Theorem ordsuc 6641

Description: The successor of an ordinal class is ordinal. (Contributed by NM, 3-Apr-1995.)

Assertion

Ref	Expression
ordsuc	|- ( Ord A <-> Ord suc A )

Proof of Theorem ordsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elong 5431	. . . 4 |- ( A e. _V -> ( A e. On <-> Ord A ) )
2		suceloni 6640	. . . . 5 |- ( A e. On -> suc A e. On )
3		eloni 5433	. . . . 5 |- ( suc A e. On -> Ord suc A )
4	2, 3	syl 17	. . . 4 |- ( A e. On -> Ord suc A )
5	1, 4	syl6bir 233	. . 3 |- ( A e. _V -> ( Ord A -> Ord suc A ) )
6		sucidg 5501	. . . 4 |- ( A e. _V -> A e. suc A )
7		ordelord 5445	. . . . 5 |- ( ( Ord suc A /\ A e. suc A ) -> Ord A )
8	7	ex 436	. . . 4 |- ( Ord suc A -> ( A e. suc A -> Ord A ) )
9	6, 8	syl5com 31	. . 3 |- ( A e. _V -> ( Ord suc A -> Ord A ) )
10	5, 9	impbid 194	. 2 |- ( A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )
11		sucprc 5498	. . . 4 |- ( -. A e. _V -> suc A = A )
12	11	eqcomd 2457	. . 3 |- ( -. A e. _V -> A = suc A )
13		ordeq 5430	. . 3 |- ( A = suc A -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )
14	12, 13	syl 17	. 2 |- ( -. A e. _V -> ( Ord A <-> Ord suc A ) )
15	10, 14	pm2.61i 168	1 |- ( Ord A <-> Ord suc A )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 188   = wceq 1444   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   Ord word 5422   Oncon0 5423   suc csuc 5425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pr 4639  ax-un 6583

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-ord 5426  df-on 5427  df-suc 5429

This theorem is referenced by:  ordpwsuc  6642  sucelon  6644  ordsucss  6645  onpsssuc  6646  ordsucelsuc  6649  ordsucsssuc  6650  ordsucuniel  6651  ordsucun  6652  onsucuni2  6661  0elsuc  6662  nlimsucg  6669  limsssuc  6677  php4  7759  cantnflt  8177  fin23lem26  8755  hsmexlem1  8856  onsuct0  31101