MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordpipq Structured version   Unicode version

Theorem ordpipq 9221
Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ordpipq  |-  ( <. A ,  B >.  <pQ  <. C ,  D >.  <->  ( A  .N  D )  <N 
( C  .N  B
) )

Proof of Theorem ordpipq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opex 4663 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
2 opex 4663 . . 3  |-  <. C ,  D >.  e.  _V
3 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( x  e.  ( N.  X.  N. ) 
<-> 
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
43anbi1d 704 . . . . 5  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) ) )
54anbi1d 704 . . . 4  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  <N 
( ( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) ) )  <-> 
( ( <. A ,  B >.  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  <N 
( ( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) ) ) ) )
6 fveq2 5798 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( 1st `  x
)  =  ( 1st `  <. A ,  B >. ) )
7 opelxp 4976 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)
8 op1stg 6698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A )
97, 8sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A )
109adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( 1st ` 
<. A ,  B >. )  =  A )
116, 10sylan9eq 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. A ,  B >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  ( 1st `  x )  =  A )
1211oveq1d 6214 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. A ,  B >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  ( ( 1st `  x )  .N  ( 2nd `  y
) )  =  ( A  .N  ( 2nd `  y ) ) )
13 fveq2 5798 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( 2nd `  x
)  =  ( 2nd `  <. A ,  B >. ) )
14 op2ndg 6699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B )
157, 14sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B )
1615adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( 2nd ` 
<. A ,  B >. )  =  B )
1713, 16sylan9eq 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. A ,  B >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  ( 2nd `  x )  =  B )
1817oveq2d 6215 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. A ,  B >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  .N  ( 2nd `  x
) )  =  ( ( 1st `  y
)  .N  B ) )
1912, 18breq12d 4412 . . . . 5  |-  ( ( x  =  <. A ,  B >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  ( (
( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  <N 
( ( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) )  <->  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) ) )
2019pm5.32da 641 . . . 4  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( ( 1st `  x )  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) ) )  <-> 
( ( <. A ,  B >.  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) ) ) )
215, 20bitrd 253 . . 3  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  <N 
( ( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) ) )  <-> 
( ( <. A ,  B >.  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) ) ) )
22 eleq1 2526 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( y  e.  ( N.  X.  N. ) 
<-> 
<. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
2322anbi2d 703 . . . . 5  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. )
) ) )
2423anbi1d 704 . . . 4  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) ) ) )
25 fveq2 5798 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( 2nd `  y
)  =  ( 2nd `  <. C ,  D >. ) )
26 opelxp 4976 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)
27 op2ndg 6699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  ->  ( 2nd `  <. C ,  D >. )  =  D )
2826, 27sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 2nd `  <. C ,  D >. )  =  D )
2928adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( 2nd `  <. C ,  D >. )  =  D )
3025, 29sylan9eq 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  <. C ,  D >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( 2nd `  y
)  =  D )
3130oveq2d 6215 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  <. C ,  D >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( A  .N  ( 2nd `  y ) )  =  ( A  .N  D ) )
32 fveq2 5798 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  <. C ,  D >. ) )
33 op1stg 6698 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  ->  ( 1st `  <. C ,  D >. )  =  C )
3426, 33sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 1st `  <. C ,  D >. )  =  C )
3534adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( 1st `  <. C ,  D >. )  =  C )
3632, 35sylan9eq 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  <. C ,  D >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( 1st `  y
)  =  C )
3736oveq1d 6214 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  <. C ,  D >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( ( 1st `  y
)  .N  B )  =  ( C  .N  B ) )
3831, 37breq12d 4412 . . . . 5  |-  ( ( y  =  <. C ,  D >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( ( A  .N  ( 2nd `  y ) )  <N  ( ( 1st `  y )  .N  B )  <->  ( A  .N  D )  <N  ( C  .N  B ) ) )
3938pm5.32da 641 . . . 4  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D )  <N 
( C  .N  B
) ) ) )
4024, 39bitrd 253 . . 3  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D )  <N 
( C  .N  B
) ) ) )
41 df-ltpq 9189 . . 3  |-  <pQ  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  <N 
( ( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) ) ) }
421, 2, 21, 40, 41brab 4718 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  <pQ  <. C ,  D >.  <->  (
( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D
)  <N  ( C  .N  B ) ) )
43 simpr 461 . . 3  |-  ( ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D
)  <N  ( C  .N  B ) )  -> 
( A  .N  D
)  <N  ( C  .N  B ) )
44 ltrelpi 9168 . . . . . 6  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
4544brel 4994 . . . . 5  |-  ( ( A  .N  D ) 
<N  ( C  .N  B
)  ->  ( ( A  .N  D )  e. 
N.  /\  ( C  .N  B )  e.  N. ) )
46 dmmulpi 9170 . . . . . . 7  |-  dom  .N  =  ( N.  X.  N. )
47 0npi 9161 . . . . . . 7  |-  -.  (/)  e.  N.
4846, 47ndmovrcl 6358 . . . . . 6  |-  ( ( A  .N  D )  e.  N.  ->  ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )
4946, 47ndmovrcl 6358 . . . . . 6  |-  ( ( C  .N  B )  e.  N.  ->  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )
5048, 49anim12i 566 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .N  D
)  e.  N.  /\  ( C  .N  B
)  e.  N. )  ->  ( ( A  e. 
N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. ) ) )
51 opelxpi 4978 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
5251ad2ant2rl 748 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  <. A ,  B >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )
53 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  C  e.  N. )
54 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  D  e.  N. )
55 opelxpi 4978 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
5653, 54, 55syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  <. C ,  D >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )
5752, 56jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5845, 50, 573syl 20 . . . 4  |-  ( ( A  .N  D ) 
<N  ( C  .N  B
)  ->  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5958ancri 552 . . 3  |-  ( ( A  .N  D ) 
<N  ( C  .N  B
)  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D )  <N 
( C  .N  B
) ) )
6043, 59impbii 188 . 2  |-  ( ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D
)  <N  ( C  .N  B ) )  <->  ( A  .N  D )  <N  ( C  .N  B ) )
6142, 60bitri 249 1  |-  ( <. A ,  B >.  <pQ  <. C ,  D >.  <->  ( A  .N  D )  <N 
( C  .N  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   <.cop 3990   class class class wbr 4399    X. cxp 4945   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   1stc1st 6684   2ndc2nd 6685   N.cnpi 9121    .N cmi 9123    <N clti 9124    <pQ cltpq 9127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-ral 2803  df-rex 2804  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-fv 5533  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-omul 7034  df-ni 9151  df-mi 9153  df-lti 9154  df-ltpq 9189
This theorem is referenced by:  ordpinq  9222  lterpq  9249  ltanq  9250  ltmnq  9251  1lt2nq  9252
  Copyright terms: Public domain W3C validator