Theorem ordelordALTVD 37327

Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. This is an alternate proof of ordelord 5452 using the Axiom of Regularity indirectly through dford2 8143. dford2 is a weaker definition of ordinal number. Given the Axiom of Regularity, it need not be assumed that _E Fr A because this is inferred by the Axiom of Regularity. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. ordelordALT 36968 is ordelordALTVD 37327 without virtual deductions and was automatically derived from ordelordALTVD 37327 using the tools program translate..without..overwriting.cmd and Metamath's minimize command.

1::	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. ( Ord A /\ B e. A ) ).
2:1:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Ord A ).
3:1:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. B e. A ).
4:2:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Tr A ).
5:2:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ).
6:4,3:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. B C_ A ).
7:6,6,5:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. A. x e. B A. y e. B ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ).
8::	|- ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
9:8:	|- A. y ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
10:9:	|- A. y e. A ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
11:10:	|- ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
12:11:	|- A. x ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
13:12:	|- A. x e. A ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
14:13:	|- ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
15:14,5:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ).
16:4,15,3:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Tr B ).
17:16,7:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Ord B ).
qed:17:	|- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> Ord B )

(Contributed by Alan Sare, 12-Feb-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ordelordALTVD	|- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> Ord B )

Proof of Theorem ordelordALTVD

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn1 37012	. . . . . 6 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. ( Ord A /\ B e. A ) ).
2		simpl 464	. . . . . 6 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> Ord A )
3	1, 2	e1a 37074	. . . . 5 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Ord A ).
4		ordtr 5444	. . . . 5 |- ( Ord A -> Tr A )
5	3, 4	e1a 37074	. . . 4 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Tr A ).
6		dford2 8143	. . . . . . 7 |- ( Ord A <-> ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
7	6	simprbi 471	. . . . . 6 |- ( Ord A -> A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
8	3, 7	e1a 37074	. . . . 5 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ).
9		3orcomb 1017	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
10	9	ax-gen 1677	. . . . . . . . . 10 |- A. y ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
11		alral 2772	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) -> A. y e. A ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) )
12	10, 11	e0a 37222	. . . . . . . . 9 |- A. y e. A ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
13		ralbi 2908	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) -> ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) )
14	12, 13	e0a 37222	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
15	14	ax-gen 1677	. . . . . . 7 |- A. x ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
16		alral 2772	. . . . . . 7 |- ( A. x ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) -> A. x e. A ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) )
17	15, 16	e0a 37222	. . . . . 6 |- A. x e. A ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
18		ralbi 2908	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) )
19	17, 18	e0a 37222	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
20	8, 19	e1bi 37076	. . . 4 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ).
21		simpr 468	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> B e. A )
22	1, 21	e1a 37074	. . . 4 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. B e. A ).
23		tratrb 36967	. . . . 5 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> Tr B )
24	23	3exp 1230	. . . 4 |- ( Tr A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> ( B e. A -> Tr B ) ) )
25	5, 20, 22, 24	e111 37121	. . 3 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Tr B ).
26		trss 4499	. . . . 5 |- ( Tr A -> ( B e. A -> B C_ A ) )
27	5, 22, 26	e11 37135	. . . 4 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. B C_ A ).
28		ssralv2 36958	. . . . 5 |- ( ( B C_ A /\ B C_ A ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. x e. B A. y e. B ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
29	28	ex 441	. . . 4 |- ( B C_ A -> ( B C_ A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. x e. B A. y e. B ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) ) )
30	27, 27, 8, 29	e111 37121	. . 3 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. A. x e. B A. y e. B ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ).
31		dford2 8143	. . . 4 |- ( Ord B <-> ( Tr B /\ A. x e. B A. y e. B ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
32	31	simplbi2 637	. . 3 |- ( Tr B -> ( A. x e. B A. y e. B ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> Ord B ) )
33	25, 30, 32	e11 37135	. 2 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Ord B ).
34	33	in1 37009	1 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> Ord B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   \/ w3o 1006   A.wal 1450   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   C_ wss 3390   Tr wtr 4490   Ord word 5429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-ord 5433  df-vd1 37008

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