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Theorem ordcmp 28293
Description: An ordinal topology is compact iff the underlying set is its supremum (union) only when the ordinal is  1o. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordcmp  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  <->  ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o )
) )

Proof of Theorem ordcmp
StepHypRef Expression
1 orduni 6405 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  Ord  U. A
)
2 unizlim 4835 . . . . . 6  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  <->  ( U. A  =  (/)  \/ 
Lim  U. A ) ) )
3 uni0b 4116 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A  C_  { (/) } )
43orbi1i 520 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  =  (/)  \/ 
Lim  U. A )  <->  ( A  C_ 
{ (/) }  \/  Lim  U. A ) )
52, 4syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  <->  ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A ) ) )
65biimpd 207 . . . 4  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  ->  ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A
) ) )
71, 6syl 16 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( U. A  =  U. U. A  ->  ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A
) ) )
8 sssn 4031 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } ) )
9 0ntop 18518 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  (/)  e.  Top
10 cmptop 18998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  Comp  ->  (/)  e.  Top )
119, 10mto 176 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (/)  e.  Comp
12 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  e.  Comp  <->  (/)  e.  Comp )
)
1311, 12mtbiri 303 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  A  e.  Comp )
1413pm2.21d 106 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
15 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  { (/) }  ->  A  =  { (/) } )
16 df1o2 6932 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =  { (/) }
1715, 16syl6eqr 2493 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  { (/) }  ->  A  =  1o )
1817a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  { (/) }  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
1914, 18jaoi 379 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( A  e.  Comp  ->  A  =  1o )
)
208, 19sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  { (/) }  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
2120a1i 11 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  C_ 
{ (/) }  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) ) )
22 ordtop 28282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Top  <->  A  =/=  U. A
) )
2322biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Top  ->  A  =/=  U. A ) )
2423necon2bd 2660 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  ->  -.  A  e.  Top )
)
25 cmptop 18998 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Comp  ->  A  e. 
Top )
2625con3i 135 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  Top  ->  -.  A  e.  Comp )
2724, 26syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) )
2827a1dd 46 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  ->  ( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) ) )
29 limsucncmp 28292 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  U. A  ->  -.  suc  U. A  e.  Comp )
30 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( A  e.  Comp  <->  suc  U. A  e.  Comp )
)
3130notbid 294 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( -.  A  e. 
Comp 
<->  -.  suc  U. A  e.  Comp ) )
3229, 31syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) )
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  suc  U. A  -> 
( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) ) )
34 orduniorsuc 6441 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  \/  A  =  suc  U. A ) )
3528, 33, 34mpjaod 381 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) )
36 pm2.21 108 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  Comp  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
3735, 36syl6 33 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( Lim  U. A  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) ) )
3821, 37jaod 380 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A )  -> 
( A  e.  Comp  ->  A  =  1o )
) )
3938com23 78 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  ->  ( ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A )  ->  A  =  1o )
) )
407, 39syl5d 67 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  ->  ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o ) ) )
41 ordeleqon 6400 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  <->  ( A  e.  On  \/  A  =  On ) )
42 unon 6442 . . . . . . . . . . 11  |-  U. On  =  On
4342eqcomi 2447 . . . . . . . . . 10  |-  On  =  U. On
4443unieqi 4100 . . . . . . . . 9  |-  U. On  =  U. U. On
45 unieq 4099 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  On  ->  U. A  =  U. On )
4645unieqd 4101 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  On  ->  U. U. A  =  U. U. On )
4744, 45, 463eqtr4a 2501 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  On  ->  U. A  =  U. U. A )
4847orim2i 518 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  \/  A  =  On )  ->  ( A  e.  On  \/  U. A  =  U. U. A ) )
4941, 48sylbi 195 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  On  \/  U. A  =  U. U. A ) )
5049orcomd 388 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( U. A  =  U. U. A  \/  A  e.  On ) )
5150ord 377 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  e.  On ) )
52 unieq 4099 . . . . . . 7  |-  ( A  =  U. A  ->  U. A  =  U. U. A )
5352con3i 135 . . . . . 6  |-  ( -. 
U. A  =  U. U. A  ->  -.  A  =  U. A )
5434ord 377 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  A  =  U. A  ->  A  =  suc  U. A
) )
5553, 54syl5 32 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  =  suc  U. A ) )
56 orduniorsuc 6441 . . . . . . . 8  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  \/  U. A  =  suc  U.
U. A ) )
571, 56syl 16 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( U. A  =  U. U. A  \/  U. A  =  suc  U.
U. A ) )
5857ord 377 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  U. A  =  suc  U.
U. A ) )
59 suceq 4784 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  suc  U. U. A  ->  suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A
)
6058, 59syl6 33 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A
) )
61 eqtr 2460 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  suc  U. A  /\  suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A
)  ->  A  =  suc  suc  U. U. A
)
6261ex 434 . . . . 5  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A  ->  A  =  suc  suc  U.
U. A ) )
6355, 60, 62syl6c 64 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  =  suc  suc  U. U. A ) )
64 onuni 6404 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  U. A  e.  On )
65 onuni 6404 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  On  ->  U.
U. A  e.  On )
66 onsucsuccmp 28290 . . . . 5  |-  ( U. U. A  e.  On  ->  suc 
suc  U. U. A  e. 
Comp )
67 eleq1a 2512 . . . . 5  |-  ( suc 
suc  U. U. A  e. 
Comp  ->  ( A  =  suc  suc  U. U. A  ->  A  e.  Comp )
)
6864, 65, 66, 674syl 21 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  =  suc  suc  U. U. A  ->  A  e.  Comp ) )
6951, 63, 68syl6c 64 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  e.  Comp ) )
70 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  =  1o  ->  A  =  1o )
7170, 16syl6eq 2491 . . . . 5  |-  ( A  =  1o  ->  A  =  { (/) } )
72 0cmp 18997 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  Comp
7371, 72syl6eqel 2531 . . . 4  |-  ( A  =  1o  ->  A  e.  Comp )
7473a1i 11 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  1o  ->  A  e. 
Comp ) )
7569, 74jad 162 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  ( ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o )  ->  A  e. 
Comp ) )
7640, 75impbid 191 1  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  <->  ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606    C_ wss 3328   (/)c0 3637   {csn 3877   U.cuni 4091   Ord word 4718   Oncon0 4719   Lim wlim 4720   suc csuc 4721   1oc1o 6913   Topctop 18498   Compccmp 18989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-om 6477  df-1o 6920  df-er 7101  df-en 7311  df-fin 7314  df-topgen 14382  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cmp 18990
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