Theorem ordpipq 6208

Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers.

Hypotheses

Ref	Expression
ordpipq.1	|- A e. _V
ordpipq.2	|- B e. _V
ordpipq.3	|- C e. _V
ordpipq.4	|- D e. _V

Assertion

Ref	Expression
ordpipq	|- ([<.A, B>.] ~Q <Q [<.C, D>.] ~Q <-> (A .N D) <N (B .N C))

Proof of Theorem ordpipq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enqex 6200	. 2 |- ~Q e. _V
2		ordpipq.2	. 2 |- B e. _V
3		ordpipq.3	. 2 |- C e. _V
4		ordpipq.4	. 2 |- D e. _V
5		dmenq 6197	. 2 |- dom ~Q = (N. X. N.)
6		df-nq 6190	. 2 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
7		ltrelpq 6203	. 2 |- <Q C_ (Q. X. Q.)
8		ltrelpi 6169	. 2 |- <N C_ (N. X. N.)
9		0npi 6162	. 2 |- -. (/) e. N.
10		dmmulpi 6171	. 2 |- dom .N = (N. X. N.)
11		enqer 6198	. . 3 |- Er ~Q
12		df-ltq 6194	. . 3 |- <Q = {<.x, y>. | ((x e. Q. /\ y e. Q.) /\ E.zE.wE.vE.u((x = [<.z, w>.] ~Q /\ y = [<.v, u>.] ~Q ) /\ (z .N u) <N (w .N v)))}
13		mulclpi 6173	. . . . . . . 8 |- ((B e. N. /\ C e. N.) -> (B .N C) e. N.)
14	13	ad2ant2lr 446	. . . . . . 7 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> (B .N C) e. N.)
15		mulclpi 6173	. . . . . . . 8 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> (w .N v) e. N.)
16	15	ad2ant2lr 446	. . . . . . 7 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> (w .N v) e. N.)
17	14, 16	anim12i 360	. . . . . 6 |- ((((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) /\ ((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.))) -> ((B .N C) e. N. /\ (w .N v) e. N.))
18	17	ancoms 484	. . . . 5 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) /\ ((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> ((B .N C) e. N. /\ (w .N v) e. N.))
19	18	an4s 566	. . . 4 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) /\ ((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> ((B .N C) e. N. /\ (w .N v) e. N.))
20		enqeceq 6199	. . . . . 6 |- (((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) -> ([<.z, w>.] ~Q = [<.A, B>.] ~Q <-> (z .N B) = (w .N A)))
21		enqeceq 6199	. . . . . . 7 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.v, u>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q <-> (v .N D) = (u .N C)))
22		eqcom 1886	. . . . . . 7 |- ((v .N D) = (u .N C) <-> (u .N C) = (v .N D))
23	21, 22	syl6bb 595	. . . . . 6 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.v, u>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q <-> (u .N C) = (v .N D)))
24	20, 23	bi2anan9 694	. . . . 5 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) /\ ((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> (([<.z, w>.] ~Q = [<.A, B>.] ~Q /\ [<.v, u>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q ) <-> ((z .N B) = (w .N A) /\ (u .N C) = (v .N D))))
25		opreq12 4891	. . . . . 6 |- (((z .N B) = (w .N A) /\ (u .N C) = (v .N D)) -> ((z .N B) .N (u .N C)) = ((w .N A) .N (v .N D)))
26		visset 2295	. . . . . . 7 |- z e. _V
27		visset 2295	. . . . . . 7 |- u e. _V
28		visset 2295	. . . . . . . 8 |- x e. _V
29		visset 2295	. . . . . . . 8 |- y e. _V
30	28, 29	mulcompi 6176	. . . . . . 7 |- (x .N y) = (y .N x)
31		visset 2295	. . . . . . . 8 |- f e. _V
32	29, 31	mulasspi 6177	. . . . . . 7 |- ((x .N y) .N f) = (x .N (y .N f))
33	26, 27, 2, 30, 32, 3	caopr4 4997	. . . . . 6 |- ((z .N u) .N (B .N C)) = ((z .N B) .N (u .N C))
34		visset 2295	. . . . . . 7 |- w e. _V
35		visset 2295	. . . . . . 7 |- v e. _V
36		ordpipq.1	. . . . . . 7 |- A e. _V
37	34, 35, 36, 30, 32, 4	caopr4 4997	. . . . . 6 |- ((w .N v) .N (A .N D)) = ((w .N A) .N (v .N D))
38	25, 33, 37	3eqtr4g 1953	. . . . 5 |- (((z .N B) = (w .N A) /\ (u .N C) = (v .N D)) -> ((z .N u) .N (B .N C)) = ((w .N v) .N (A .N D)))
39	24, 38	syl6bi 231	. . . 4 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) /\ ((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> (([<.z, w>.] ~Q = [<.A, B>.] ~Q /\ [<.v, u>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q ) -> ((z .N u) .N (B .N C)) = ((w .N v) .N (A .N D))))
40		oprex 4907	. . . . . 6 |- (z .N u) e. _V
41		oprex 4907	. . . . . 6 |- (B .N C) e. _V
42	28, 29	ltmpi 6183	. . . . . 6 |- (f e. N. -> (x <N y <-> (f .N x) <N (f .N y)))
43		oprex 4907	. . . . . 6 |- (w .N v) e. _V
44		oprex 4907	. . . . . 6 |- (A .N D) e. _V
45	40, 41, 42, 43, 30, 44	caoprord3 4991	. . . . 5 |- ((((B .N C) e. N. /\ (w .N v) e. N.) /\ ((z .N u) .N (B .N C)) = ((w .N v) .N (A .N D))) -> ((z .N u) <N (w .N v) <-> (A .N D) <N (B .N C)))
46	45	ex 402	. . . 4 |- (((B .N C) e. N. /\ (w .N v) e. N.) -> (((z .N u) .N (B .N C)) = ((w .N v) .N (A .N D)) -> ((z .N u) <N (w .N v) <-> (A .N D) <N (B .N C))))
47	19, 39, 46	sylsyld 32	. . 3 |- ((((z e. N. /\ w e. N.) /\ (A e. N. /\ B e. N.)) /\ ((v e. N. /\ u e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.))) -> (([<.z, w>.] ~Q = [<.A, B>.] ~Q /\ [<.v, u>.] ~Q = [<.C, D>.] ~Q ) -> ((z .N u) <N (w .N v) <-> (A .N D) <N (B .N C))))
48	1, 11, 5, 6, 12, 47	brecop 5365	. 2 |- (((A e. N. /\ B e. N.) /\ (C e. N. /\ D e. N.)) -> ([<.A, B>.] ~Q <Q [<.C, D>.] ~Q <-> (A .N D) <N (B .N C)))
49	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 48	brecop2 5366	1 |- ([<.A, B>.] ~Q <Q [<.C, D>.] ~Q <-> (A .N D) <N (B .N C))

Syntax hints:   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  [cec 5316  N.cnpi 6124   .N cmi 6126   <N clti 6127   ~Q ceq 6130  Q.cnq 6131   <Q cltq 6136

This theorem is referenced by:  ltsopq 6227  ltapq 6228  ltmpq 6229  1lt2pq 6230  ltexpq 6232  prlem934b 6290

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-mi 6154  df-lti 6155  df-enq 6189  df-nq 6190  df-ltq 6194

Copyright terms: Public domain