MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordirr Structured version   Unicode version

Theorem ordirr 5460
Description: Epsilon irreflexivity of ordinals: no ordinal class is a member of itself. Theorem 2.2(i) of [BellMachover] p. 469, generalized to classes. We prove this without invoking the Axiom of Regularity. (Contributed by NM, 2-Jan-1994.)
Assertion
Ref Expression
ordirr  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )

Proof of Theorem ordirr
StepHypRef Expression
1 ordfr 5457 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  _E  Fr  A )
2 efrirr 4835 . 2  |-  (  _E  Fr  A  ->  -.  A  e.  A )
31, 2syl 17 1  |-  ( Ord 
A  ->  -.  A  e.  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1870    _E cep 4763    Fr wfr 4810   Ord word 5441
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pr 4661
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-br 4427  df-opab 4485  df-eprel 4765  df-fr 4813  df-we 4815  df-ord 5445
This theorem is referenced by:  nordeq  5461  ordn2lp  5462  ordtri3or  5474  ordtri1  5475  ordtri3  5478  orddisj  5480  ordunidif  5490  ordnbtwn  5532  onirri  5548  onssneli  5551  onprc  6625  nlimsucg  6683  nnlim  6719  limom  6721  smo11  7091  smoord  7092  tfrlem13  7116  omopth2  7293  limensuci  7754  infensuc  7756  ordtypelem9  8041  cantnfp1lem3  8184  cantnfp1  8185  oemapvali  8188  tskwe  8383  dif1card  8440  pm110.643ALT  8606  pwsdompw  8632  cflim2  8691  fin23lem24  8750  fin23lem26  8753  axdc3lem4  8881  ttukeylem7  8943  canthp1lem2  9077  inar1  9199  gruina  9242  grur1  9244  addnidpi  9325  fzennn  12178  hashp1i  12577  soseq  30279
  Copyright terms: Public domain W3C validator