MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opswap Structured version   Unicode version

Theorem opswap 5403
Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by NM, 14-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
opswap  |-  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >.

Proof of Theorem opswap
StepHypRef Expression
1 cnvsng 5402 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )
21unieqd 4173 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  U. { <. B ,  A >. } )
3 opex 4626 . . . 4  |-  <. B ,  A >.  e.  _V
43unisn 4178 . . 3  |-  U. { <. B ,  A >. }  =  <. B ,  A >.
52, 4syl6eq 2439 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )
6 uni0 4190 . . 3  |-  U. (/)  =  (/)
7 opprc 4153 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
<. A ,  B >.  =  (/) )
87sneqd 3956 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { <. A ,  B >. }  =  { (/) } )
98cnveqd 5091 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  `' { (/)
} )
10 cnvsn0 5384 . . . . 5  |-  `' { (/)
}  =  (/)
119, 10syl6eq 2439 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  (/) )
1211unieqd 4173 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  U. (/) )
13 ancom 448 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
14 opprc 4153 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  -> 
<. B ,  A >.  =  (/) )
1513, 14sylnbi 304 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
<. B ,  A >.  =  (/) )
166, 12, 153eqtr4a 2449 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )
175, 16pm2.61i 164 1  |-  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034   (/)c0 3711   {csn 3944   <.cop 3950   U.cuni 4163   `'ccnv 4912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-uni 4164  df-br 4368  df-opab 4426  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-dm 4923  df-rn 4924
This theorem is referenced by:  2nd1st  6744  cnvf1olem  6797  brtpos  6882  dftpos4  6892  tpostpos  6893  xpcomco  7526  fsumcnv  13590  fprodcnv  13789  gsumcom2  17117  txswaphmeolem  20390
  Copyright terms: Public domain W3C validator