Theorem ordsssuc2 3758

Description: An ordinal subset of an ordinal number belongs to its successor. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 12-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordsssuc2	|- ((Ord A /\ B e. On) -> (A C_ B <-> A e. suc B))

Proof of Theorem ordsssuc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elong 3665	. . . . 5 |- (A e. _V -> (A e. On <-> Ord A))
2	1	biimprd 171	. . . 4 |- (A e. _V -> (Ord A -> A e. On))
3	2	anim1d 619	. . 3 |- (A e. _V -> ((Ord A /\ B e. On) -> (A e. On /\ B e. On)))
4		onsssuc 3757	. . 3 |- ((A e. On /\ B e. On) -> (A C_ B <-> A e. suc B))
5	3, 4	syl6 25	. 2 |- (A e. _V -> ((Ord A /\ B e. On) -> (A C_ B <-> A e. suc B)))
6		annim 257	. . . . 5 |- ((B e. On /\ -. A e. _V) <-> -. (B e. On -> A e. _V))
7		ssexg 3457	. . . . . . 7 |- ((A C_ B /\ B e. On) -> A e. _V)
8	7	ex 402	. . . . . 6 |- (A C_ B -> (B e. On -> A e. _V))
9		elisset 2299	. . . . . . 7 |- (A e. suc B -> A e. _V)
10	9	a1d 15	. . . . . 6 |- (A e. suc B -> (B e. On -> A e. _V))
11	8, 10	pm5.21ni 742	. . . . 5 |- (-. (B e. On -> A e. _V) -> (A C_ B <-> A e. suc B))
12	6, 11	sylbi 216	. . . 4 |- ((B e. On /\ -. A e. _V) -> (A C_ B <-> A e. suc B))
13	12	expcom 403	. . 3 |- (-. A e. _V -> (B e. On -> (A C_ B <-> A e. suc B)))
14	13	adantld 426	. 2 |- (-. A e. _V -> ((Ord A /\ B e. On) -> (A C_ B <-> A e. suc B)))
15	5, 14	pm2.61i 140	1 |- ((Ord A /\ B e. On) -> (A C_ B <-> A e. suc B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   C_ wss 2593  Ord word 3656  Oncon0 3657  suc csuc 3659

This theorem is referenced by:  ordunisuc2 3926

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain