Theorem ordomOLD 3961

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43.

Assertion

Ref	Expression
ordomOLD	|- Ord om

Proof of Theorem ordomOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 3413	. . 3 |- (Tr om <-> A.yA.x((y e. x /\ x e. om) -> y e. om))
2		visset 2295	. . . . . 6 |- y e. _V
3	2	elom 3952	. . . . 5 |- (y e. om <-> (Ord y /\ A.z(Lim z -> y e. z)))
4		ordelord 3680	. . . . . . 7 |- ((Ord x /\ y e. x) -> Ord y)
5		nnord 3959	. . . . . . 7 |- (x e. om -> Ord x)
6	4, 5	sylan 497	. . . . . 6 |- ((x e. om /\ y e. x) -> Ord y)
7	6	ancoms 484	. . . . 5 |- ((y e. x /\ x e. om) -> Ord y)
8		trel 3418	. . . . . . . . . . . 12 |- (Tr z -> ((y e. x /\ x e. z) -> y e. z))
9	8	exp3a 405	. . . . . . . . . . 11 |- (Tr z -> (y e. x -> (x e. z -> y e. z)))
10	9	com12 14	. . . . . . . . . 10 |- (y e. x -> (Tr z -> (x e. z -> y e. z)))
11		limord 3723	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim z -> Ord z)
12		ordtr 3672	. . . . . . . . . . 11 |- (Ord z -> Tr z)
13	11, 12	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (Lim z -> Tr z)
14	10, 13	syl5 20	. . . . . . . . 9 |- (y e. x -> (Lim z -> (x e. z -> y e. z)))
15	14	a2d 16	. . . . . . . 8 |- (y e. x -> ((Lim z -> x e. z) -> (Lim z -> y e. z)))
16	15	alimdv 1668	. . . . . . 7 |- (y e. x -> (A.z(Lim z -> x e. z) -> A.z(Lim z -> y e. z)))
17		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
18	17	elom 3952	. . . . . . . 8 |- (x e. om <-> (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)))
19	18	simprbi 353	. . . . . . 7 |- (x e. om -> A.z(Lim z -> x e. z))
20	16, 19	syl5 20	. . . . . 6 |- (y e. x -> (x e. om -> A.z(Lim z -> y e. z)))
21	20	imp 377	. . . . 5 |- ((y e. x /\ x e. om) -> A.z(Lim z -> y e. z))
22	3, 7, 21	sylanbrc 527	. . . 4 |- ((y e. x /\ x e. om) -> y e. om)
23	22	ax-gen 1305	. . 3 |- A.x((y e. x /\ x e. om) -> y e. om)
24	1, 23	mpgbir 1334	. 2 |- Tr om
25		omsson 3954	. 2 |- om C_ On
26		ordon 3863	. 2 |- Ord On
27		trssord 3675	. 2 |- ((Tr om /\ om C_ On /\ Ord On) -> Ord om)
28	24, 25, 26, 27	mp3an 1191	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   e. wcel 1300   C_ wss 2593  Tr wtr 3411  Ord word 3656  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  omcom 3949

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950

Copyright terms: Public domain