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Theorem ordcmp 31178
Description: An ordinal topology is compact iff the underlying set is its supremum (union) only when the ordinal is  1o. (Contributed by Chen-Pang He, 1-Nov-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordcmp  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  <->  ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o )
) )

Proof of Theorem ordcmp
StepHypRef Expression
1 orduni 6640 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  Ord  U. A
)
2 unizlim 5546 . . . . . 6  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  <->  ( U. A  =  (/)  \/ 
Lim  U. A ) ) )
3 uni0b 4215 . . . . . . 7  |-  ( U. A  =  (/)  <->  A  C_  { (/) } )
43orbi1i 529 . . . . . 6  |-  ( ( U. A  =  (/)  \/ 
Lim  U. A )  <->  ( A  C_ 
{ (/) }  \/  Lim  U. A ) )
52, 4syl6bb 269 . . . . 5  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  <->  ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A ) ) )
65biimpd 212 . . . 4  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  ->  ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A
) ) )
71, 6syl 17 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( U. A  =  U. U. A  ->  ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A
) ) )
8 sssn 4122 . . . . . . 7  |-  ( A 
C_  { (/) }  <->  ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } ) )
9 0ntop 20012 . . . . . . . . . . 11  |-  -.  (/)  e.  Top
10 cmptop 20487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  e.  Comp  ->  (/)  e.  Top )
119, 10mto 181 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (/)  e.  Comp
12 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  e.  Comp  <->  (/)  e.  Comp )
)
1311, 12mtbiri 310 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  (/)  ->  -.  A  e.  Comp )
1413pm2.21d 109 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
15 id 22 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  { (/) }  ->  A  =  { (/) } )
16 df1o2 7212 . . . . . . . . . 10  |-  1o  =  { (/) }
1715, 16syl6eqr 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  { (/) }  ->  A  =  1o )
1817a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  { (/) }  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
1914, 18jaoi 386 . . . . . . 7  |-  ( ( A  =  (/)  \/  A  =  { (/) } )  -> 
( A  e.  Comp  ->  A  =  1o )
)
208, 19sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( A 
C_  { (/) }  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
2120a1i 11 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  C_ 
{ (/) }  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) ) )
22 ordtop 31167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Top  <->  A  =/=  U. A
) )
2322biimpd 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Top  ->  A  =/=  U. A ) )
2423necon2bd 2659 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  ->  -.  A  e.  Top )
)
25 cmptop 20487 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Comp  ->  A  e. 
Top )
2625con3i 142 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  Top  ->  -.  A  e.  Comp )
2724, 26syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) )
2827a1dd 46 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  ->  ( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) ) )
29 limsucncmp 31177 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  U. A  ->  -.  suc  U. A  e.  Comp )
30 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( A  e.  Comp  <->  suc  U. A  e.  Comp )
)
3130notbid 301 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( -.  A  e. 
Comp 
<->  -.  suc  U. A  e.  Comp ) )
3229, 31syl5ibr 229 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) )
3332a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  suc  U. A  -> 
( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) ) )
34 orduniorsuc 6676 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  U. A  \/  A  =  suc  U. A ) )
3528, 33, 34mpjaod 388 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( Lim  U. A  ->  -.  A  e.  Comp ) )
36 pm2.21 111 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  Comp  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) )
3735, 36syl6 33 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( Lim  U. A  ->  ( A  e.  Comp  ->  A  =  1o ) ) )
3821, 37jaod 387 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A )  -> 
( A  e.  Comp  ->  A  =  1o )
) )
3938com23 80 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  ->  ( ( A  C_  { (/) }  \/  Lim  U. A )  ->  A  =  1o )
) )
407, 39syl5d 68 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  ->  ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o ) ) )
41 ordeleqon 6634 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  <->  ( A  e.  On  \/  A  =  On ) )
42 unon 6677 . . . . . . . . . . 11  |-  U. On  =  On
4342eqcomi 2480 . . . . . . . . . 10  |-  On  =  U. On
4443unieqi 4199 . . . . . . . . 9  |-  U. On  =  U. U. On
45 unieq 4198 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  On  ->  U. A  =  U. On )
4645unieqd 4200 . . . . . . . . 9  |-  ( A  =  On  ->  U. U. A  =  U. U. On )
4744, 45, 463eqtr4a 2531 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  On  ->  U. A  =  U. U. A )
4847orim2i 527 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  \/  A  =  On )  ->  ( A  e.  On  \/  U. A  =  U. U. A ) )
4941, 48sylbi 200 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  On  \/  U. A  =  U. U. A ) )
5049orcomd 395 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( U. A  =  U. U. A  \/  A  e.  On ) )
5150ord 384 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  e.  On ) )
52 unieq 4198 . . . . . . 7  |-  ( A  =  U. A  ->  U. A  =  U. U. A )
5352con3i 142 . . . . . 6  |-  ( -. 
