Theorem ordom 6690

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (Contributed by NM, 18-Oct-1995.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 4528	. . 3 |- ( Tr om <-> A. y A. x ( ( y e. x /\ x e. om ) -> y e. om ) )
2		onelon 4889	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. On /\ y e. x ) -> y e. On )
3	2	expcom 435	. . . . . . 7 |- ( y e. x -> ( x e. On -> y e. On ) )
4		limord 4923	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim z -> Ord z )
5		ordtr 4878	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord z -> Tr z )
6		trel 4533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr z -> ( ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. z ) )
7	4, 5, 6	3syl 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim z -> ( ( y e. x /\ x e. z ) -> y e. z ) )
8	7	expd 436	. . . . . . . . . 10 |- ( Lim z -> ( y e. x -> ( x e. z -> y e. z ) ) )
9	8	com12 31	. . . . . . . . 9 |- ( y e. x -> ( Lim z -> ( x e. z -> y e. z ) ) )
10	9	a2d 26	. . . . . . . 8 |- ( y e. x -> ( ( Lim z -> x e. z ) -> ( Lim z -> y e. z ) ) )
11	10	alimdv 1694	. . . . . . 7 |- ( y e. x -> ( A. z ( Lim z -> x e. z ) -> A. z ( Lim z -> y e. z ) ) )
12	3, 11	anim12d 563	. . . . . 6 |- ( y e. x -> ( ( x e. On /\ A. z ( Lim z -> x e. z ) ) -> ( y e. On /\ A. z ( Lim z -> y e. z ) ) ) )
13		elom 6684	. . . . . 6 |- ( x e. om <-> ( x e. On /\ A. z ( Lim z -> x e. z ) ) )
14		elom 6684	. . . . . 6 |- ( y e. om <-> ( y e. On /\ A. z ( Lim z -> y e. z ) ) )
15	12, 13, 14	3imtr4g 270	. . . . 5 |- ( y e. x -> ( x e. om -> y e. om ) )
16	15	imp 429	. . . 4 |- ( ( y e. x /\ x e. om ) -> y e. om )
17	16	ax-gen 1603	. . 3 |- A. x ( ( y e. x /\ x e. om ) -> y e. om )
18	1, 17	mpgbir 1607	. 2 |- Tr om
19		omsson 6685	. 2 |- om C_ On
20		ordon 6599	. 2 |- Ord On
21		trssord 4881	. 2 |- ( ( Tr om /\ om C_ On /\ Ord On ) -> Ord om )
22	18, 19, 20, 21	mp3an 1323	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1379   e. wcel 1802   C_ wss 3458   Tr wtr 4526   Ord word 4863   Oncon0 4864   Lim wlim 4865   omcom 6681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pr 4672  ax-un 6573

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-om 6682

This theorem is referenced by:  elnn  6691  omon  6692  limom  6696  ssnlim  6699  peano5  6704  nnarcl  7263  nnawordex  7284  oaabslem  7290  oaabs2  7292  omabslem  7293  onomeneq  7705  ominf  7730  findcard3  7761  nnsdomg  7777  dffi3  7889  wofib  7968  alephgeom  8461  iscard3  8472  iunfictbso  8493  unctb  8583  ackbij2lem1  8597  ackbij1lem3  8600  ackbij1lem18  8615  ackbij2  8621  cflim2  8641  fin23lem26  8703  fin23lem23  8704  fin23lem27  8706  fin67  8773  alephexp1  8952  pwfseqlem3  9036  pwcdandom  9043  winainflem  9069  wunex2  9114  om2uzoi  12040  ltweuz  12046  fz1isolem  12484  mreexexd  14917  1stcrestlem  19819  omsinds  29267  hfuni  29809  hfninf  29811