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Theorem ordiso2 8039
Description: Generalize ordiso 8040 to proper classes. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordiso2  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  A  =  B )

Proof of Theorem ordiso2
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordsson 6630 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  A  C_  On )
213ad2ant2 1027 . . . . 5  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  A  C_  On )
32sseld 3463 . . . 4  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
x  e.  A  ->  x  e.  On )
)
4 eleq1 2495 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
5 fveq2 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
6 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  x  =  y )
75, 6eqeq12d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  =  x  <->  ( F `  y )  =  y ) )
84, 7imbi12d 321 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  A  ->  ( F `  x
)  =  x )  <-> 
( y  e.  A  ->  ( F `  y
)  =  y ) ) )
98imbi2d 317 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( F `
 x )  =  x ) )  <->  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
y  e.  A  -> 
( F `  y
)  =  y ) ) ) )
10 r19.21v 2827 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  (
( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
y  e.  A  -> 
( F `  y
)  =  y ) )  <->  ( ( F 
Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( F `
 y )  =  y ) ) )
11 ordelss 5458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Ord  A  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  A )
12113ad2antl2 1168 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  x  e.  A )  ->  x  C_  A )
1312sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  y  e.  A )
14 pm5.5 337 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  A  ->  (
( y  e.  A  ->  ( F `  y
)  =  y )  <-> 
( F `  y
)  =  y ) )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  x  e.  A )  /\  y  e.  x )  ->  (
( y  e.  A  ->  ( F `  y
)  =  y )  <-> 
( F `  y
)  =  y ) )
1615ralbidva 2858 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( F `  y
)  =  y )  <->  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )
17 isof1o 6231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F 
Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B
)
18173ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
1918ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  F : A -1-1-onto-> B )
20 simpll3 1046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  Ord  B )
21 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  z  e.  ( F `  x
) )
22 f1of 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A
--> B )
2317, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F 
Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  ->  F : A --> B )
24233ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  F : A --> B )
2524ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  F : A --> B )
26 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  x  e.  A )
27 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x
)  e.  B )
2825, 26, 27syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  ( F `  x )  e.  B )
2921, 28jca 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  (
z  e.  ( F `
 x )  /\  ( F `  x )  e.  B ) )
30 ordtr1 5485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( Ord 
B  ->  ( (
z  e.  ( F `
 x )  /\  ( F `  x )  e.  B )  -> 
z  e.  B ) )
3120, 29, 30sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  z  e.  B )
32 f1ocnvfv2 6191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : A -1-1-onto-> B  /\  z  e.  B )  ->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  z )
3319, 31, 32syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  z )
3433, 21eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  e.  ( F `
 x ) )
35 simpll1 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )
)
36 f1ocnv 5843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  `' F : B -1-1-onto-> A )
37 f1of 5831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( `' F : B -1-1-onto-> A  ->  `' F : B --> A )
3819, 36, 373syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  `' F : B --> A )
39 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( `' F : B --> A  /\  z  e.  B )  ->  ( `' F `  z )  e.  A
)
4038, 31, 39syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  A )
41 isorel 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  ( ( `' F `  z )  e.  A  /\  x  e.  A ) )  -> 
( ( `' F `  z )  _E  x  <->  ( F `  ( `' F `  z ) )  _E  ( F `
 x ) ) )
4235, 40, 26, 41syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  (
( `' F `  z )  _E  x  <->  ( F `  ( `' F `  z ) )  _E  ( F `
 x ) ) )
43 vex 3083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
4443epelc 4766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( `' F `  z )  _E  x  <->  ( `' F `  z )  e.  x )
45 fvex 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
4645epelc 4766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F `  ( `' F `  z ) )  _E  ( F `
 x )  <->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F `  x
) )
4742, 44, 463bitr3g 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  (
( `' F `  z )  e.  x  <->  ( F `  ( `' F `  z ) )  e.  ( F `
 x ) ) )
