MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordpipq Structured version   Unicode version

Theorem ordpipq 9366
Description: Ordering of positive fractions in terms of positive integers. (Contributed by Mario Carneiro, 8-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ordpipq  |-  ( <. A ,  B >.  <pQ  <. C ,  D >.  <->  ( A  .N  D )  <N 
( C  .N  B
) )

Proof of Theorem ordpipq
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opex 4686 . . 3  |-  <. A ,  B >.  e.  _V
2 opex 4686 . . 3  |-  <. C ,  D >.  e.  _V
3 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( x  e.  ( N.  X.  N. ) 
<-> 
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
43anbi1d 709 . . . . 5  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) ) )
54anbi1d 709 . . . 4  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  <N 
( ( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) ) )  <-> 
( ( <. A ,  B >.  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  <N 
( ( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) ) ) ) )
6 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( 1st `  x
)  =  ( 1st `  <. A ,  B >. ) )
7 opelxp 4884 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)
8 op1stg 6819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A )
97, 8sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 1st `  <. A ,  B >. )  =  A )
109adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( 1st ` 
<. A ,  B >. )  =  A )
116, 10sylan9eq 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. A ,  B >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  ( 1st `  x )  =  A )
1211oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. A ,  B >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  ( ( 1st `  x )  .N  ( 2nd `  y
) )  =  ( A  .N  ( 2nd `  y ) ) )
13 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( 2nd `  x
)  =  ( 2nd `  <. A ,  B >. ) )
14 op2ndg 6820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  ->  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B )
157, 14sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 2nd `  <. A ,  B >. )  =  B )
1615adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  ->  ( 2nd ` 
<. A ,  B >. )  =  B )
1713, 16sylan9eq 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  <. A ,  B >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  ( 2nd `  x )  =  B )
1817oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  <. A ,  B >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  ( ( 1st `  y )  .N  ( 2nd `  x
) )  =  ( ( 1st `  y
)  .N  B ) )
1912, 18breq12d 4439 . . . . 5  |-  ( ( x  =  <. A ,  B >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  ->  ( (
( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  <N 
( ( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) )  <->  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) ) )
2019pm5.32da 645 . . . 4  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( ( 1st `  x )  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) ) )  <-> 
( ( <. A ,  B >.  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) ) ) )
215, 20bitrd 256 . . 3  |-  ( x  =  <. A ,  B >.  ->  ( ( ( x  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  <N 
( ( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) ) )  <-> 
( ( <. A ,  B >.  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) ) ) )
22 eleq1 2501 . . . . . 6  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( y  e.  ( N.  X.  N. ) 
<-> 
<. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
2322anbi2d 708 . . . . 5  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  <->  ( <. A ,  B >.  e.  ( N. 
X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. )
) ) )
2423anbi1d 709 . . . 4  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) ) ) )
25 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( 2nd `  y
)  =  ( 2nd `  <. C ,  D >. ) )
26 opelxp 4884 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) 
<->  ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )
)
27 op2ndg 6820 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  ->  ( 2nd `  <. C ,  D >. )  =  D )
2826, 27sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 2nd `  <. C ,  D >. )  =  D )
2928adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( 2nd `  <. C ,  D >. )  =  D )
3025, 29sylan9eq 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  <. C ,  D >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( 2nd `  y
)  =  D )
3130oveq2d 6321 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  <. C ,  D >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( A  .N  ( 2nd `  y ) )  =  ( A  .N  D ) )
