Theorem ordelon 3028

Description: An element of an ordinal class is an ordinal number.

Assertion

Ref	Expression
ordelon	|- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. On)

Proof of Theorem ordelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 3027	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)
2		elong 3013	. . 3 |- (B e. A -> (B e. On <-> Ord B))
3	2	adantl 397	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (B e. On <-> Ord B))
4	1, 3	mpbird 203	1 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. On)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230   e. wcel 999  Ord word 3004  Oncon0 3005

This theorem is referenced by:  onelon 3029  ordunidif 3062  ordpwsuc 3123  ordsucun 3139  ordunisuc2 3172  odi 4268  oelim2 4280  oaabs 4310  limenpsi 4570  r1val1 4720

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-3an 789  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-tr 2736  df-eprel 2888  df-po 2896  df-so 2906  df-fr 2974  df-we 2991  df-ord 3008  df-on 3009

Copyright terms: Public domain