Theorem ordssonOLD 3868

Description: Any ordinal class is a subclass of the class of ordinal numbers. Corollary 7.15 of [TakeutiZaring] p. 38.

Assertion

Ref	Expression
ordssonOLD	|- (Ord A -> A C_ On)

Proof of Theorem ordssonOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordon 3863	. . . 4 |- Ord On
2		ordelssne 3685	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord On) -> (A e. On <-> (A C_ On /\ A =/= On)))
3	1, 2	mpan2 760	. . 3 |- (Ord A -> (A e. On <-> (A C_ On /\ A =/= On)))
4		simpl 346	. . 3 |- ((A C_ On /\ A =/= On) -> A C_ On)
5	3, 4	syl6bi 231	. 2 |- (Ord A -> (A e. On -> A C_ On))
6		ordeleqon 3866	. . . . 5 |- (Ord A <-> (A e. On \/ A = On))
7	6	biimpi 168	. . . 4 |- (Ord A -> (A e. On \/ A = On))
8	7	ord 249	. . 3 |- (Ord A -> (-. A e. On -> A = On))
9		eqimss 2665	. . 3 |- (A = On -> A C_ On)
10	8, 9	syl6 25	. 2 |- (Ord A -> (-. A e. On -> A C_ On))
11	5, 10	pm2.61d 141	1 |- (Ord A -> A C_ On)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   C_ wss 2593  Ord word 3656  Oncon0 3657

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661

Copyright terms: Public domain