Theorem ordsuc 6622

Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordsuc	|- ( Ord A <-> Ord suc A )

Proof of Theorem ordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elong 4875	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A e. On <-> Ord A ) )
2		suceloni 6621	. . . . 5 |- ( A e. On -> suc A e. On )
3		eloni 4877	. . . . 5 |- ( suc A e. On -> Ord suc A )
4	2, 3	syl 16	. . . 4 |- ( A e. On -> Ord suc A )
5	1, 4	syl6bir 229	. . 3 |- ( A e. _V -> ( Ord A -> Ord suc A ) )
6		sucidg 4945	. . . 4 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
7		ordelord 4889	. . . . 5 |- ( ( Ord suc A /\ A e. suc A ) -> Ord A )
8	7	ex 432	. . . 4 |- ( Ord suc A -> ( A e. suc A -> Ord A ) )
9	6, 8	syl5com 30	. . 3 |- ( A e. _V -> ( Ord suc A -> Ord A ) )
10	5, 9	impbid 191	. 2 |- ( A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )
11		sucprc 4942	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> suc A = A )
12	11	eqcomd 2462	. . 3 |- ( -. A e. _V -> A = suc A )
13		ordeq 4874	. . 3 |- ( A = suc A -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )
14	12, 13	syl 16	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )
15	10, 14	pm2.61i 164	1 |- ( Ord A <-> Ord suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   = wceq 1398   e. wcel 1823   _Vcvv 3106   Ord word 4866   Oncon0 4867   suc csuc 4869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-suc 4873

This theorem is referenced by:  ordpwsuc  6623  sucelon  6625  ordsucss  6626  onpsssuc  6627  ordsucelsuc  6630  ordsucsssuc  6631  ordsucuniel  6632  ordsucun  6633  onsucuni2  6642  0elsuc  6643  nlimsucg  6650  limsssuc  6658  php4  7697  cantnflt  8082  cantnfltOLD  8112  fin23lem26  8696  hsmexlem1  8797  onsuct0  30137