MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opswap Structured version   Unicode version

Theorem opswap 5437
Description: Swap the members of an ordered pair. (Contributed by NM, 14-Dec-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
opswap  |-  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >.

Proof of Theorem opswap
StepHypRef Expression
1 cnvsng 5436 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  { <. B ,  A >. } )
21unieqd 4212 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  U. { <. B ,  A >. } )
3 opex 4667 . . . 4  |-  <. B ,  A >.  e.  _V
43unisn 4217 . . 3  |-  U. { <. B ,  A >. }  =  <. B ,  A >.
52, 4syl6eq 2511 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )
6 uni0 4229 . . 3  |-  U. (/)  =  (/)
7 opprc 4192 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
<. A ,  B >.  =  (/) )
87sneqd 4000 . . . . . 6  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  { <. A ,  B >. }  =  { (/) } )
98cnveqd 5126 . . . . 5  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  `' { (/)
} )
10 cnvsn0 5418 . . . . 5  |-  `' { (/)
}  =  (/)
119, 10syl6eq 2511 . . . 4  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  `' { <. A ,  B >. }  =  (/) )
1211unieqd 4212 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  U. (/) )
13 ancom 450 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  <->  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )
)
14 opprc 4192 . . . 4  |-  ( -.  ( B  e.  _V  /\  A  e.  _V )  -> 
<. B ,  A >.  =  (/) )
1513, 14sylnbi 306 . . 3  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  -> 
<. B ,  A >.  =  (/) )
166, 12, 153eqtr4a 2521 . 2  |-  ( -.  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >. )
175, 16pm2.61i 164 1  |-  U. `' { <. A ,  B >. }  =  <. B ,  A >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   (/)c0 3748   {csn 3988   <.cop 3994   U.cuni 4202   `'ccnv 4950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-dm 4961  df-rn 4962
This theorem is referenced by:  2nd1st  6732  cnvf1olem  6783  brtpos  6867  dftpos4  6877  tpostpos  6878  xpcomco  7514  fsumcnv  13362  gsumcom2  16599  txswaphmeolem  19519  fprodcnv  27661
  Copyright terms: Public domain W3C validator