32 fveq2 5881 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( 1st `  y
)  =  ( 1st `  <. C ,  D >. ) )
33 op1stg 6819 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  ->  ( 1st `  <. C ,  D >. )  =  C )
3426, 33sylbi 198 . . . . . . . . 9  |-  ( <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. )  ->  ( 1st `  <. C ,  D >. )  =  C )
3534adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  ->  ( 1st `  <. C ,  D >. )  =  C )
3632, 35sylan9eq 2490 . . . . . . 7  |-  ( ( y  =  <. C ,  D >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( 1st `  y
)  =  C )
3736oveq1d 6320 . . . . . 6  |-  ( ( y  =  <. C ,  D >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( ( 1st `  y
)  .N  B )  =  ( C  .N  B ) )
3831, 37breq12d 4439 . . . . 5  |-  ( ( y  =  <. C ,  D >.  /\  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )  -> 
( ( A  .N  ( 2nd `  y ) )  <N  ( ( 1st `  y )  .N  B )  <->  ( A  .N  D )  <N  ( C  .N  B ) ) )
3938pm5.32da 645 . . . 4  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D )  <N 
( C  .N  B
) ) ) )
4024, 39bitrd 256 . . 3  |-  ( y  =  <. C ,  D >.  ->  ( ( (
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. )
)  /\  ( A  .N  ( 2nd `  y
) )  <N  (
( 1st `  y
)  .N  B ) )  <->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D )  <N 
( C  .N  B
) ) ) )
41 df-ltpq 9334 . . 3  |-  <pQ  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  ( N.  X.  N. )  /\  y  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  (
( 1st `  x
)  .N  ( 2nd `  y ) )  <N 
( ( 1st `  y
)  .N  ( 2nd `  x ) ) ) }
421, 2, 21, 40, 41brab 4744 . 2  |-  ( <. A ,  B >.  <pQ  <. C ,  D >.  <->  (
( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D
)  <N  ( C  .N  B ) ) )
43 simpr 462 . . 3  |-  ( ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D
)  <N  ( C  .N  B ) )  -> 
( A  .N  D
)  <N  ( C  .N  B ) )
44 ltrelpi 9313 . . . . . 6  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
4544brel 4903 . . . . 5  |-  ( ( A  .N  D ) 
<N  ( C  .N  B
)  ->  ( ( A  .N  D )  e. 
N.  /\  ( C  .N  B )  e.  N. ) )
46 dmmulpi 9315 . . . . . . 7  |-  dom  .N  =  ( N.  X.  N. )
47 0npi 9306 . . . . . . 7  |-  -.  (/)  e.  N.
4846, 47ndmovrcl 6469 . . . . . 6  |-  ( ( A  .N  D )  e.  N.  ->  ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. ) )
4946, 47ndmovrcl 6469 . . . . . 6  |-  ( ( C  .N  B )  e.  N.  ->  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. ) )
5048, 49anim12i 568 . . . . 5  |-  ( ( ( A  .N  D
)  e.  N.  /\  ( C  .N  B
)  e.  N. )  ->  ( ( A  e. 
N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. ) ) )
51 opelxpi 4886 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  N.  /\  B  e.  N. )  -> 
<. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
5251ad2ant2rl 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  <. A ,  B >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )
53 simprl 762 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  C  e.  N. )
54 simplr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  D  e.  N. )
55 opelxpi 4886 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  N.  /\  D  e.  N. )  -> 
<. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )
5653, 54, 55syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  <. C ,  D >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )
5752, 56jca 534 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  N.  /\  D  e.  N. )  /\  ( C  e.  N.  /\  B  e.  N. )
)  ->  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5845, 50, 573syl 18 . . . 4  |-  ( ( A  .N  D ) 
<N  ( C  .N  B
)  ->  ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) ) )
5958ancri 554 . . 3  |-  ( ( A  .N  D ) 
<N  ( C  .N  B
)  ->  ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N.  X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D )  <N 
( C  .N  B
) ) )
6043, 59impbii 190 . 2  |-  ( ( ( <. A ,  B >.  e.  ( N.  X.  N. )  /\  <. C ,  D >.  e.  ( N. 
X.  N. ) )  /\  ( A  .N  D
)  <N  ( C  .N  B ) )  <->  ( A  .N  D )  <N  ( C  .N  B ) )
6142, 60bitri 252 1  |-  ( <. A ,  B >.  <pQ  <. C ,  D >.  <->  ( A  .N  D )  <N 
( C  .N  B
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   <.cop 4008   class class class wbr 4426    X. cxp 4852   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1stc1st 6805   2ndc2nd 6806   N.cnpi 9268    .N cmi 9270    <N clti 9271    <pQ cltpq 9274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-omul 7195  df-ni 9296  df-mi 9298  df-lti 9299  df-ltpq 9334
This theorem is referenced by:  ordpinq  9367  lterpq  9394  ltanq  9395  ltmnq  9396  1lt2nq  9397
  Copyright terms: Public domain W3C validator