Theorem ordnbtwn 3761

Description: There is no set between an ordinal class and its successor. Generalized Proposition 7.25 of [TakeutiZaring] p. 41.

Assertion

Ref	Expression
ordnbtwn	|- (Ord A -> -. (A e. B /\ B e. suc A))

Proof of Theorem ordnbtwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioran 331	. . 3 |- (-. ((A e. B /\ B e. A) \/ A e. A) <-> (-. (A e. B /\ B e. A) /\ -. A e. A))
2		ordn2lp 3678	. . 3 |- (Ord A -> -. (A e. B /\ B e. A))
3		ordirr 3676	. . 3 |- (Ord A -> -. A e. A)
4	1, 2, 3	sylanbrc 527	. 2 |- (Ord A -> -. ((A e. B /\ B e. A) \/ A e. A))
5		elsuci 3731	. . . . 5 |- (B e. suc A -> (B e. A \/ B = A))
6	5	anim2i 362	. . . 4 |- ((A e. B /\ B e. suc A) -> (A e. B /\ (B e. A \/ B = A)))
7		andi 665	. . . 4 |- ((A e. B /\ (B e. A \/ B = A)) <-> ((A e. B /\ B e. A) \/ (A e. B /\ B = A)))
8	6, 7	sylib 215	. . 3 |- ((A e. B /\ B e. suc A) -> ((A e. B /\ B e. A) \/ (A e. B /\ B = A)))
9		eleq2 1958	. . . . 5 |- (B = A -> (A e. B <-> A e. A))
10	9	biimpac 462	. . . 4 |- ((A e. B /\ B = A) -> A e. A)
11	10	orim2i 365	. . 3 |- (((A e. B /\ B e. A) \/ (A e. B /\ B = A)) -> ((A e. B /\ B e. A) \/ A e. A))
12	8, 11	syl 12	. 2 |- ((A e. B /\ B e. suc A) -> ((A e. B /\ B e. A) \/ A e. A))
13	4, 12	nsyl 131	1 |- (Ord A -> -. (A e. B /\ B e. suc A))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  Ord word 3656  suc csuc 3659

This theorem is referenced by:  onnbtwn 3762  ordsucss 3899

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-suc 3663

Copyright terms: Public domain