MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbstafun Structured version   Unicode version

Theorem orbstafun 15949
Description: Existence and uniqueness for the function of orbsta 15951. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
orbsta.r  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
orbsta.f  |-  F  =  ran  ( k  e.  X  |->  <. [ k ]  .~  ,  ( k 
.(+)  A ) >. )
Assertion
Ref Expression
orbstafun  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  Fun  F )
Distinct variable groups:    .~ , k    u, k,  .(+)    A, k, u    k, G, u    k, X, u   
k, Y
Allowed substitution hints:    .~ ( u)    F( u, k)    H( u, k)    Y( u)

Proof of Theorem orbstafun
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orbsta.f . 2  |-  F  =  ran  ( k  e.  X  |->  <. [ k ]  .~  ,  ( k 
.(+)  A ) >. )
2 ovex 6226 . . 3  |-  ( k 
.(+)  A )  e.  _V
32a1i 11 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  ( k  .(+)  A )  e.  _V )
4 gasta.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 gasta.2 . . . 4  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
64, 5gastacl 15947 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
7 orbsta.r . . . 4  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
84, 7eqger 15851 . . 3  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
96, 8syl 16 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  .~  Er  X )
10 fvex 5810 . . . 4  |-  ( Base `  G )  e.  _V
114, 10eqeltri 2538 . . 3  |-  X  e. 
_V
1211a1i 11 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  X  e.  _V )
13 oveq1 6208 . 2  |-  ( k  =  h  ->  (
k  .(+)  A )  =  ( h  .(+)  A ) )
14 simpr 461 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  k  .~  h )
15 subgrcl 15806 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
164subgss 15802 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  C_  X
)
17 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
18 eqid 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
194, 17, 18, 7eqgval 15850 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  H  C_  X )  -> 
( k  .~  h  <->  ( k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 k ) ( +g  `  G ) h )  e.  H
) ) )
2015, 16, 19syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( k  .~  h  <->  ( k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  k
) ( +g  `  G
) h )  e.  H ) ) )
216, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  (
k  .~  h  <->  ( k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  k
) ( +g  `  G
) h )  e.  H ) ) )
2221biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  ( k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  k
) ( +g  `  G
) h )  e.  H ) )
2322simp1d 1000 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  k  e.  X )
2422simp2d 1001 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  h  e.  X )
2523, 24jca 532 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  ( k  e.  X  /\  h  e.  X ) )
264, 5, 7gastacos 15948 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( k  e.  X  /\  h  e.  X
) )  ->  (
k  .~  h  <->  ( k  .(+)  A )  =  ( h  .(+)  A )
) )
2725, 26syldan 470 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  ( k  .~  h  <->  ( k  .(+)  A )  =  ( h 
.(+)  A ) ) )
2814, 27mpbid 210 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  ( k  .(+)  A )  =  ( h  .(+)  A )
)
291, 3, 9, 12, 13, 28qliftfund 7297 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  Fun  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803   _Vcvv 3078    C_ wss 3437   <.cop 3992   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4459   ran crn 4950   Fun wfun 5521   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    Er wer 7209   [cec 7210   Basecbs 14293   +g cplusg 14358   Grpcgrp 15530   invgcminusg 15531  SubGrpcsubg 15795   ~QG cqg 15797    GrpAct cga 15927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-er 7212  df-ec 7214  df-qs 7218  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-subg 15798  df-eqg 15800  df-ga 15928
This theorem is referenced by:  orbstaval  15950  orbsta  15951
  Copyright terms: Public domain W3C validator