Theorem ordelord 3680

Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36.

Assertion

Ref	Expression
ordelord	|- ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)

Proof of Theorem ordelord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 1957	. . . . 5 |- (x = B -> (x e. A <-> B e. A))
2	1	anbi2d 678	. . . 4 |- (x = B -> ((Ord A /\ x e. A) <-> (Ord A /\ B e. A)))
3		ordeq 3664	. . . 4 |- (x = B -> (Ord x <-> Ord B))
4	2, 3	imbi12d 688	. . 3 |- (x = B -> (((Ord A /\ x e. A) -> Ord x) <-> ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)))
5		df-ord 3660	. . . 4 |- (Ord x <-> (Tr x /\ _E We x))
6		simpll 448	. . . . . . . . 9 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> Ord A)
7		ordtr 3672	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Ord A -> Tr A)
8		trel3 3420	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Tr A -> ((z e. y /\ y e. x /\ x e. A) -> z e. A))
9	7, 8	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord A -> ((z e. y /\ y e. x /\ x e. A) -> z e. A))
10		3anrot 863	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. A /\ z e. y /\ y e. x) <-> (z e. y /\ y e. x /\ x e. A))
11		3anass 862	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. A /\ z e. y /\ y e. x) <-> (x e. A /\ (z e. y /\ y e. x)))
12	10, 11	bitr3i 192	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z e. y /\ y e. x /\ x e. A) <-> (x e. A /\ (z e. y /\ y e. x)))
13	9, 12	syl5ibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- (Ord A -> ((x e. A /\ (z e. y /\ y e. x)) -> z e. A))
14	13	exp3a 405	. . . . . . . . . 10 |- (Ord A -> (x e. A -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. A)))
15	14	imp31 389	. . . . . . . . 9 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> z e. A)
16		trel 3418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (Tr A -> ((y e. x /\ x e. A) -> y e. A))
17	7, 16	syl 12	. . . . . . . . . . . . 13 |- (Ord A -> ((y e. x /\ x e. A) -> y e. A))
18	17	exp3a 405	. . . . . . . . . . . 12 |- (Ord A -> (y e. x -> (x e. A -> y e. A)))
19	18	com23 36	. . . . . . . . . . 11 |- (Ord A -> (x e. A -> (y e. x -> y e. A)))
20	19	imp31 389	. . . . . . . . . 10 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ y e. x) -> y e. A)
21	20	adantrl 430	. . . . . . . . 9 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> y e. A)
22		simplr 449	. . . . . . . . 9 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> x e. A)
23		wetrep 3651	. . . . . . . . . 10 |- (( _E We A /\ (z e. A /\ y e. A /\ x e. A)) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
24		ordwe 3671	. . . . . . . . . 10 |- (Ord A -> _E We A)
25	23, 24	sylan 497	. . . . . . . . 9 |- ((Ord A /\ (z e. A /\ y e. A /\ x e. A)) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
26	6, 15, 21, 22, 25	syl13anc 1102	. . . . . . . 8 |- (((Ord A /\ x e. A) /\ (z e. y /\ y e. x)) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
27	26	ex 402	. . . . . . 7 |- ((Ord A /\ x e. A) -> ((z e. y /\ y e. x) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x)))
28	27	pm2.43d 79	. . . . . 6 |- ((Ord A /\ x e. A) -> ((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
29	28	19.21aivv 1665	. . . . 5 |- ((Ord A /\ x e. A) -> A.zA.y((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
30		dftr2 3413	. . . . 5 |- (Tr x <-> A.zA.y((z e. y /\ y e. x) -> z e. x))
31	29, 30	sylibr 217	. . . 4 |- ((Ord A /\ x e. A) -> Tr x)
32		trss 3421	. . . . . . 7 |- (Tr A -> (x e. A -> x C_ A))
33	7, 32	syl 12	. . . . . 6 |- (Ord A -> (x e. A -> x C_ A))
34		wess 3645	. . . . . . 7 |- (x C_ A -> ( _E We A -> _E We x))
35	34, 24	syl5com 63	. . . . . 6 |- (Ord A -> (x C_ A -> _E We x))
36	33, 35	syld 30	. . . . 5 |- (Ord A -> (x e. A -> _E We x))
37	36	imp 377	. . . 4 |- ((Ord A /\ x e. A) -> _E We x)
38	5, 31, 37	sylanbrc 527	. . 3 |- ((Ord A /\ x e. A) -> Ord x)
39	4, 38	vtoclg 2346	. 2 |- (B e. A -> ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B))
40	39	anabsi7 555	1 |- ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  Tr wtr 3411   _E cep 3581   We wwe 3624  Ord word 3656

This theorem is referenced by:  tron 3681  ordelon 3682  ordtr2 3708  ordtr2OLD 3709  ssorduniOLD 3871  ordsuc 3895  ordsucss 3899  ordsucelsuc 3902  ordsucelsucOLD 3903  ordunel 3906  limsssuc 3934  ordom 3960  ordomOLD 3961  rdglim2 5157  ordpss 16428  ordintdif 16440  smores 16446

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660

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