Theorem ordom 6598

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 4498	. . 3 |- ( Tr om <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. om ) -> y e. om ) )
2		onelon 4855	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
3	2	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( y e. x -> ( x e. On -> y e. On ) )
4		limord 4889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim z -> Ord z )
5		ordtr 4844	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord z -> Tr z )
6		trel 4503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr z -> ( ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. z ) )
7	4, 5, 6	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim z -> ( ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. z ) )
8	7	expd 436	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim z -> ( y e. x -> ( x e. z -> y e. z ) ) )
9	8	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( y e. x -> ( Lim z -> ( x e. z -> y e. z ) ) )
10	9	a2d 26	. . . . . . . 8 |- ( y e. x -> ( ( Lim z -> x e. z ) -> ( Lim z -> y e. z ) ) )
11	10	alimdv 1676	. . . . . . 7 |- ( y e. x -> ( A. z ( Lim z -> x e. z ) -> A. z ( Lim z -> y e. z ) ) )
12	3, 11	anim12d 563	. . . . . 6 |- ( y e. x -> ( ( x e. On /\ A. z ( Lim z -> x e. z ) ) -> ( y e. On /\ A. z ( Lim z -> y e. z ) ) ) )
13		elom 6592	. . . . . 6 |- ( x e. om <-> ( x e. On /\ A. z ( Lim z -> x e. z ) ) )
14		elom 6592	. . . . . 6 |- ( y e. om <-> ( y e. On /\ A. z ( Lim z -> y e. z ) ) )
15	12, 13, 14	3imtr4g 270	. . . . 5 |- ( y e. x -> ( x e. om -> y e. om ) )
16	15	imp 429	. . . 4 |- ( ( y e. x /\ x e. om ) -> y e. om )
17	16	ax-gen 1592	. . 3 |- A. x ( ( y e. x /\ x e. om ) -> y e. om )
18	1, 17	mpgbir 1596	. 2 |- Tr om
19		omsson 6593	. 2 |- om C_ On
20		ordon 6507	. 2 |- Ord On
21		trssord 4847	. 2 |- ( ( Tr om /\ om C_ On /\ Ord On ) -> Ord om )
22	18, 19, 20, 21	mp3an 1315	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1368   e. wcel 1758   C_ wss 3439   Tr wtr 4496   Ord word 4829   Oncon0 4830   Lim wlim 4831   omcom 6589

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642  ax-un 6485

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-om 6590

This theorem is referenced by:  elnn  6599  omon  6600  limom  6604  ssnlim  6607  peano5  6612  nnarcl  7168  nnawordex  7189  oaabslem  7195  oaabs2  7197  omabslem  7198  onomeneq  7614  ominf  7639  findcard3  7669  nnsdomg  7685  dffi3  7795  wofib  7873  alephgeom  8366  iscard3  8377  iunfictbso  8398  unctb  8488  ackbij2lem1  8502  ackbij1lem3  8505  ackbij1lem18  8520  ackbij2  8526  cflim2  8546  fin23lem26  8608  fin23lem23  8609  fin23lem27  8611  fin67  8678  alephexp1  8857  pwfseqlem3  8941  pwcdandom  8948  winainflem  8974  wunex2  9019  om2uzoi  11898  ltweuz  11904  fz1isolem  12335  mreexexd  14708  1stcrestlem  19191  omsinds  27844  hfuni  28386  hfninf  28388