Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbsta2 Structured version   Unicode version

Theorem orbsta2 16919
 Description: Relation between the size of the orbit and the size of the stabilizer of a point in a finite group action. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
orbsta2.x
orbsta2.h
orbsta2.r ~QG
orbsta2.o
Assertion
Ref Expression
orbsta2
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   (,,,)   ()

Proof of Theorem orbsta2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 orbsta2.x . . 3
2 orbsta2.r . . 3 ~QG
3 orbsta2.h . . . . 5
41, 3gastacl 16914 . . . 4 SubGrp
54adantr 466 . . 3 SubGrp
6 simpr 462 . . 3
71, 2, 5, 6lagsubg2 16829 . 2
8 eqid 2429 . . . . . . 7
9 orbsta2.o . . . . . . 7
101, 3, 2, 8, 9orbsta 16918 . . . . . 6
1110adantr 466 . . . . 5
12 fvex 5891 . . . . . . . 8
131, 12eqeltri 2513 . . . . . . 7
1413qsex 7430 . . . . . 6
1514f1oen 7597 . . . . 5
1611, 15syl 17 . . . 4
17 pwfi 7875 . . . . . . 7
186, 17sylib 199 . . . . . 6
191, 2eqger 16818 . . . . . . . 8 SubGrp
205, 19syl 17 . . . . . . 7
2120qsss 7432 . . . . . 6
22 ssfi 7798 . . . . . 6
2318, 21, 22syl2anc 665 . . . . 5
2416ensymd 7627 . . . . . 6
25 enfii 7795 . . . . . 6
2623, 24, 25syl2anc 665 . . . . 5
27 hashen 12527 . . . . 5
2823, 26, 27syl2anc 665 . . . 4
2916, 28mpbird 235 . . 3
3029oveq1d 6320 . 2
317, 30eqtrd 2470 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1870  wrex 2783  crab 2786  cvv 3087   wss 3442  cpw 3985  cpr 4004  cop 4008   class class class wbr 4426  copab 4483   cmpt 4484   crn 4855  wf1o 5600  cfv 5601  (class class class)co 6305   wer 7368  cec 7369  cqs 7370   cen 7574  cfn 7577   cmul 9543  chash 12512  cbs 15084  SubGrpcsubg 16762   ~QG cqg 16764   cga 16894 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-ec 7373  df-qs 7377  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-minusg 16625  df-subg 16765  df-eqg 16767  df-ga 16895 This theorem is referenced by:  sylow1lem5  17189  sylow2alem2  17205  sylow3lem3  17216
 Copyright terms: Public domain W3C validator