Theorem ordelordALTVD 31437

Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. This is an alternate proof of ordelord 4737 using the Axiom of Regularity indirectly through dford2 7822. dford2 is a weaker definition of ordinal number. Given the Axiom of Regularity, it need not be assumed that _E Fr A because this is inferred by the Axiom of Regularity. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. ordelordALT 31077 is ordelordALTVD 31437 without virtual deductions and was automatically derived from ordelordALTVD 31437 using the tools program translate..without..overwriting.cmd and Metamath's minimize command.

1::	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. ( Ord A /\ B e. A ) ).
2:1:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Ord A ).
3:1:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. B e. A ).
4:2:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Tr A ).
5:2:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ).
6:4,3:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. B C_ A ).
7:6,6,5:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. A. x e. B A. y e. B ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ).
8::	|- ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
9:8:	|- A. y ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
10:9:	|- A. y e. A ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
11:10:	|- ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
12:11:	|- A. x ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
13:12:	|- A. x e. A ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
14:13:	|- ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
15:14,5:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ).
16:4,15,3:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Tr B ).
17:16,7:	|- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Ord B ).
qed:17:	|- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> Ord B )

(Contributed by Alan Sare, 12-Feb-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
ordelordALTVD	|- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> Ord B )

Proof of Theorem ordelordALTVD

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idn1 31120	. . . . . 6 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. ( Ord A /\ B e. A ) ).
2		simpl 454	. . . . . 6 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> Ord A )
3	1, 2	e1_ 31183	. . . . 5 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Ord A ).
4		ordtr 4729	. . . . 5 |- ( Ord A -> Tr A )
5	3, 4	e1_ 31183	. . . 4 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Tr A ).
6		dford2 7822	. . . . . . 7 |- ( Ord A <-> ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
7	6	simprbi 461	. . . . . 6 |- ( Ord A -> A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) )
8	3, 7	e1_ 31183	. . . . 5 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ).
9		3orcomb 970	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
10	9	ax-gen 1596	. . . . . . . . . 10 |- A. y ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
11		alral 2772	. . . . . . . . . 10 |- ( A. y ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) -> A. y e. A ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) )
12	10, 11	e0_ 31339	. . . . . . . . 9 |- A. y e. A ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
13		ralbi 2851	. . . . . . . . 9 |- ( A. y e. A ( ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) -> ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) )
14	12, 13	e0_ 31339	. . . . . . . 8 |- ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
15	14	ax-gen 1596	. . . . . . 7 |- A. x ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
16		alral 2772	. . . . . . 7 |- ( A. x ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) -> A. x e. A ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) )
17	15, 16	e0_ 31339	. . . . . 6 |- A. x e. A ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
18		ralbi 2851	. . . . . 6 |- ( A. x e. A ( A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ) )
19	17, 18	e0_ 31339	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) <-> A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) )
20	8, 19	e1bi 31185	. . . 4 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) ).
21		simpr 458	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> B e. A )
22	1, 21	e1_ 31183	. . . 4 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. B e. A ).
23		tratrb 31075	. . . . 5 |- ( ( Tr A /\ A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) /\ B e. A ) -> Tr B )
24	23	3exp 1181	. . . 4 |- ( Tr A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ y e. x \/ x = y ) -> ( B e. A -> Tr B ) ) )
25	5, 20, 22, 24	e111 31230	. . 3 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Tr B ).
26		trss 4391	. . . . 5 |- ( Tr A -> ( B e. A -> B C_ A ) )
27	5, 22, 26	e11 31244	. . . 4 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. B C_ A ).
28		ssralv2 31069	. . . . 5 |- ( ( B C_ A /\ B C_ A ) -> ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. x e. B A. y e. B ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
29	28	ex 434	. . . 4 |- ( B C_ A -> ( B C_ A -> ( A. x e. A A. y e. A ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> A. x e. B A. y e. B ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) ) )
30	27, 27, 8, 29	e111 31230	. . 3 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. A. x e. B A. y e. B ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ).
31		dford2 7822	. . . 4 |- ( Ord B <-> ( Tr B /\ A. x e. B A. y e. B ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) ) )
32	31	simplbi2 622	. . 3 |- ( Tr B -> ( A. x e. B A. y e. B ( x e. y \/ x = y \/ y e. x ) -> Ord B ) )
33	25, 30, 32	e11 31244	. 2 |- (. ( Ord A /\ B e. A ) ->. Ord B ).
34	33	in1 31117	1 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> Ord B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   \/ w3o 959   A.wal 1362   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   C_ wss 3325   Tr wtr 4382   Ord word 4714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-reg 7803

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-vd1 31116

This theorem is referenced by: (None)