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Theorem orbsta 15045
Description: The Orbit-Stabilizer theorem. The mapping  F is a bijection from the cosets of the stabilizer subgroup of  A to the orbit of  A. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1  |-  X  =  ( Base `  G
)
gasta.2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
orbsta.r  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
orbsta.f  |-  F  =  ran  ( k  e.  X  |->  <. [ k ]  .~  ,  ( k 
.(+)  A ) >. )
orbsta.o  |-  O  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
orbsta  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  F : ( X /.  .~  ) -1-1-onto-> [ A ] O
)
Distinct variable groups:    g, k, x, y,  .~    u, g, 
.(+) , k, x, y    x, H, y    A, g, k, u, x, y    g, G, k, u, x, y   
g, X, k, u, x, y    k, O   
g, Y, k, x, y
Allowed substitution hints:    .~ ( u)    F( x, y, u, g, k)    H( u, g, k)    O( x, y, u, g)    Y( u)

Proof of Theorem orbsta
Dummy variables  a 
b  h  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gasta.1 . . . . 5  |-  X  =  ( Base `  G
)
2 gasta.2 . . . . 5  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  A )  =  A }
3 orbsta.r . . . . 5  |-  .~  =  ( G ~QG  H )
4 orbsta.f . . . . 5  |-  F  =  ran  ( k  e.  X  |->  <. [ k ]  .~  ,  ( k 
.(+)  A ) >. )
51, 2, 3, 4orbstafun 15043 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  Fun  F )
6 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  A  e.  Y )
76adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  A  e.  Y )
81gaf 15027 . . . . . . . . . 10  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
98adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
109adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
11 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  k  e.  X )
1210, 11, 7fovrnd 6177 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  ( k  .(+)  A )  e.  Y
)
13 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( k 
.(+)  A )  =  ( k  .(+)  A )
14 oveq1 6047 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  =  k  ->  (
h  .(+)  A )  =  ( k  .(+)  A ) )
1514eqeq1d 2412 . . . . . . . . 9  |-  ( h  =  k  ->  (
( h  .(+)  A )  =  ( k  .(+)  A )  <->  ( k  .(+)  A )  =  ( k 
.(+)  A ) ) )
1615rspcev 3012 . . . . . . . 8  |-  ( ( k  e.  X  /\  ( k  .(+)  A )  =  ( k  .(+)  A ) )  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
A )  =  ( k  .(+)  A )
)
1711, 13, 16sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  E. h  e.  X  ( h  .(+) 
A )  =  ( k  .(+)  A )
)
18 orbsta.o . . . . . . . 8  |-  O  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
1918gaorb 15039 . . . . . . 7  |-  ( A O ( k  .(+)  A )  <->  ( A  e.  Y  /\  ( k 
.(+)  A )  e.  Y  /\  E. h  e.  X  ( h  .(+)  A )  =  ( k  .(+)  A ) ) )
207, 12, 17, 19syl3anbrc 1138 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  A O
( k  .(+)  A ) )
21 ovex 6065 . . . . . . 7  |-  ( k 
.(+)  A )  e.  _V
22 elecg 6902 . . . . . . 7  |-  ( ( ( k  .(+)  A )  e.  _V  /\  A  e.  Y )  ->  (
( k  .(+)  A )  e.  [ A ] O 
<->  A O ( k 
.(+)  A ) ) )
2321, 7, 22sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  ( (
k  .(+)  A )  e. 
[ A ] O  <->  A O ( k  .(+)  A ) ) )
2420, 23mpbird 224 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  k  e.  X
)  ->  ( k  .(+)  A )  e.  [ A ] O )
251, 2gastacl 15041 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  H  e.  (SubGrp `  G )
)
261, 3eqger 14945 . . . . . 6  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
2725, 26syl 16 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  .~  Er  X )
28 fvex 5701 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  e.  _V
291, 28eqeltri 2474 . . . . . 6  |-  X  e. 
