Theorem ordsseleqOLD 3688

Description: For ordinal classes, subclass is equivalent to membership or equality.

Assertion

Ref	Expression
ordsseleqOLD	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A C_ B <-> (A e. B \/ A = B)))

Proof of Theorem ordsseleqOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelssne 3685	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> (A C_ B /\ A =/= B)))
2	1	biimprd 171	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A C_ B /\ A =/= B) -> A e. B))
3	2	expdimp 406	. . . . 5 |- (((Ord A /\ Ord B) /\ A C_ B) -> (A =/= B -> A e. B))
4	3	necon1bd 2080	. . . 4 |- (((Ord A /\ Ord B) /\ A C_ B) -> (-. A e. B -> A = B))
5	4	orrd 250	. . 3 |- (((Ord A /\ Ord B) /\ A C_ B) -> (A e. B \/ A = B))
6	5	ex 402	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A C_ B -> (A e. B \/ A = B)))
7		simpl 346	. . . . 5 |- ((A C_ B /\ A =/= B) -> A C_ B)
8	1, 7	syl6bi 231	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> A C_ B))
9		eqimss 2665	. . . 4 |- (A = B -> A C_ B)
10	8, 9	jctir 317	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A e. B -> A C_ B) /\ (A = B -> A C_ B)))
11		jaob 467	. . 3 |- (((A e. B \/ A = B) -> A C_ B) <-> ((A e. B -> A C_ B) /\ (A = B -> A C_ B)))
12	10, 11	sylibr 217	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A e. B \/ A = B) -> A C_ B))
13	6, 12	impbid 574	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A C_ B <-> (A e. B \/ A = B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017   C_ wss 2593  Ord word 3656

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660

Copyright terms: Public domain