Theorem ordom 6694

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 4542	. . 3 |- ( Tr om <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. om ) -> y e. om ) )
2		onelon 4903	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
3	2	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( y e. x -> ( x e. On -> y e. On ) )
4		limord 4937	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim z -> Ord z )
5		ordtr 4892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord z -> Tr z )
6		trel 4547	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr z -> ( ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. z ) )
7	4, 5, 6	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim z -> ( ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. z ) )
8	7	expd 436	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim z -> ( y e. x -> ( x e. z -> y e. z ) ) )
9	8	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( y e. x -> ( Lim z -> ( x e. z -> y e. z ) ) )
10	9	a2d 26	. . . . . . . 8 |- ( y e. x -> ( ( Lim z -> x e. z ) -> ( Lim z -> y e. z ) ) )
11	10	alimdv 1685	. . . . . . 7 |- ( y e. x -> ( A. z ( Lim z -> x e. z ) -> A. z ( Lim z -> y e. z ) ) )
12	3, 11	anim12d 563	. . . . . 6 |- ( y e. x -> ( ( x e. On /\ A. z ( Lim z -> x e. z ) ) -> ( y e. On /\ A. z ( Lim z -> y e. z ) ) ) )
13		elom 6688	. . . . . 6 |- ( x e. om <-> ( x e. On /\ A. z ( Lim z -> x e. z ) ) )
14		elom 6688	. . . . . 6 |- ( y e. om <-> ( y e. On /\ A. z ( Lim z -> y e. z ) ) )
15	12, 13, 14	3imtr4g 270	. . . . 5 |- ( y e. x -> ( x e. om -> y e. om ) )
16	15	imp 429	. . . 4 |- ( ( y e. x /\ x e. om ) -> y e. om )
17	16	ax-gen 1601	. . 3 |- A. x ( ( y e. x /\ x e. om ) -> y e. om )
18	1, 17	mpgbir 1605	. 2 |- Tr om
19		omsson 6689	. 2 |- om C_ On
20		ordon 6603	. 2 |- Ord On
21		trssord 4895	. 2 |- ( ( Tr om /\ om C_ On /\ Ord On ) -> Ord om )
22	18, 19, 20, 21	mp3an 1324	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1377   e. wcel 1767   C_ wss 3476   Tr wtr 4540   Ord word 4877   Oncon0 4878   Lim wlim 4879   omcom 6685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-om 6686

This theorem is referenced by:  elnn  6695  omon  6696  limom  6700  ssnlim  6703  peano5  6708  nnarcl  7266  nnawordex  7287  oaabslem  7293  oaabs2  7295  omabslem  7296  onomeneq  7708  ominf  7733  findcard3  7764  nnsdomg  7780  dffi3  7892  wofib  7971  alephgeom  8464  iscard3  8475  iunfictbso  8496  unctb  8586  ackbij2lem1  8600  ackbij1lem3  8603  ackbij1lem18  8618  ackbij2  8624  cflim2  8644  fin23lem26  8706  fin23lem23  8707  fin23lem27  8709  fin67  8776  alephexp1  8955  pwfseqlem3  9039  pwcdandom  9046  winainflem  9072  wunex2  9117  om2uzoi  12035  ltweuz  12041  fz1isolem  12477  mreexexd  14906  1stcrestlem  19759  omsinds  29152  hfuni  29694  hfninf  29696