Theorem ordintdif 16440

Description: If B is smaller than A, then it equals the intersection of the difference. Exercise 11 in [TakeutiZaring] p. 44.

Assertion

Ref	Expression
ordintdif	|- ((Ord A /\ Ord B /\ (A \ B) =/= (/)) -> B = |^|(A \ B))

Proof of Theorem ordintdif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordtri1 3693	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (A C_ B <-> -. B e. A))
2	1	con2bid 585	. . . . 5 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (B e. A <-> -. A C_ B))
3		ordtri1 3693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((Ord B /\ Ord x) -> (B C_ x <-> -. x e. B))
4	3	ancoms 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Ord x /\ Ord B) -> (B C_ x <-> -. x e. B))
5		ordelord 3680	. . . . . . . . . . . 12 |- ((Ord A /\ x e. A) -> Ord x)
6	4, 5	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ Ord B) -> (B C_ x <-> -. x e. B))
7	6	an1rs 547	. . . . . . . . . 10 |- (((Ord A /\ Ord B) /\ x e. A) -> (B C_ x <-> -. x e. B))
8	7	bicomd 580	. . . . . . . . 9 |- (((Ord A /\ Ord B) /\ x e. A) -> (-. x e. B <-> B C_ x))
9	8	rabbidva 2286	. . . . . . . 8 |- ((Ord A /\ Ord B) -> {x e. A | -. x e. B} = {x e. A | B C_ x})
10	9	inteqd 3219	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ Ord B) -> |^|{x e. A | -. x e. B} = |^|{x e. A | B C_ x})
11		intmin 3237	. . . . . . 7 |- (B e. A -> |^|{x e. A | B C_ x} = B)
12	10, 11	sylan9eq 1948	. . . . . 6 |- (((Ord A /\ Ord B) /\ B e. A) -> |^|{x e. A | -. x e. B} = B)
13	12	ex 402	. . . . 5 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (B e. A -> |^|{x e. A | -. x e. B} = B))
14	2, 13	sylbird 222	. . . 4 |- ((Ord A /\ Ord B) -> (-. A C_ B -> |^|{x e. A | -. x e. B} = B))
15	14	3impia 1064	. . 3 |- ((Ord A /\ Ord B /\ -. A C_ B) -> |^|{x e. A | -. x e. B} = B)
16		dfdif2 2608	. . . 4 |- (A \ B) = {x e. A | -. x e. B}
17	16	inteqi 3218	. . 3 |- |^|(A \ B) = |^|{x e. A | -. x e. B}
18	15, 17	syl5req 1941	. 2 |- ((Ord A /\ Ord B /\ -. A C_ B) -> B = |^|(A \ B))
19		ssdif0 2934	. . 3 |- (A C_ B <-> (A \ B) = (/))
20	19	necon3bbii 2031	. 2 |- (-. A C_ B <-> (A \ B) =/= (/))
21	18, 20	syl3an3br 1138	1 |- ((Ord A /\ Ord B /\ (A \ B) =/= (/)) -> B = |^|(A \ B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  {crab 2108   \ cdif 2590   C_ wss 2593  (/)c0 2875  |^|cint 3214  Ord word 3656

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660

Copyright terms: Public domain