4834, 47mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  ( `' F `  z )  e.  x )
49 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y )
50 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  ( `' F `  z ) ) )
51 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  y  =  ( `' F `  z ) )
5250, 51eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  ( `' F `  z )  ->  (
( F `  y
)  =  y  <->  ( F `  ( `' F `  z ) )  =  ( `' F `  z ) ) )
5352rspcv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( `' F `  z )  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  ( `' F `  z ) ) )
5448, 49, 53sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  ( F `  ( `' F `  z )
)  =  ( `' F `  z ) )
5533, 54eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  z  =  ( `' F `  z ) )
5655, 48eqeltrd 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  ( F `  x
) )  ->  z  e.  x )
57 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  (
x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  ->  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y )
58 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  ( F `  y )  =  ( F `  z ) )
59 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  =  z  ->  y  =  z )
6058, 59eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  =  z  ->  (
( F `  y
)  =  y  <->  ( F `  z )  =  z ) )
6160rspccva 3181 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y  /\  z  e.  x )  ->  ( F `  z )  =  z )
6257, 61sylan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  ( F `  z )  =  z )
63 epel 4767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  _E  x  <->  z  e.  x )
6463biimpri 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  x  ->  z  _E  x )
6564adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  z  _E  x )
66 simpll1 1044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )
)
67 simpl2 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  (
x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  ->  Ord  A )
68 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  (
x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  ->  x  e.  A
)
6967, 68, 11syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  (
x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  ->  x  C_  A
)
7069sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  A )
71 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  x  e.  A )
72 isorel 6232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  ( z  e.  A  /\  x  e.  A ) )  -> 
( z  _E  x  <->  ( F `  z )  _E  ( F `  x ) ) )
7366, 70, 71, 72syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  (
z  _E  x  <->  ( F `  z )  _E  ( F `  x )
) )
7465, 73mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  ( F `  z )  _E  ( F `  x
) )
7545epelc 4766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  z )  _E  ( F `  x )  <->  ( F `  z )  e.  ( F `  x ) )
7674, 75sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  ( F `  z )  e.  ( F `  x
) )
7762, 76eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  ( x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  /\  z  e.  x )  ->  z  e.  ( F `  x
) )
7856, 77impbida 840 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  (
x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( z  e.  ( F `  x
)  <->  z  e.  x
) )
7978eqrdv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  (
x  e.  A  /\  A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y ) )  ->  ( F `  x )  =  x )
8079expr 618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( F `  y )  =  y  ->  ( F `  x )  =  x ) )
8116, 80sylbid 218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  x  e.  A )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( F `  y
)  =  y )  ->  ( F `  x )  =  x ) )
8281ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
x  e.  A  -> 
( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( F `  y )  =  y )  ->  ( F `  x )  =  x ) ) )
8382com23 81 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( F `  y
)  =  y )  ->  ( x  e.  A  ->  ( F `  x )  =  x ) ) )
8483a2i 14 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( F `
 y )  =  y ) )  -> 
( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( F `
 x )  =  x ) ) )
8584a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  On  ->  (
( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  ->  A. y  e.  x  ( y  e.  A  ->  ( F `
 y )  =  y ) )  -> 
( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( F `
 x )  =  x ) ) ) )
8610, 85syl5bi 220 . . . . . 6  |-  ( x  e.  On  ->  ( A. y  e.  x  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  ->  ( y  e.  A  ->  ( F `
 y )  =  y ) )  -> 
( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  ->  ( x  e.  A  ->  ( F `
 x )  =  x ) ) ) )
879, 86tfis2 6697 . . . . 5  |-  ( x  e.  On  ->  (
( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
x  e.  A  -> 
( F `  x
)  =  x ) ) )
8887com3l 84 . . . 4  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
x  e.  A  -> 
( x  e.  On  ->  ( F `  x
)  =  x ) ) )
893, 88mpdd 41 . . 3  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
x  e.  A  -> 
( F `  x
)  =  x ) )
9089ralrimiv 2834 . 2  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )
91 fveq2 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  ( F `  x )  =  ( F `  z ) )
92 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  x  =  z )
