Theorem ordsseleq 3033

Description: For ordinal classes, subclass is equivalent to membership or equality.

Assertion

Ref	Expression
ordsseleq	|- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> (A e. B \/ A = B)))

Proof of Theorem ordsseleq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelssne 3031	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B <-> (A (_ B /\ A =/= B)))
2	1	biimprd 161	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A (_ B /\ A =/= B) -> A e. B))
3	2	expdimp 384	. . . . 5 |- (((Ord A /\ Ord B) /\ A (_ B) -> (A =/= B -> A e. B))
4	3	necon1bd 1679	. . . 4 |- (((Ord A /\ Ord B) /\ A (_ B) -> (-. A e. B -> A = B))
5	4	orrd 240	. . 3 |- (((Ord A /\ Ord B) /\ A (_ B) -> (A e. B \/ A = B))
6	5	ex 380	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B -> (A e. B \/ A = B)))
7		pm3.26 326	. . . . 5 |- ((A (_ B /\ A =/= B) -> A (_ B)
8	1, 7	syl6bi 221	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A e. B -> A (_ B))
9		eqimss 2160	. . . 4 |- (A = B -> A (_ B)
10	8, 9	jctir 300	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A e. B -> A (_ B) /\ (A = B -> A (_ B)))
11		jaob 431	. . 3 |- (((A e. B \/ A = B) -> A (_ B) <-> ((A e. B -> A (_ B) /\ (A = B -> A (_ B)))
12	10, 11	sylibr 207	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B) -> ((A e. B \/ A = B) -> A (_ B))
13	6, 12	impbid 527	1 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A (_ B <-> (A e. B \/ A = B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   \/ wo 229   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999   =/= wne 1632   (_ wss 2098  Ord word 3004

This theorem is referenced by:  ordtri3or 3036  ordtri1 3037  ordtri2 3039  onsseleq 3056  ordtr2 3059  ordsssuc 3114  ordsucelsuc 3130  ordtri2or 3134  limom 3203

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008

Copyright terms: Public domain