Theorem ordon 3044

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity.

Assertion

Ref	Expression
ordon	|- Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ord 3008	. 2 |- (Ord On <-> (Tr On /\ E We On))
2		dftr3 2739	. . 3 |- (Tr On <-> A.x e. On x (_ On)
3		ordelord 3027	. . . . . . 7 |- ((Ord x /\ y e. x) -> Ord y)
4		visset 1860	. . . . . . . 8 |- x e. V
5	4	elon 3014	. . . . . . 7 |- (x e. On <-> Ord x)
6	3, 5	sylanb 460	. . . . . 6 |- ((x e. On /\ y e. x) -> Ord y)
7	6	ex 380	. . . . 5 |- (x e. On -> (y e. x -> Ord y))
8		visset 1860	. . . . . 6 |- y e. V
9	8	elon 3014	. . . . 5 |- (y e. On <-> Ord y)
10	7, 9	syl6ibr 220	. . . 4 |- (x e. On -> (y e. x -> y e. On))
11	10	ssrdv 2121	. . 3 |- (x e. On -> x (_ On)
12	2, 11	mprgbir 1748	. 2 |- Tr On
13		dfwe2 2992	. . 3 |- (E We On <-> (E Fr On /\ A.x e. On A.y e. On (xEy \/ x = y \/ yEx)))
14		onfr 3043	. . 3 |- E Fr On
15		ordtri3or 3036	. . . . . 6 |- ((Ord x /\ Ord y) -> (x e. y \/ x = y \/ y e. x))
16		epel 2890	. . . . . . 7 |- (xEy <-> x e. y)
17		pm4.2 177	. . . . . . 7 |- (x = y <-> x = y)
18		epel 2890	. . . . . . 7 |- (yEx <-> y e. x)
19	16, 17, 18	3orbi123i 835	. . . . . 6 |- ((xEy \/ x = y \/ yEx) <-> (x e. y \/ x = y \/ y e. x))
20	15, 19	sylibr 207	. . . . 5 |- ((Ord x /\ Ord y) -> (xEy \/ x = y \/ yEx))
21		eloni 3015	. . . . 5 |- (x e. On -> Ord x)
22		eloni 3015	. . . . 5 |- (y e. On -> Ord y)
23	20, 21, 22	syl2an 465	. . . 4 |- ((x e. On /\ y e. On) -> (xEy \/ x = y \/ yEx))
24	23	rgen2a 1746	. . 3 |- A.x e. On A.y e. On (xEy \/ x = y \/ yEx)
25	13, 14, 24	mpbir2an 742	. 2 |- E We On
26	1, 12, 25	mpbir2an 742	1 |- Ord On

Syntax hints:   /\ wa 230   \/ w3o 786   = wceq 997   e. wcel 999  A.wral 1692   (_ wss 2098   class class class wbr 2674  Tr wtr 2735  Ecep 2886   Fr wfr 2972   We wwe 2973  Ord word 3004  Oncon0 3005

This theorem is referenced by:  epweon 3045  onprc 3046  ordeleqon 3047  ordsson 3048  ssorduni 3050  onint 3063  suceloni 3119  limon 3151  onuninsuci 3165  tfi 3183  ordom 3198  ondomon 4921

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3or 788  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-tp 2467  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009

Copyright terms: Public domain