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain