Theorem ordom 3960

Description: Omega is ordinal. Theorem 7.32 of [TakeutiZaring] p. 43. (The proof was shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ordom	|- Ord om

Proof of Theorem ordom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr2 3413	. . 3 |- (Tr om <-> A.yA.x((y e. x /\ x e. om) -> y e. om))
2		ordelord 3680	. . . . . . . 8 |- ((Ord x /\ y e. x) -> Ord y)
3	2	expcom 403	. . . . . . 7 |- (y e. x -> (Ord x -> Ord y))
4		limord 3723	. . . . . . . . . . . 12 |- (Lim z -> Ord z)
5		ordtr 3672	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord z -> Tr z)
6		trel 3418	. . . . . . . . . . . 12 |- (Tr z -> ((y e. x /\ x e. z) -> y e. z))
7	4, 5, 6	3syl 24	. . . . . . . . . . 11 |- (Lim z -> ((y e. x /\ x e. z) -> y e. z))
8	7	exp3a 405	. . . . . . . . . 10 |- (Lim z -> (y e. x -> (x e. z -> y e. z)))
9	8	com12 14	. . . . . . . . 9 |- (y e. x -> (Lim z -> (x e. z -> y e. z)))
10	9	a2d 16	. . . . . . . 8 |- (y e. x -> ((Lim z -> x e. z) -> (Lim z -> y e. z)))
11	10	alimdv 1668	. . . . . . 7 |- (y e. x -> (A.z(Lim z -> x e. z) -> A.z(Lim z -> y e. z)))
12	3, 11	anim12d 617	. . . . . 6 |- (y e. x -> ((Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)) -> (Ord y /\ A.z(Lim z -> y e. z))))
13		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
14	13	elom 3952	. . . . . 6 |- (x e. om <-> (Ord x /\ A.z(Lim z -> x e. z)))
15		visset 2295	. . . . . . 7 |- y e. _V
16	15	elom 3952	. . . . . 6 |- (y e. om <-> (Ord y /\ A.z(Lim z -> y e. z)))
17	12, 14, 16	3imtr4g 612	. . . . 5 |- (y e. x -> (x e. om -> y e. om))
18	17	imp 377	. . . 4 |- ((y e. x /\ x e. om) -> y e. om)
19	18	ax-gen 1305	. . 3 |- A.x((y e. x /\ x e. om) -> y e. om)
20	1, 19	mpgbir 1334	. 2 |- Tr om
21		omsson 3954	. 2 |- om C_ On
22		ordon 3863	. 2 |- Ord On
23		trssord 3675	. 2 |- ((Tr om /\ om C_ On /\ Ord On) -> Ord om)
24	20, 21, 22, 23	mp3an 1191	1 |- Ord om

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   e. wcel 1300   C_ wss 2593  Tr wtr 3411  Ord word 3656  Oncon0 3657  Lim wlim 3658  omcom 3949

This theorem is referenced by:  elnn 3962  omon 3963  limom 3967  ssnlim 3970  peano5 3975  nnarcl 5287  oaabslem 5308  oaabs 5309  onomeneq 5612  ominf 5622  omsdomnn 5623  omsublim 5887  alephgeom 6030  iscard3 6036  omsublimOLD 15396

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950

Copyright terms: Public domain