9391, 92eqeq12d 2444 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  x
)  =  x  <->  ( F `  z )  =  z ) )
9493rspccva 3181 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  z )
9594adantll 718 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  =  z )
96 ffvelrn 6035 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : A --> B  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z
)  e.  B )
9723, 96sylan 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  z  e.  A
)  ->  ( F `  z )  e.  B
)
98973ad2antl1 1167 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  B )
9998adantlr 719 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  /\  z  e.  A )  ->  ( F `  z )  e.  B )
10095, 99eqeltrrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  /\  z  e.  A )  ->  z  e.  B )
101100ex 435 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  (
z  e.  A  -> 
z  e.  B ) )
102 simpl1 1008 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )
)
103 f1ofo 5838 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F : A -onto-> B )
104 forn 5813 . . . . . . . . 9  |-  ( F : A -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
10517, 103, 1043syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( F 
Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  ->  ran  F  =  B )
106102, 105syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  ran  F  =  B )
107106eleq2d 2492 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  (
z  e.  ran  F  <->  z  e.  B ) )
108 f1ofn 5832 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : A -1-1-onto-> B  ->  F  Fn  A )
10917, 108syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( F 
Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  ->  F  Fn  A
)
1101093ad2ant1 1026 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  F  Fn  A )
111110adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  F  Fn  A )
112 fvelrnb 5928 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  A  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. w  e.  A  ( F `  w )  =  z ) )
113111, 112syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. w  e.  A  ( F `  w )  =  z ) )
114107, 113bitr3d 258 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  (
z  e.  B  <->  E. w  e.  A  ( F `  w )  =  z ) )
115 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  x )  =  ( F `  w ) )
116 id 22 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  x  =  w )
117115, 116eqeq12d 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  (
( F `  x
)  =  x  <->  ( F `  w )  =  w ) )
118117rspcv 3178 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  ->  ( F `  w )  =  w ) )
119118a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
w  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  ->  ( F `  w )  =  w ) ) )
120 simpr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  w
)  =  w  /\  ( F `  w )  =  z )  -> 
( F `  w
)  =  z )
121 simpl 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  w
)  =  w  /\  ( F `  w )  =  z )  -> 
( F `  w
)  =  w )
122120, 121eqtr3d 2465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  w
)  =  w  /\  ( F `  w )  =  z )  -> 
z  =  w )
123122adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  w  e.  A )  /\  (
( F `  w
)  =  w  /\  ( F `  w )  =  z ) )  ->  z  =  w )
124 simplr 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  w  e.  A )  /\  (
( F `  w
)  =  w  /\  ( F `  w )  =  z ) )  ->  w  e.  A
)
125123, 124eqeltrd 2507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B
)  /\  w  e.  A )  /\  (
( F `  w
)  =  w  /\  ( F `  w )  =  z ) )  ->  z  e.  A
)
126125exp43 615 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
w  e.  A  -> 
( ( F `  w )  =  w  ->  ( ( F `
 w )  =  z  ->  z  e.  A ) ) ) )
127119, 126syldd 68 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  (
w  e.  A  -> 
( A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  ->  ( ( F `
 w )  =  z  ->  z  e.  A ) ) ) )
128127com23 81 . . . . . . 7  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  ( A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x  ->  (
w  e.  A  -> 
( ( F `  w )  =  z  ->  z  e.  A
) ) ) )
129128imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  (
w  e.  A  -> 
( ( F `  w )  =  z  ->  z  e.  A
) ) )
130129rexlimdv 2912 . . . . 5  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  ( E. w  e.  A  ( F `  w )  =  z  ->  z  e.  A ) )
131114, 130sylbid 218 . . . 4  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  (
z  e.  B  -> 
z  e.  A ) )
132101, 131impbid 193 . . 3  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  (
z  e.  A  <->  z  e.  B ) )
133132eqrdv 2419 . 2  |-  ( ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B
)  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  /\  A. x  e.  A  ( F `  x )  =  x )  ->  A  =  B )
13490, 133mpdan 672 1  |-  ( ( F  Isom  _E  ,  _E  ( A ,  B )  /\  Ord  A  /\  Ord  B )  ->  A  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772    C_ wss 3436   class class class wbr 4423    _E cep 4762   `'ccnv 4852   ran crn 4854   Ord word 5441   Oncon0 5442    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601    Isom wiso 5602
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-ord 5445  df-on 5446  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610
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