_V
3029a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  X  e.  _V )
314, 24, 27, 30qliftf 6951 . . . 4  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( Fun  F  <->  F : ( X /.  .~  ) --> [ A ] O ) )
325, 31mpbid 202 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  F : ( X /.  .~  ) --> [ A ] O )
33 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( X /.  .~  )  =  ( X /.  .~  )
34 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  a ) )
3534eqeq1d 2412 . . . . . . 7  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( ( F `
 [ z ]  .~  )  =  ( F `  b )  <-> 
( F `  a
)  =  ( F `
 b ) ) )
36 eqeq1 2410 . . . . . . 7  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( [ z ]  .~  =  b  <-> 
a  =  b ) )
3735, 36imbi12d 312 . . . . . 6  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  b
)  ->  [ z ]  .~  =  b )  <-> 
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) ) )
3837ralbidv 2686 . . . . 5  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( A. b  e.  ( X /.  .~  ) ( ( F `
 [ z ]  .~  )  =  ( F `  b )  ->  [ z ]  .~  =  b )  <->  A. b  e.  ( X /.  .~  ) ( ( F `  a
)  =  ( F `
 b )  -> 
a  =  b ) ) )
39 fveq2 5687 . . . . . . . . 9  |-  ( [ w ]  .~  =  b  ->  ( F `  [ w ]  .~  )  =  ( F `  b ) )
4039eqeq2d 2415 . . . . . . . 8  |-  ( [ w ]  .~  =  b  ->  ( ( F `
 [ z ]  .~  )  =  ( F `  [ w ]  .~  )  <->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  b ) ) )
41 eqeq2 2413 . . . . . . . 8  |-  ( [ w ]  .~  =  b  ->  ( [ z ]  .~  =  [
w ]  .~  <->  [ z ]  .~  =  b ) )
4240, 41imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( [ w ]  .~  =  b  ->  ( ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  [
w ]  .~  )  ->  [ z ]  .~  =  [ w ]  .~  ) 
<->  ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  b )  ->  [ z ]  .~  =  b ) ) )
431, 2, 3, 4orbstaval 15044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  z  e.  X
)  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( z  .(+)  A ) )
4443adantrr 698 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( z  .(+)  A )
)
451, 2, 3, 4orbstaval 15044 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  w  e.  X
)  ->  ( F `  [ w ]  .~  )  =  ( w  .(+) 
A ) )
4645adantrl 697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  ( F `  [ w ]  .~  )  =  ( w  .(+)  A )
)
4744, 46eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( F `  [
z ]  .~  )  =  ( F `  [ w ]  .~  ) 
<->  ( z  .(+)  A )  =  ( w  .(+)  A ) ) )
481, 2, 3gastacos 15042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
z  .~  w  <->  ( z  .(+)  A )  =  ( w  .(+)  A )
) )
4927adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  .~  Er  X )
50 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  z  e.  X )
5149, 50erth 6908 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
z  .~  w  <->  [ z ]  .~  =  [ w ]  .~  ) )
5247, 48, 513bitr2d 273 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( F `  [
z ]  .~  )  =  ( F `  [ w ]  .~  ) 
<->  [ z ]  .~  =  [ w ]  .~  ) )
5352biimpd 199 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  ( z  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( F `  [
z ]  .~  )  =  ( F `  [ w ]  .~  )  ->  [ z ]  .~  =  [ w ]  .~  ) )
5453anassrs 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  z  e.  X
)  /\  w  e.  X )  ->  (
( F `  [
z ]  .~  )  =  ( F `  [ w ]  .~  )  ->  [ z ]  .~  =  [ w ]  .~  ) )
5533, 42, 54ectocld 6930 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  z  e.  X
)  /\  b  e.  ( X /.  .~  )
)  ->  ( ( F `  [ z ]  .~  )  =  ( F `  b )  ->  [ z ]  .~  =  b ) )
5655ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  z  e.  X
)  ->  A. b  e.  ( X /.  .~  ) ( ( F `
 [ z ]  .~  )  =  ( F `  b )  ->  [ z ]  .~  =  b ) )
5733, 38, 56ectocld 6930 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  a  e.  ( X /.  .~  ) )  ->  A. b  e.  ( X /.  .~  )
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) )
5857ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  A. a  e.  ( X /.  .~  ) A. b  e.  ( X /.  .~  )
( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) )
59 dff13 5963 . . 3  |-  ( F : ( X /.  .~  ) -1-1-> [ A ] O  <->  ( F : ( X /.  .~  ) --> [ A ] O  /\  A. a  e.  ( X /.  .~  ) A. b  e.  ( X /.  .~  ) ( ( F `  a )  =  ( F `  b )  ->  a  =  b ) ) )
6032, 58, 59sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  F : ( X /.  .~  ) -1-1-> [ A ] O
)
61 vex 2919 . . . . . . . . 9  |-  h  e. 
