MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbstafun Structured version   Unicode version

Theorem orbstafun 16671
Description: Existence and uniqueness for the function of orbsta 16673. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 23-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
orbsta.r  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
orbsta.f  |-  F  =  ran  ( k  e.  X  |->  <. [ k ]  .~  ,  ( k 
.(+)  A ) >. )
Assertion
Ref Expression
orbstafun  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  Fun  F )
Distinct variable groups:    .~ , k    u, k,  .(+)    A, k, u    k, G, u    k, X, u   
k, Y
Allowed substitution hints:    .~ ( u)    F( u, k)    H( u, k)    Y( u)

Proof of Theorem orbstafun
Dummy variable  h is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orbsta.f . 2  |-  F  =  ran  ( k  e.  X  |->  <. [ k ]  .~  ,  ( k 
.(+)  A ) >. )
2 ovex 6305 . . 3  |-  ( k 
.(+)  A )  e.  _V
32a1i 11 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  ( k  .(+)  A )  e.  _V )
4 gasta.1 . . . 4  |-  X  =  ( Base `  G
)
5 gasta.2 . . . 4  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
64, 5gastacl 16669 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
7 orbsta.r . . . 4  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
84, 7eqger 16573 . . 3  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
96, 8syl 17 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  .~  Er  X )
10 fvex 5858 . . . 4  |-  ( Base `  G )  e.  _V
114, 10eqeltri 2486 . . 3  |-  X  e. 
_V
1211a1i 11 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  X  e.  _V )
13 oveq1 6284 . 2  |-  ( k  =  h  ->  (
k  .(+)  A )  =  ( h  .(+)  A ) )
14 simpr 459 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  k  .~  h )
15 subgrcl 16528 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
164subgss 16524 . . . . . . . . 9  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  C_  X
)
17 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
18 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
194, 17, 18, 7eqgval 16572 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  H  C_  X )  -> 
( k  .~  h  <->  ( k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 k ) ( +g  `  G ) h )  e.  H
) ) )
2015, 16, 19syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( k  .~  h  <->  ( k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  k
) ( +g  `  G
) h )  e.  H ) ) )
216, 20syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  (
k  .~  h  <->  ( k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  k
) ( +g  `  G
) h )  e.  H ) ) )
2221biimpa 482 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  ( k  e.  X  /\  h  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  k
) ( +g  `  G
) h )  e.  H ) )
2322simp1d 1009 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  k  e.  X )
2422simp2d 1010 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  h  e.  X )
2523, 24jca 530 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  ( k  e.  X  /\  h  e.  X ) )
264, 5, 7gastacos 16670 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( k  e.  X  /\  h  e.  X
) )  ->  (
k  .~  h  <->  ( k  .(+)  A )  =  ( h  .(+)  A )
) )
2725, 26syldan 468 . . 3  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  ( k  .~  h  <->  ( k  .(+)  A )  =  ( h 
.(+)  A ) ) )
2814, 27mpbid 210 . 2  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  .~  h
)  ->  ( k  .(+)  A )  =  ( h  .(+)  A )
)
291, 3, 9, 12, 13, 28qliftfund 7433 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  Fun  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2757   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   <.cop 3977   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   ran crn 4823   Fun wfun 5562   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    Er wer 7344   [cec 7345   Basecbs 14839   +g cplusg 14907   Grpcgrp 16375   invgcminusg 16376  SubGrpcsubg 16517   ~QG cqg 16519    GrpAct cga 16649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-ec 7349  df-qs 7353  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-0g 15054  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-subg 16520  df-eqg 16522  df-ga 16650
This theorem is referenced by:  orbstaval  16672  orbsta  16673
  Copyright terms: Public domain W3C validator