Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  orbsta Structured version   Unicode version

Theorem orbsta 16955
 Description: The Orbit-Stabilizer theorem. The mapping is a bijection from the cosets of the stabilizer subgroup of to the orbit of . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1
gasta.2
orbsta.r ~QG
orbsta.f
orbsta.o
Assertion
Ref Expression
orbsta
Distinct variable groups:   ,,,,   ,, ,,,   ,,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   (,,,,)   (,,)   (,,,)   ()

Proof of Theorem orbsta
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gasta.1 . . . . 5
2 gasta.2 . . . . 5
3 orbsta.r . . . . 5 ~QG
4 orbsta.f . . . . 5
51, 2, 3, 4orbstafun 16953 . . . 4
6 simpr 462 . . . . . . . 8
76adantr 466 . . . . . . 7
81gaf 16937 . . . . . . . . . 10
98adantr 466 . . . . . . . . 9
109adantr 466 . . . . . . . 8
11 simpr 462 . . . . . . . 8
1210, 11, 7fovrnd 6452 . . . . . . 7
13 eqid 2422 . . . . . . . 8
14 oveq1 6309 . . . . . . . . . 10
1514eqeq1d 2424 . . . . . . . . 9
1615rspcev 3182 . . . . . . . 8
1711, 13, 16sylancl 666 . . . . . . 7
18 orbsta.o . . . . . . . 8
1918gaorb 16949 . . . . . . 7
207, 12, 17, 19syl3anbrc 1189 . . . . . 6
21 ovex 6330 . . . . . . 7
22 elecg 7407 . . . . . . 7
2321, 7, 22sylancr 667 . . . . . 6
2420, 23mpbird 235 . . . . 5
251, 2gastacl 16951 . . . . . 6 SubGrp
261, 3eqger 16855 . . . . . 6 SubGrp
2725, 26syl 17 . . . . 5
28 fvex 5888 . . . . . . 7
291, 28eqeltri 2506 . . . . . 6
3029a1i 11 . . . . 5
314, 24, 27, 30qliftf 7456 . . . 4
325, 31mpbid 213 . . 3
33 eqid 2422 . . . . 5
34 fveq2 5878 . . . . . . . 8
3534eqeq1d 2424 . . . . . . 7
36 eqeq1 2426 . . . . . . 7
3735, 36imbi12d 321 . . . . . 6
3837ralbidv 2864 . . . . 5
39 fveq2 5878 . . . . . . . . 9
4039eqeq2d 2436 . . . . . . . 8
41 eqeq2 2437 . . . . . . . 8
4240, 41imbi12d 321 . . . . . . 7
431, 2, 3, 4orbstaval 16954 . . . . . . . . . . . 12
4443adantrr 721 . . . . . . . . . . 11
451, 2, 3, 4orbstaval 16954 . . . . . . . . . . . 12
4645adantrl 720 . . . . . . . . . . 11
4744, 46eqeq12d 2444 . . . . . . . . . 10
481, 2, 3gastacos 16952 . . . . . . . . . 10
4927adantr 466 . . . . . . . . . . 11
50 simprl 762 . . . . . . . . . . 11
5149, 50erth 7413 . . . . . . . . . 10
5247, 48, 513bitr2d 284 . . . . . . . . 9
5352biimpd 210 . . . . . . . 8
5453anassrs 652 . . . . . . 7
5533, 42, 54ectocld 7435 . . . . . 6
5655ralrimiva 2839 . . . . 5
5733, 38, 56ectocld 7435 . . . 4
5857ralrimiva 2839 . . 3
59 dff13 6171 . . 3
6032, 58, 59sylanbrc 668 . 2
61 vex 3084 . . . . . . . . 9
62 elecg 7407 . . . . . . . . 9
6361, 6, 62sylancr 667 . . . . . . . 8
6418gaorb 16949 . . . . . . . 8
6563, 64syl6bb 264 . . . . . . 7
6665biimpa 486 . . . . . 6
6766simp3d 1019 . . . . 5
68 ovex 6330 . . . . . . . . . . . 12 ~QG
693, 68eqeltri 2506 . . . . . . . . . . 11
7069ecelqsi 7424 . . . . . . . . . 10
7170adantl 467 . . . . . . . . 9
7245eqcomd 2430 . . . . . . . . 9
73 fveq2 5878 . . . . . . . . . . 11
7473eqeq2d 2436 . . . . . . . . . 10
7574rspcev 3182 . . . . . . . . 9
7671, 72, 75syl2anc 665 . . . . . . . 8
77 eqeq1 2426 . . . . . . . . 9
7877rexbidv 2939 . . . . . . . 8
7976, 78syl5ibcom 223 . . . . . . 7
8079rexlimdva 2917 . . . . . 6
8180imp 430 . . . . 5
8267, 81syldan 472 . . . 4
8382ralrimiva 2839 . . 3
84 dffo3 6049 . . 3
8532, 83, 84sylanbrc 668 . 2
86 df-f1o 5605 . 2
8760, 85, 86sylanbrc 668 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1868  wral 2775  wrex 2776  crab 2779  cvv 3081   wss 3436  cpr 3998  cop 4002   class class class wbr 4420  copab 4478   cmpt 4479   cxp 4848   crn 4851   wfun 5592  wf 5594  wf1 5595  wfo 5596  wf1o 5597  cfv 5598  (class class class)co 6302   wer 7365  cec 7366  cqs 7367  cbs 15109  SubGrpcsubg 16799   ~QG cqg 16801   cga 16931 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-ec 7370  df-qs 7374  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-0g 15328  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-subg 16802  df-eqg 16804  df-ga 16932 This theorem is referenced by:  orbsta2  16956
 Copyright terms: Public domain W3C validator