MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbstafun Structured version   Unicode version

Theorem orbstafun 16141
Description: Existence and uniqueness for the function of orbsta 16143. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
orbsta.r  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
orbsta.f  |-  F  =  ran  ( k  e.  X  |->  <. [ k ]  .~  ,  ( k 
.(+)  A ) >. )
Assertion
Ref Expression
orbstafun  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  Fun  F )
Distinct variable groups:    .~ , k    u, k,  .(+)    A, k, u    k, G, u    k, X, u   
k, Y
Allowed substitution hints:    .~ ( u)    F( u, k)    H( u, k)    Y( u)

Proof of Theorem orbstafun
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orbsta.f . 2  |-  F  =  ran  ( k  e.  X  |->  <. [ k ]  .~  ,  ( k 
.(+)  A ) >. )
2 ovex 6307 . . 3  |-  ( k 
.(+)  A )  e.  _V
32a1i 11 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  ( k  .(+)  A )  e.  _V )
4 gasta.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 gasta.2 . . . 4  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
64, 5gastacl 16139 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
7 orbsta.r . . . 4  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
84, 7eqger 16043 . . 3  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
96, 8syl 16 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  .~  Er  X )
10 fvex 5874 . . . 4  |-  ( Base `  G )  e.  _V
114, 10eqeltri 2551 . . 3  |-  X  e. 
_V
1211a1i 11 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  X  e.  _V )
13 oveq1 6289 . 2  |-  ( k  =  h  ->  (
k  .(+)  A )  =  ( h  .(+)  A ) )
14 simpr 461 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  k  .~  h )
15 subgrcl 15998 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
164subgss 15994 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  C_  X
)
17 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
18 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
194, 17, 18, 7eqgval 16042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  H  C_  X )  -> 
( k  .~  h  <->  ( k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 k ) ( +g  `  G ) h )  e.  H
) ) )
2015, 16, 19syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( k  .~  h  <->  ( k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  k
) ( +g  `  G
) h )  e.  H ) ) )
216, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  (
k  .~  h  <->  ( k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  k
) ( +g  `  G
) h )  e.  H ) ) )
2221biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  ( k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  k
) ( +g  `  G
) h )  e.  H ) )
2322simp1d 1008 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  k  e.  X )
2422simp2d 1009 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  h  e.  X )
2523, 24jca 532 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  ( k  e.  X  /\  h  e.  X ) )
264, 5, 7gastacos 16140 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( k  e.  X  /\  h  e.  X
) )  ->  (
k  .~  h  <->  ( k  .(+)  A )  =  ( h  .(+)  A )
) )
2725, 26syldan 470 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  ( k  .~  h  <->  ( k  .(+)  A )  =  ( h 
.(+)  A ) ) )
2814, 27mpbid 210 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  ( k  .(+)  A )  =  ( h  .(+)  A )
)
291, 3, 9, 12, 13, 28qliftfund 7394 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  Fun  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   <.cop 4033   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   ran crn 5000   Fun wfun 5580   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    Er wer 7305   [cec 7306   Basecbs 14483   +g cplusg 14548   Grpcgrp 15720   invgcminusg 15721  SubGrpcsubg 15987   ~QG cqg 15989    GrpAct cga 16119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-0g 14690  df-mnd 15725  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-subg 15990  df-eqg 15992  df-ga 16120
This theorem is referenced by:  orbstaval  16142  orbsta  16143
  Copyright terms: Public domain W3C validator