Theorem ordelon 4902

Description: An element of an ordinal class is an ordinal number. (Contributed by NM, 26-Oct-2003.)

Assertion

Ref	Expression
ordelon	|- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> B e. On )

Proof of Theorem ordelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 4900	. 2 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> Ord B )
2		elong 4886	. . 3 |- ( B e. A -> ( B e. On <-> Ord B ) )
3	2	adantl 466	. 2 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> ( B e. On <-> Ord B ) )
4	1, 3	mpbird 232	1 |- ( ( Ord A /\ B e. A ) -> B e. On )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   e. wcel 1767   Ord word 4877   Oncon0 4878

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882

This theorem is referenced by:  onelon  4903  ordunidif  4926  ordpwsuc  6628  ordsucun  6638  ordunel  6640  ordunisuc2  6657  oesuclem  7172  odi  7225  oelim2  7241  oeoalem  7242  oeoelem  7244  limenpsi  7689  ordtypelem9  7947  oismo  7961  cantnflt  8087  cantnfp1lem3  8095  cantnflem1b  8101  cantnflem1  8104  cantnfltOLD  8117  cantnfp1lem3OLD  8121  cantnflem1bOLD  8124  cantnflem1OLD  8127  rankr1bg  8217  rankr1clem  8234  rankr1c  8235  rankonidlem  8242  infxpenlem  8387  coflim  8637  fin23lem26  8701  fpwwe2lem8  9011  nofulllem5  29040  onsuct0  29480