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Theorem ordcmp 28207
Description: An ordinal topology is compact iff the underlying set is its supremum (union) only when the ordinal is  1o. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordcmp  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  <->  ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o )
) )

Proof of Theorem ordcmp
StepHypRef Expression
1 orduni 6404 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  Ord  U. A
)
2 unizlim 4831 . . . . . 6  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  <->  ( U. A  =  (/)  \/ 
Lim  U. A ) ) )
3 uni0b 4113 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A  C_  { (/) } )
43orbi1i 517 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  =  (/)  \/ 
Lim  U. A )  <->  ( A  C_ 
{ (/) }  \/  Lim  U. A ) )
52, 4syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  <->  ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A ) ) )
65biimpd 207 . . . 4  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  ->  ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A
) ) )
71, 6syl 16 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( U. A  =  U. U. A  ->  ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A
) ) )
8 sssn 4028 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } ) )
9 0ntop 18418 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  (/)  e.  Top
10 cmptop 18898 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  Comp  ->  (/)  e.  Top )
119, 10mto 176 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (/)  e.  Comp
12 eleq1 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  e.  Comp  <->  (/)  e.  Comp )
)
1311, 12mtbiri 303 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  A  e.  Comp )
1413pm2.21d 106 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
15 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  { (/) }  ->  A  =  { (/) } )
16 df1o2 6928 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =  { (/) }
1715, 16syl6eqr 2491 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  { (/) }  ->  A  =  1o )
1817a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  { (/) }  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
1914, 18jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( A  e.  Comp  ->  A  =  1o )
)
208, 19sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  { (/) }  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
2120a1i 11 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  C_ 
{ (/) }  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) ) )
22 ordtop 28196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Top  <->  A  =/=  U. A
) )
2322biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Top  ->  A  =/=  U. A ) )
2423necon2bd 2658 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  ->  -.  A  e.  Top )
)
25 cmptop 18898 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Comp  ->  A  e. 
Top )
2625con3i 135 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  Top  ->  -.  A  e.  Comp )
2724, 26syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) )
2827a1dd 46 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  ->  ( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) ) )
29 limsucncmp 28206 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  U. A  ->  -.  suc  U. A  e.  Comp )
30 eleq1 2501 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( A  e.  Comp  <->  suc  U. A  e.  Comp )
)
3130notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( -.  A  e. 
Comp 
<->  -.  suc  U. A  e.  Comp ) )
3229, 31syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) )
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  suc  U. A  -> 
( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) ) )
34 orduniorsuc 6440 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  \/  A  =  suc  U. A ) )
3528, 33, 34mpjaod 381 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) )
36 pm2.21 108 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  Comp  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
3735, 36syl6 33 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( Lim  U. A  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) ) )
3821, 37jaod 380 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A )  -> 
( A  e.  Comp  ->  A  =  1o )
) )
3938com23 78 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  ->  ( ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A )  ->  A  =  1o )
) )
407, 39syl5d 67 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  ->  ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o ) ) )
41 ordeleqon 6399 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  <->  ( A  e.  On  \/  A  =  On ) )
42 unon 6441 . . . . . . . . . . 11  |-  U. On  =  On
4342eqcomi 2445 . . . . . . . . . 10  |-  On  =  U. On
4443unieqi 4097 . . . . . . . . 9  |-  U. On  =  U. U. On
45 unieq 4096 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  On  ->  U. A  =  U. On )
4645unieqd 4098 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  On  ->  U. U. A  =  U. U. On )
4744, 45, 463eqtr4a 2499 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  On  ->  U. A  =  U. U. A )
4847orim2i 515 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  \/  A  =  On )  ->  ( A  e.  On  \/  U. A  =  U. U. A ) )
4941, 48sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  On  \/  U. A  =  U. U. A ) )
5049orcomd 388 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( U. A  =  U. U. A  \/  A  e.  On ) )
5150ord 377 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  e.  On ) )
52 unieq 4096 . . . . . . 7  |-  ( A  =  U. A  ->  U. A  =  U. U. A )
5352con3i 135 . . . . . 6  |-  ( -. 
U. A  =  U. U. A  ->  -.  A  =  U. A )
5434ord 377 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  A  =  U. A  ->  A  =  suc  U. A
) )
5553, 54syl5 32 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  =  suc  U. A ) )
56 orduniorsuc 6440 . . . . . . . 8  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  \/  U. A  =  suc  U.
U. A ) )
571, 56syl 16 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( U. A  =  U. U. A  \/  U. A  =  suc  U.
U. A ) )
5857ord 377 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  U. A  =  suc  U.
U. A ) )
59 suceq 4780 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  suc  U. U. A  ->  suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A
)
6058, 59syl6 33 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A
) )
61 eqtr 2458 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  suc  U. A  /\  suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A
)  ->  A  =  suc  suc  U. U. A
)
6261ex 434 . . . . 5  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A  ->  A  =  suc  suc  U.
U. A ) )
6355, 60, 62syl6c 64 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  =  suc  suc  U. U. A ) )
64 onuni 6403 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  U. A  e.  On )
65 onuni 6403 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  On  ->  U.
U. A  e.  On )
66 onsucsuccmp 28204 . . . . 5  |-  ( U. U. A  e.  On  ->  suc 
suc  U. U. A  e. 
Comp )
67 eleq1a 2510 . . . . 5  |-  ( suc 
suc  U. U. A  e. 
Comp  ->  ( A  =  suc  suc  U. U. A  ->  A  e.  Comp )
)
6864, 65, 66, 674syl 21 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  =  suc  suc  U. U. A  ->  A  e.  Comp ) )
6951, 63, 68syl6c 64 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  e.  Comp ) )
70 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  =  1o  ->  A  =  1o )
7170, 16syl6eq 2489 . . . . 5  |-  ( A  =  1o  ->  A  =  { (/) } )
72 0cmp 18897 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  Comp
7371, 72syl6eqel 2529 . . . 4  |-  ( A  =  1o  ->  A  e.  Comp )
7473a1i 11 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  1o  ->  A  e. 
Comp ) )
7569, 74jad 162 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  ( ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o )  ->  A  e. 
Comp ) )
7640, 75impbid 191 1  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  <->  ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {csn 3874   U.cuni 4088   Ord word 4714   Oncon0 4715   Lim wlim 4716   suc csuc 4717   1oc1o 6909   Topctop 18398   Compccmp 18889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-om 6476  df-1o 6916  df-er 7097  df-en 7307  df-fin 7310  df-topgen 14378  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cmp 18890
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