MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordon Unicode version

Theorem ordon 4465
Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 17-May-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordon  |-  Ord  On

Proof of Theorem ordon
StepHypRef Expression
1 tron 4308 . 2  |-  Tr  On
2 onfr 4324 . . 3  |-  _E  Fr  On
3 eloni 4295 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  Ord  x )
4 eloni 4295 . . . . 5  |-  ( y  e.  On  ->  Ord  y )
5 ordtri3or 4317 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  y )  ->  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) )
6 epel 4201 . . . . . . 7  |-  ( x  _E  y  <->  x  e.  y )
7 biid 229 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  <->  x  =  y )
8 epel 4201 . . . . . . 7  |-  ( y  _E  x  <->  y  e.  x )
96, 7, 83orbi123i 1146 . . . . . 6  |-  ( ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x )  <-> 
( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) )
105, 9sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( Ord  x  /\  Ord  y )  ->  (
x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x ) )
113, 4, 10syl2an 465 . . . 4  |-  ( ( x  e.  On  /\  y  e.  On )  ->  ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x
) )
1211rgen2a 2571 . . 3  |-  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x )
13 dfwe2 4464 . . 3  |-  (  _E  We  On  <->  (  _E  Fr  On  /\  A. x  e.  On  A. y  e.  On  ( x  _E  y  \/  x  =  y  \/  y  _E  x ) ) )
142, 12, 13mpbir2an 891 . 2  |-  _E  We  On
15 df-ord 4288 . 2  |-  ( Ord 
On 
<->  ( Tr  On  /\  _E  We  On ) )
161, 14, 15mpbir2an 891 1  |-  Ord  On
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    /\ wa 360    \/ w3o 938    = wceq 1619    e. wcel 1621   A.wral 2509   class class class wbr 3920   Tr wtr 4010    _E cep 4196    Fr wfr 4242    We wwe 4244   Ord word 4284   Oncon0 4285
This theorem is referenced by:  epweon  4466  onprc  4467  ssorduni  4468  ordeleqon  4471  ordsson  4472  onint  4477  suceloni  4495  limon  4518  tfi  4535  ordom  4556  ordtypelem2  7118  hartogs  7143  card2on  7152  tskwe  7467  alephsmo  7613  ondomon  8067  tartarmap  25054  dford3lem2  26286  dford3  26287
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-br 3921  df-opab 3975  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289
  Copyright terms: Public domain W3C validator