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Theorem ordelordALTVD 31916
Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. This is an alternate proof of ordelord 4844 using the Axiom of Regularity indirectly through dford2 7932. dford2 is a weaker definition of ordinal number. Given the Axiom of Regularity, it need not be assumed that  _E  Fr  A because this is inferred by the Axiom of Regularity. The following User's Proof is a Virtual Deduction proof completed automatically by the tools program completeusersproof.cmd, which invokes Mel L. O'Cat's mmj2 and Norm Megill's Metamath Proof Assistant. ordelordALT 31557 is ordelordALTVD 31916 without virtual deductions and was automatically derived from ordelordALTVD 31916 using the tools program translate..without..overwriting.cmd and Metamath's minimize command.
1::  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  ( Ord  A  /\  B  e.  A ) ).
2:1:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Ord  A ).
3:1:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  B  e.  A ).
4:2:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  A ).
5:2:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ).
6:4,3:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  B  C_  A ).
7:6,6,5:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  B  A. y  e.  B ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ).
8::  |-  ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
9:8:  |-  A. y ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
10:9:  |-  A. y  e.  A ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
11:10:  |-  ( A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
12:11:  |-  A. x ( A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
13:12:  |-  A. x  e.  A ( A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
14:13:  |-  ( A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. x  e.  A A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
15:14,5:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  A ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
16:4,15,3:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  B ).
17:16,7:  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Ord  B ).
qed:17:  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )
(Contributed by Alan Sare, 12-Feb-2012.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ordelordALTVD  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )

Proof of Theorem ordelordALTVD
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 idn1 31600 . . . . . 6  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  ( Ord  A  /\  B  e.  A
) ).
2 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  A )
31, 2e1a 31662 . . . . 5  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Ord  A ).
4 ordtr 4836 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  Tr  A
)
53, 4e1a 31662 . . . 4  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  A ).
6 dford2 7932 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  <->  ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) ) )
76simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) )
83, 7e1a 31662 . . . . 5  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ).
9 3orcomb 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <-> 
( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
109ax-gen 1592 . . . . . . . . . 10  |-  A. y
( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
11 alral 2806 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. y ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )  ->  A. y  e.  A  ( ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) )
1210, 11e0a 31818 . . . . . . . . 9  |-  A. y  e.  A  ( (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <-> 
( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
13 ralbi 2953 . . . . . . . . 9  |-  ( A. y  e.  A  (
( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )  -> 
( A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ) )
1412, 13e0a 31818 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
1514ax-gen 1592 . . . . . . 7  |-  A. x
( A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )
16 alral 2806 . . . . . . 7  |-  ( A. x ( A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) )  ->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
1715, 16e0a 31818 . . . . . 6  |-  A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
18 ralbi 2953 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) ) )
1917, 18e0a 31818 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y
) )
208, 19e1bi 31664 . . . 4  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y ) ).
21 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  B  e.  A )
221, 21e1a 31662 . . . 4  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  B  e.  A ).
23 tratrb 31555 . . . . 5  |-  ( ( Tr  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  /\  B  e.  A
)  ->  Tr  B
)
24233exp 1187 . . . 4  |-  ( Tr  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  (
x  e.  y  \/  y  e.  x  \/  x  =  y )  ->  ( B  e.  A  ->  Tr  B
) ) )
255, 20, 22, 24e111 31709 . . 3  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Tr  B ).
26 trss 4497 . . . . 5  |-  ( Tr  A  ->  ( B  e.  A  ->  B  C_  A ) )
275, 22, 26e11 31723 . . . 4  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  B  C_  A ).
28 ssralv2 31549 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  A  /\  B  C_  A )  -> 
( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) )
2928ex 434 . . . 4  |-  ( B 
C_  A  ->  ( B  C_  A  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
)  ->  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ) ) )
3027, 27, 8, 29e111 31709 . . 3  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x ) ).
31 dford2 7932 . . . 4  |-  ( Ord 
B  <->  ( Tr  B  /\  A. x  e.  B  A. y  e.  B  ( x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x
) ) )
3231simplbi2 625 . . 3  |-  ( Tr  B  ->  ( A. x  e.  B  A. y  e.  B  (
x  e.  y  \/  x  =  y  \/  y  e.  x )  ->  Ord  B )
)
3325, 30, 32e11 31723 . 2  |-  (. ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->.  Ord  B ).
3433in1 31597 1  |-  ( ( Ord  A  /\  B  e.  A )  ->  Ord  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    \/ w3o 964   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2796    C_ wss 3431   Tr wtr 4488   Ord word 4821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-reg 7913
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-nul 3741  df-if 3895  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-br 4396  df-opab 4454  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-vd1 31596
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