Theorem opthwiener 4749

Description: Justification theorem for the ordered pair definition in Norbert Wiener, "A simplification of the logic of relations," Proc. of the Cambridge Philos. Soc., 1914, vol. 17, pp.387-390. It is also shown as a definition in [Enderton] p. 36 and as Exercise 4.8(b) of [Mendelson] p. 230. It is meaningful only for classes that exist as sets (i.e. are not proper classes). See df-op 4034 for other ordered pair definitions. (Contributed by NM, 28-Sep-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opthwiener	|- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } <-> ( A = C /\ B = D ) )

Proof of Theorem opthwiener

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . . 7 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } )
2		snex 4688	. . . . . . . . . . . 12 |- { { B } } e. _V
3	2	prid2 4136	. . . . . . . . . . 11 |- { { B } } e. { { { A } , (/) } , { { B } } }
4		eleq2 2540	. . . . . . . . . . 11 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> ( { { B } } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } <-> { { B } } e. { { { C } , (/) } , { { D } } } ) )
5	3, 4	mpbii 211	. . . . . . . . . 10 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { { B } } e. { { { C } , (/) } , { { D } } } )
6	2	elpr 4045	. . . . . . . . . 10 |- ( { { B } } e. { { { C } , (/) } , { { D } } } <-> ( { { B } } = { { C } , (/) } \/ { { B } } = { { D } } ) )
7	5, 6	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> ( { { B } } = { { C } , (/) } \/ { { B } } = { { D } } ) )
8		0ex 4577	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. _V
9	8	prid2 4136	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. { { C } , (/) }
10		opthw.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B e. _V
11	10	snnz 4145	. . . . . . . . . . . . 13 |- { B } =/= (/)
12	8	elsnc 4051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) e. { { B } } <-> (/) = { B } )
13		eqcom 2476	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) = { B } <-> { B } = (/) )
14	12, 13	bitri 249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. { { B } } <-> { B } = (/) )
15	11, 14	nemtbir 2795	. . . . . . . . . . . 12 |- -. (/) e. { { B } }
16		nelneq2 2585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. { { C } , (/) } /\ -. (/) e. { { B } } ) -> -. { { C } , (/) } = { { B } } )
17	9, 15, 16	mp2an 672	. . . . . . . . . . 11 |- -. { { C } , (/) } = { { B } }
18		eqcom 2476	. . . . . . . . . . 11 |- ( { { C } , (/) } = { { B } } <-> { { B } } = { { C } , (/) } )
19	17, 18	mtbi 298	. . . . . . . . . 10 |- -. { { B } } = { { C } , (/) }
20		biorf 405	. . . . . . . . . 10 |- ( -. { { B } } = { { C } , (/) } -> ( { { B } } = { { D } } <-> ( { { B } } = { { C } , (/) } \/ { { B } } = { { D } } ) ) )
21	19, 20	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( { { B } } = { { D } } <-> ( { { B } } = { { C } , (/) } \/ { { B } } = { { D } } ) )
22	7, 21	sylibr 212	. . . . . . . 8 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { { B } } = { { D } } )
23	22	preq2d 4113	. . . . . . 7 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { { { C } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } )
24	1, 23	eqtr4d 2511	. . . . . 6 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { B } } } )
25		prex 4689	. . . . . . 7 |- { { A } , (/) } e. _V
26		prex 4689	. . . . . . 7 |- { { C } , (/) } e. _V
27	25, 26	preqr1 4200	. . . . . 6 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { B } } } -> { { A } , (/) } = { { C } , (/) } )
28	24, 27	syl 16	. . . . 5 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { { A } , (/) } = { { C } , (/) } )
29		snex 4688	. . . . . 6 |- { A } e. _V
30		snex 4688	. . . . . 6 |- { C } e. _V
31	29, 30	preqr1 4200	. . . . 5 |- ( { { A } , (/) } = { { C } , (/) } -> { A } = { C } )
32	28, 31	syl 16	. . . 4 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { A } = { C } )
33		opthw.1	. . . . 5 |- A e. _V
34	33	sneqr 4194	. . . 4 |- ( { A } = { C } -> A = C )
35	32, 34	syl 16	. . 3 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> A = C )
36		snex 4688	. . . . . 6 |- { B } e. _V
37	36	sneqr 4194	. . . . 5 |- ( { { B } } = { { D } } -> { B } = { D } )
38	22, 37	syl 16	. . . 4 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { B } = { D } )
39	10	sneqr 4194	. . . 4 |- ( { B } = { D } -> B = D )
40	38, 39	syl 16	. . 3 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> B = D )
41	35, 40	jca 532	. 2 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> ( A = C /\ B = D ) )
42		sneq 4037	. . . . 5 |- ( A = C -> { A } = { C } )
43	42	preq1d 4112	. . . 4 |- ( A = C -> { { A } , (/) } = { { C } , (/) } )
44	43	preq1d 4112	. . 3 |- ( A = C -> { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { B } } } )
45		sneq 4037	. . . . 5 |- ( B = D -> { B } = { D } )
46		sneq 4037	. . . . 5 |- ( { B } = { D } -> { { B } } = { { D } } )
47	45, 46	syl 16	. . . 4 |- ( B = D -> { { B } } = { { D } } )
48	47	preq2d 4113	. . 3 |- ( B = D -> { { { C } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } )
49	44, 48	sylan9eq 2528	. 2 |- ( ( A = C /\ B = D ) -> { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } )
50	41, 49	impbii 188	1 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } <-> ( A = C /\ B = D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   _Vcvv 3113   (/)c0 3785   {csn 4027   {cpr 4029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-v 3115  df-dif 3479  df-un 3481  df-nul 3786  df-sn 4028  df-pr 4030

This theorem is referenced by: (None)