_V
62 elecg 6902 . . . . . . . . 9  |-  ( ( h  e.  _V  /\  A  e.  Y )  ->  ( h  e.  [ A ] O  <->  A O h ) )
6361, 6, 62sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  (
h  e.  [ A ] O  <->  A O h ) )
6418gaorb 15039 . . . . . . . 8  |-  ( A O h  <->  ( A  e.  Y  /\  h  e.  Y  /\  E. w  e.  X  ( w  .(+) 
A )  =  h ) )
6563, 64syl6bb 253 . . . . . . 7  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  (
h  e.  [ A ] O  <->  ( A  e.  Y  /\  h  e.  Y  /\  E. w  e.  X  ( w  .(+) 
A )  =  h ) ) )
6665biimpa 471 . . . . . 6  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  h  e.  [ A ] O )  ->  ( A  e.  Y  /\  h  e.  Y  /\  E. w  e.  X  ( w  .(+)  A )  =  h ) )
6766simp3d 971 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  h  e.  [ A ] O )  ->  E. w  e.  X  ( w  .(+) 
A )  =  h )
68 ovex 6065 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G ~QG  H )  e.  _V
693, 68eqeltri 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  .~  e.  _V
7069ecelqsi 6919 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  X  ->  [ w ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
7170adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  w  e.  X
)  ->  [ w ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
7245eqcomd 2409 . . . . . . . . 9  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  w  e.  X
)  ->  ( w  .(+) 
A )  =  ( F `  [ w ]  .~  ) )
73 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  [ w ]  .~  ->  ( F `  z )  =  ( F `  [ w ]  .~  ) )
7473eqeq2d 2415 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  [ w ]  .~  ->  ( ( w 
.(+)  A )  =  ( F `  z )  <-> 
( w  .(+)  A )  =  ( F `  [ w ]  .~  ) ) )
7574rspcev 3012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( [ w ]  .~  e.  ( X /.  .~  )  /\  ( w  .(+)  A )  =  ( F `
 [ w ]  .~  ) )  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) ( w  .(+)  A )  =  ( F `
 z ) )
7671, 72, 75syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  w  e.  X
)  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) ( w  .(+)  A )  =  ( F `
 z ) )
77 eqeq1 2410 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  .(+)  A )  =  h  ->  ( ( w  .(+)  A )  =  ( F `  z )  <->  h  =  ( F `  z ) ) )
7877rexbidv 2687 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  .(+)  A )  =  h  ->  ( E. z  e.  ( X /.  .~  ) ( w  .(+)  A )  =  ( F `  z )  <->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z )
) )
7976, 78syl5ibcom 212 . . . . . . 7  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  w  e.  X
)  ->  ( (
w  .(+)  A )  =  h  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z )
) )
8079rexlimdva 2790 . . . . . 6  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  ( E. w  e.  X  ( w  .(+)  A )  =  h  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z )
) )
8180imp 419 . . . . 5  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  E. w  e.  X  ( w  .(+)  A )  =  h )  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z ) )
8267, 81syldan 457 . . . 4  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  /\  h  e.  [ A ] O )  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z )
)
8382ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  A. h  e.  [  A ] O E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z ) )
84 dffo3 5843 . . 3  |-  ( F : ( X /.  .~  ) -onto-> [ A ] O  <->  ( F : ( X /.  .~  ) --> [ A ] O  /\  A. h  e.  [  A ] O E. z  e.  ( X /.  .~  ) h  =  ( F `  z )
) )
8532, 83, 84sylanbrc 646 . 2  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  F : ( X /.  .~  ) -onto-> [ A ] O
)
86 df-f1o 5420 . 2  |-  ( F : ( X /.  .~  ) -1-1-onto-> [ A ] O  <->  ( F : ( X /.  .~  ) -1-1-> [ A ] O  /\  F : ( X /.  .~  ) -onto-> [ A ] O
) )
8760, 85, 86sylanbrc 646 1  |-  ( ( 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  A  e.  Y )  ->  F : ( X /.  .~  ) -1-1-onto-> [ A ] O
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   {cpr 3775   <.cop 3777   class class class wbr 4172   {copab 4225    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   ran crn 4838   Fun wfun 5407   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    Er wer 6861   [cec 6862   /.cqs 6863   Basecbs 13424  SubGrpcsubg 14893   ~QG cqg 14895    GrpAct cga 15021
This theorem is referenced by:  orbsta2  15046
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-subg 14896  df-eqg 14898  df-ga 15022
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