Theorem optocl 3292

Description: Implicit substitution of class for ordered pair.

Hypotheses

Ref	Expression
optocl.1	|- D = (B X. C)
optocl.2	|- (<.x, y>. = A -> (ph <-> ps))
optocl.3	|- ((x e. B /\ y e. C) -> ph)

Assertion

Ref	Expression
optocl	|- (A e. D -> ps)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,C,y   ps,x,y

Proof of Theorem optocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		optocl.1	. . 3 |- D = (B X. C)
2	1	eleq2i 1585	. 2 |- (A e. D <-> A e. (B X. C))
3		elxp3 3281	. . 3 |- (A e. (B X. C) <-> E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)))
4		optocl.2	. . . . . 6 |- (<.x, y>. = A -> (ph <-> ps))
5		visset 1860	. . . . . . . 8 |- y e. V
6	5	opelxp 3271	. . . . . . 7 |- (<.x, y>. e. (B X. C) <-> (x e. B /\ y e. C))
7		optocl.3	. . . . . . 7 |- ((x e. B /\ y e. C) -> ph)
8	6, 7	sylbi 206	. . . . . 6 |- (<.x, y>. e. (B X. C) -> ph)
9	4, 8	syl5bi 215	. . . . 5 |- (<.x, y>. = A -> (<.x, y>. e. (B X. C) -> ps))
10	9	imp 357	. . . 4 |- ((<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)) -> ps)
11	10	19.23aivv 1338	. . 3 |- (E.xE.y(<.x, y>. = A /\ <.x, y>. e. (B X. C)) -> ps)
12	3, 11	sylbi 206	. 2 |- (A e. (B X. C) -> ps)
13	2, 12	sylbi 206	1 |- (A e. D -> ps)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 153   /\ wa 230   = wceq 997   e. wcel 999  E.wex 1021  <.cop 2463   X. cxp 3225

This theorem is referenced by:  2optocl 3293  3optocl 3294  ecoptocl 4364  ax0id 5346  ax1id 5347  axcnre 5351

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-opab 2722  df-xp 3241

Copyright terms: Public domain