Theorem ordelord 4906

Description: An element of an ordinal class is ordinal. Proposition 7.6 of [TakeutiZaring] p. 36. (Contributed by NM, 23-Apr-1994.)

Assertion

Ref	Expression
ordelord	|- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> Ord B )

Proof of Theorem ordelord

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2539	. . . . 5 |- ( x = B -> ( x e. A <-> B e. A ) )
2	1	anbi2d 703	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( Ord A /\ x e. A ) <-> ( Ord A /\ B e. A ) ) )
3		ordeq 4891	. . . 4 |- ( x = B -> ( Ord x <-> Ord B ) )
4	2, 3	imbi12d 320	. . 3 |- ( x = B -> ( ( ( Ord A /\ x e. A ) -> Ord x ) <-> ( ( Ord A /\ B e. A ) -> Ord B ) ) )
5		simpll 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Ord A /\ x e. A ) /\ ( z e. y /\ y e. x ) ) -> Ord A )
6		3anrot 978	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ z e. y /\ y e. x ) <-> ( z e. y /\ y e. x /\ x e. A ) )
7		3anass 977	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. A /\ z e. y /\ y e. x ) <-> ( x e. A /\ ( z e. y /\ y e. x ) ) )
8	6, 7	bitr3i 251	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. y /\ y e. x /\ x e. A ) <-> ( x e. A /\ ( z e. y /\ y e. x ) ) )
9		ordtr 4898	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord A -> Tr A )
10		trel3 4554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Tr A -> ( ( z e. y /\ y e. x /\ x e. A ) -> z e. A ) )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord A -> ( ( z e. y /\ y e. x /\ x e. A ) -> z e. A ) )
12	8, 11	syl5bir 218	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord A -> ( ( x e. A /\ ( z e. y /\ y e. x ) ) -> z e. A ) )
13	12	impl 620	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Ord A /\ x e. A ) /\ ( z e. y /\ y e. x ) ) -> z e. A )
14		trel 4553	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Tr A -> ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
15	9, 14	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Ord A -> ( ( y e. x /\ x e. A ) -> y e. A ) )
16	15	expcomd 438	. . . . . . . . . . 11 |- ( Ord A -> ( x e. A -> ( y e. x -> y e. A ) ) )
17	16	imp31 432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Ord A /\ x e. A ) /\ y e. x ) -> y e. A )
18	17	adantrl 715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Ord A /\ x e. A ) /\ ( z e. y /\ y e. x ) ) -> y e. A )
19		simplr 754	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Ord A /\ x e. A ) /\ ( z e. y /\ y e. x ) ) -> x e. A )
20		ordwe 4897	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord A -> _E We A )
21		wetrep 4878	. . . . . . . . . 10 |- ( ( _E We A /\ ( z e. A /\ y e. A /\ x e. A ) ) -> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
22	20, 21	sylan 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( Ord A /\ ( z e. A /\ y e. A /\ x e. A ) ) -> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
23	5, 13, 18, 19, 22	syl13anc 1230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Ord A /\ x e. A ) /\ ( z e. y /\ y e. x ) ) -> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
24	23	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) ) )
25	24	pm2.43d 48	. . . . . 6 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
26	25	alrimivv 1696	. . . . 5 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
27		dftr2 4548	. . . . 5 |- ( Tr x <-> A. z A. y ( ( z e. y /\ y e. x ) -> z e. x ) )
28	26, 27	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> Tr x )
29		trss 4555	. . . . . . 7 |- ( Tr A -> ( x e. A -> x C_ A ) )
30	9, 29	syl 16	. . . . . 6 |- ( Ord A -> ( x e. A -> x C_ A ) )
31		wess 4872	. . . . . 6 |- ( x C_ A -> ( _E We A -> _E We x ) )
32	30, 20, 31	syl6ci 65	. . . . 5 |- ( Ord A -> ( x e. A -> _E We x ) )
33	32	imp 429	. . . 4 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> _E We x )
34		df-ord 4887	. . . 4 |- ( Ord x <-> ( Tr x /\ _E We x ) )
35	28, 33, 34	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( Ord A /\ x e. A ) -> Ord x )
36	4, 35	vtoclg 3176	. 2 |- ( B e. A -> ( ( Ord A /\ B e. A ) -> Ord B ) )
37	36	anabsi7 817	1 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> Ord B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   C_ wss 3481   Tr wtr 4546   _E cep 4795   We wwe 4843   Ord word 4883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pr 4692

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887

This theorem is referenced by:  tron  4907  ordelon  4908  ordtr2  4928  ordtr3  4929  ordintdif  4933  ordsuc  6644  ordsucss  6648  ordsucelsuc  6652  ordsucuniel  6654  limsssuc  6680  smores  7035  smo11  7047  smoord  7048  smoword  7049  smogt  7050  smorndom  7051  rdglim2  7110  oesuclem  7187  ordtypelem3  7957  r1val1  8216  rankr1ag  8232  fin23lem24  8714  onsuct0  29840  dford3  30904  ordpss  31268