Theorem ordelon 3682

Description: An element of an ordinal class is an ordinal number.

Assertion

Ref	Expression
ordelon	|- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. On)

Proof of Theorem ordelon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordelord 3680	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A) -> Ord B)
2		elong 3665	. . 3 |- (B e. A -> (B e. On <-> Ord B))
3	2	adantl 424	. 2 |- ((Ord A /\ B e. A) -> (B e. On <-> Ord B))
4	1, 3	mpbird 213	1 |- ((Ord A /\ B e. A) -> B e. On)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   e. wcel 1300  Ord word 3656  Oncon0 3657

This theorem is referenced by:  onelon 3683  ordunidif 3712  ordpwsuc 3896  ordsucun 3905  ordunisuc2 3926  odi 5258  oelim2 5270  oeoalem 5271  oeoelem 5273  oaabs 5309  limenpsi 5599  r1val1 5769  smoge 16454

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661

Copyright terms: Public domain