U. A  =  U. U. A  ->  -.  A  =  U. A )
5434ord 384 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  A  =  U. A  ->  A  =  suc  U. A
) )
5553, 54syl5 32 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  =  suc  U. A ) )
56 orduniorsuc 6676 . . . . . . . 8  |-  ( Ord  U. A  ->  ( U. A  =  U. U. A  \/  U. A  =  suc  U.
U. A ) )
571, 56syl 17 . . . . . . 7  |-  ( Ord 
A  ->  ( U. A  =  U. U. A  \/  U. A  =  suc  U.
U. A ) )
5857ord 384 . . . . . 6  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  U. A  =  suc  U.
U. A ) )
59 suceq 5495 . . . . . 6  |-  ( U. A  =  suc  U. U. A  ->  suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A
)
6058, 59syl6 33 . . . . 5  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A
) )
61 eqtr 2490 . . . . . 6  |-  ( ( A  =  suc  U. A  /\  suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A
)  ->  A  =  suc  suc  U. U. A
)
6261ex 441 . . . . 5  |-  ( A  =  suc  U. A  ->  ( suc  U. A  =  suc  suc  U. U. A  ->  A  =  suc  suc  U.
U. A ) )
6355, 60, 62syl6c 65 . . . 4  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  =  suc  suc  U. U. A ) )
64 onuni 6639 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  U. A  e.  On )
65 onuni 6639 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  On  ->  U.
U. A  e.  On )
66 onsucsuccmp 31175 . . . . 5  |-  ( U. U. A  e.  On  ->  suc 
suc  U. U. A  e. 
Comp )
67 eleq1a 2544 . . . . 5  |-  ( suc 
suc  U. U. A  e. 
Comp  ->  ( A  =  suc  suc  U. U. A  ->  A  e.  Comp )
)
6864, 65, 66, 674syl 19 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( A  =  suc  suc  U. U. A  ->  A  e.  Comp ) )
6951, 63, 68syl6c 65 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( -.  U. A  =  U. U. A  ->  A  e.  Comp ) )
70 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  =  1o  ->  A  =  1o )
7170, 16syl6eq 2521 . . . . 5  |-  ( A  =  1o  ->  A  =  { (/) } )
72 0cmp 20486 . . . . 5  |-  { (/) }  e.  Comp
7371, 72syl6eqel 2557 . . . 4  |-  ( A  =  1o  ->  A  e.  Comp )
7473a1i 11 . . 3  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  =  1o  ->  A  e. 
Comp ) )
7569, 74jad 167 . 2  |-  ( Ord 
A  ->  ( ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o )  ->  A  e. 
Comp ) )
7640, 75impbid 195 1  |-  ( Ord 
A  ->  ( A  e.  Comp  <->  ( U. A  =  U. U. A  ->  A  =  1o )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641    C_ wss 3390   (/)c0 3722   {csn 3959   U.cuni 4190   Ord word 5429   Oncon0 5430   Lim wlim 5431   suc csuc 5432   1oc1o 7193   Topctop 19994   Compccmp 20478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-fin 7591  df-topgen 15420  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479
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