Theorem ordon 3863

Description: The class of all ordinal numbers is ordinal. Proposition 7.12 of [TakeutiZaring] p. 38, but without using the Axiom of Regularity.

Assertion

Ref	Expression
ordon	|- Ord On

Proof of Theorem ordon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ord 3660	. 2 |- (Ord On <-> (Tr On /\ _E We On))
2		tron 3681	. 2 |- Tr On
3		dfwe2 3861	. . 3 |- ( _E We On <-> ( _E Fr On /\ A.x e. On A.y e. On (x _E y \/ x = y \/ y _E x)))
4		onfr 3702	. . 3 |- _E Fr On
5		ordtri3or 3691	. . . . . 6 |- ((Ord x /\ Ord y) -> (x e. y \/ x = y \/ y e. x))
6		epel 3585	. . . . . . 7 |- (x _E y <-> x e. y)
7		biid 187	. . . . . . 7 |- (x = y <-> x = y)
8		epel 3585	. . . . . . 7 |- (y _E x <-> y e. x)
9	6, 7, 8	3orbi123i 1057	. . . . . 6 |- ((x _E y \/ x = y \/ y _E x) <-> (x e. y \/ x = y \/ y e. x))
10	5, 9	sylibr 217	. . . . 5 |- ((Ord x /\ Ord y) -> (x _E y \/ x = y \/ y _E x))
11		eloni 3667	. . . . 5 |- (x e. On -> Ord x)
12		eloni 3667	. . . . 5 |- (y e. On -> Ord y)
13	10, 11, 12	syl2an 503	. . . 4 |- ((x e. On /\ y e. On) -> (x _E y \/ x = y \/ y _E x))
14	13	rgen2a 2160	. . 3 |- A.x e. On A.y e. On (x _E y \/ x = y \/ y _E x)
15	3, 4, 14	mpbir2an 800	. 2 |- _E We On
16	1, 2, 15	mpbir2an 800	1 |- Ord On

Syntax hints:   /\ wa 240   \/ w3o 857   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105   class class class wbr 3338  Tr wtr 3411   _E cep 3581   Fr wfr 3623   We wwe 3624  Ord word 3656  Oncon0 3657

This theorem is referenced by:  epweon 3864  onprc 3865  ordeleqon 3866  ordsson 3867  ordssonOLD 3868  ssorduni 3870  ssorduniOLD 3871  onint 3876  suceloni 3894  limon 3917  tfi 3937  ordom 3960  ordomOLD 3961  hartog 5693  ondomon 6008  tartarmap 15265  hartogOLD 15384

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661

Copyright terms: Public domain