Theorem opthwiener 4418

Description: Justification theorem for the ordered pair definition in Norbert Wiener, "A simplification of the logic of relations," Proc. of the Cambridge Philos. Soc., 1914, vol. 17, pp.387-390. It is also shown as a definition in [Enderton] p. 36 and as Exercise 4.8(b) of [Mendelson] p. 230. It is meaningful only for classes that exist as sets (i.e. are not proper classes). See df-op 3783 for other ordered pair definitions. (Contributed by NM, 28-Sep-2003.)

Hypotheses

Ref	Expression
opthw.1	|- A e. _V
opthw.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opthwiener	|- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } <-> ( A = C /\ B = D ) )

Proof of Theorem opthwiener

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 20	. . . . . . 7 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } )
2		snex 4365	. . . . . . . . . . . 12 |- { { B } } e. _V
3	2	prid2 3873	. . . . . . . . . . 11 |- { { B } } e. { { { A } , (/) } , { { B } } }
4		eleq2 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> ( { { B } } e. { { { A } , (/) } , { { B } } } <-> { { B } } e. { { { C } , (/) } , { { D } } } ) )
5	3, 4	mpbii 203	. . . . . . . . . 10 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { { B } } e. { { { C } , (/) } , { { D } } } )
6	2	elpr 3792	. . . . . . . . . 10 |- ( { { B } } e. { { { C } , (/) } , { { D } } } <-> ( { { B } } = { { C } , (/) } \/ { { B } } = { { D } } ) )
7	5, 6	sylib 189	. . . . . . . . 9 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> ( { { B } } = { { C } , (/) } \/ { { B } } = { { D } } ) )
8		0ex 4299	. . . . . . . . . . . . 13 |- (/) e. _V
9	8	prid2 3873	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. { { C } , (/) }
10		opthw.2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- B e. _V
11	10	snnz 3882	. . . . . . . . . . . . 13 |- { B } =/= (/)
12	8	elsnc 3797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) e. { { B } } <-> (/) = { B } )
13		eqcom 2406	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) = { B } <-> { B } = (/) )
14	12, 13	bitri 241	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( (/) e. { { B } } <-> { B } = (/) )
15	11, 14	nemtbir 2655	. . . . . . . . . . . 12 |- -. (/) e. { { B } }
16		nelneq2 2503	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. { { C } , (/) } /\ -. (/) e. { { B } } ) -> -. { { C } , (/) } = { { B } } )
17	9, 15, 16	mp2an 654	. . . . . . . . . . 11 |- -. { { C } , (/) } = { { B } }
18		eqcom 2406	. . . . . . . . . . 11 |- ( { { C } , (/) } = { { B } } <-> { { B } } = { { C } , (/) } )
19	17, 18	mtbi 290	. . . . . . . . . 10 |- -. { { B } } = { { C } , (/) }
20		biorf 395	. . . . . . . . . 10 |- ( -. { { B } } = { { C } , (/) } -> ( { { B } } = { { D } } <-> ( { { B } } = { { C } , (/) } \/ { { B } } = { { D } } ) ) )
21	19, 20	ax-mp 8	. . . . . . . . 9 |- ( { { B } } = { { D } } <-> ( { { B } } = { { C } , (/) } \/ { { B } } = { { D } } ) )
22	7, 21	sylibr 204	. . . . . . . 8 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { { B } } = { { D } } )
23	22	preq2d 3850	. . . . . . 7 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { { { C } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } )
24	1, 23	eqtr4d 2439	. . . . . 6 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { B } } } )
25		prex 4366	. . . . . . 7 |- { { A } , (/) } e. _V
26		prex 4366	. . . . . . 7 |- { { C } , (/) } e. _V
27	25, 26	preqr1 3932	. . . . . 6 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { B } } } -> { { A } , (/) } = { { C } , (/) } )
28	24, 27	syl 16	. . . . 5 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { { A } , (/) } = { { C } , (/) } )
29		snex 4365	. . . . . 6 |- { A } e. _V
30		snex 4365	. . . . . 6 |- { C } e. _V
31	29, 30	preqr1 3932	. . . . 5 |- ( { { A } , (/) } = { { C } , (/) } -> { A } = { C } )
32	28, 31	syl 16	. . . 4 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { A } = { C } )
33		opthw.1	. . . . 5 |- A e. _V
34	33	sneqr 3926	. . . 4 |- ( { A } = { C } -> A = C )
35	32, 34	syl 16	. . 3 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> A = C )
36		snex 4365	. . . . . 6 |- { B } e. _V
37	36	sneqr 3926	. . . . 5 |- ( { { B } } = { { D } } -> { B } = { D } )
38	22, 37	syl 16	. . . 4 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> { B } = { D } )
39	10	sneqr 3926	. . . 4 |- ( { B } = { D } -> B = D )
40	38, 39	syl 16	. . 3 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> B = D )
41	35, 40	jca 519	. 2 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } -> ( A = C /\ B = D ) )
42		sneq 3785	. . . . 5 |- ( A = C -> { A } = { C } )
43	42	preq1d 3849	. . . 4 |- ( A = C -> { { A } , (/) } = { { C } , (/) } )
44	43	preq1d 3849	. . 3 |- ( A = C -> { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { B } } } )
45		sneq 3785	. . . . 5 |- ( B = D -> { B } = { D } )
46		sneq 3785	. . . . 5 |- ( { B } = { D } -> { { B } } = { { D } } )
47	45, 46	syl 16	. . . 4 |- ( B = D -> { { B } } = { { D } } )
48	47	preq2d 3850	. . 3 |- ( B = D -> { { { C } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } )
49	44, 48	sylan9eq 2456	. 2 |- ( ( A = C /\ B = D ) -> { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } )
50	41, 49	impbii 181	1 |- ( { { { A } , (/) } , { { B } } } = { { { C } , (/) } , { { D } } } <-> ( A = C /\ B = D ) )

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   _Vcvv 2916   (/)c0 3588   {csn 3774   {cpr 3775

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-nul 3589  df-sn 3780  df-pr 3781