MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtoslem2 Structured version   Unicode version

Theorem opsrtoslem2 18695
Description: Lemma for opsrtos 18696. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
opsrso.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
opsrso.r  |-  ( ph  ->  R  e. Toset )
opsrso.t  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
opsrso.w  |-  ( ph  ->  T  We  I )
opsrtoslem.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
opsrtoslem.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
opsrtoslem.q  |-  .<  =  ( lt `  R )
opsrtoslem.c  |-  C  =  ( T  <bag  I )
opsrtoslem.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
opsrtoslem.ps  |-  ( ps  <->  E. z  e.  D  ( ( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
opsrtoslem.l  |-  .<_  =  ( le `  O )
Assertion
Ref Expression
opsrtoslem2  |-  ( ph  ->  O  e. Toset )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, w, y, z, C    w, h, x, y, z, I    ph, h, w, x, y, z    w, D, x, y, z    w,  .< , x, y, z    w, R, x, y, z    w, T, x, y, z
Allowed substitution hints:    ps( x, y, z, w, h)    B( z, w, h)    C( h)    D( h)    R( h)    S( x, y, z, w, h)    .< ( h)    T( h)   
.<_ ( x, y, z, w, h)    O( x, y, z, w, h)    V( x, y, z, w, h)

Proof of Theorem opsrtoslem2
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opsrtoslem.d . . . . . . . . 9  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
2 ovex 6329 . . . . . . . . 9  |-  ( NN0 
^m  I )  e. 
_V
31, 2rabex2 4573 . . . . . . . 8  |-  D  e. 
_V
43a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  D  e.  _V )
5 opsrtoslem.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( T  <bag  I )
6 opsrso.i . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
7 xpexg 6603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  ->  ( I  X.  I
)  e.  _V )
86, 6, 7syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( I  X.  I
)  e.  _V )
9 opsrso.t . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
108, 9ssexd 4567 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  e.  _V )
11 opsrso.w . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  T  We  I )
125, 1, 6, 10, 11ltbwe 18683 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  We  D )
13 opsrso.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e. Toset )
14 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
15 eqid 2422 . . . . . . . . . . 11  |-  ( le
`  R )  =  ( le `  R
)
16 opsrtoslem.q . . . . . . . . . . 11  |-  .<  =  ( lt `  R )
1714, 15, 16tosso 16269 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e. Toset  ->  ( R  e. Toset  <->  ( 
.<  Or  ( Base `  R
)  /\  (  _I  |`  ( Base `  R
) )  C_  ( le `  R ) ) ) )
1817ibi 244 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e. Toset  ->  (  .<  Or  ( Base `  R )  /\  (  _I  |`  ( Base `  R ) )  C_  ( le `  R ) ) )
1913, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  (  .<  Or  ( Base `  R )  /\  (  _I  |`  ( Base `  R ) )  C_  ( le `  R ) ) )
2019simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .<  Or  ( Base `  R ) )
21 opsrtoslem.ps . . . . . . . . 9  |-  ( ps  <->  E. z  e.  D  ( ( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
2221opabbii 4485 . . . . . . . 8  |-  { <. x ,  y >.  |  ps }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  D  (
( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }
2322wemapso 8068 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  _V  /\  C  We  D  /\  .<  Or  ( Base `  R
) )  ->  { <. x ,  y >.  |  ps }  Or  ( ( Base `  R )  ^m  D ) )
244, 12, 20, 23syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ps }  Or  ( ( Base `  R
)  ^m  D )
)
25 opsrtoslem.s . . . . . . . 8  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
26 opsrtoslem.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  S
)
2725, 14, 1, 26, 6psrbas 18589 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  =  ( (
Base `  R )  ^m  D ) )
28 soeq2 4790 . . . . . . 7  |-  ( B  =  ( ( Base `  R )  ^m  D
)  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  Or  B  <->  {
<. x ,  y >.  |  ps }  Or  (
( Base `  R )  ^m  D ) ) )
2927, 28syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  Or  B  <->  { <. x ,  y >.  |  ps }  Or  ( ( Base `  R )  ^m  D ) ) )
3024, 29mpbird 235 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  ps }  Or  B )
31 soinxp 4914 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  Or  B  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  Or  B
)
3230, 31sylib 199 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  Or  B )
33 opsrso.o . . . . . . . 8  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
34 fvex 5887 . . . . . . . 8  |-  ( ( I ordPwSer  R ) `  T
)  e.  _V
3533, 34eqeltri 2506 . . . . . . 7  |-  O  e. 
_V
36 opsrtoslem.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  O )
37 eqid 2422 . . . . . . . 8  |-  ( lt
`  O )  =  ( lt `  O
)
3836, 37pltfval 16192 . . . . . . 7  |-  ( O  e.  _V  ->  ( lt `  O )  =  (  .<_  \  _I  )
)
3935, 38ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( lt
`  O )  =  (  .<_  \  _I  )
40 difundir 3726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) )  \  _I  )  =  ( ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  \  _I  )  u.  ( (  _I  |`  B )  \  _I  ) )
41 resss 5143 . . . . . . . . . 10  |-  (  _I  |`  B )  C_  _I
42 ssdif0 3851 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  _I  |`  B )  C_  _I  <->  ( (  _I  |`  B )  \  _I  )  =  (/) )
4341, 42mpbi 211 . . . . . . . . 9  |-  ( (  _I  |`  B )  \  _I  )  =  (/)
4443uneq2i 3617 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  \  _I  )  u.  (
(  _I  |`  B ) 
\  _I  ) )  =  ( ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  \  _I  )  u.  (/) )
45 un0 3787 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  \  _I  )  u.  (/) )  =  ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  \  _I  )
4640, 44, 453eqtri 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) )  \  _I  )  =  ( ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) 
\  _I  )
4733, 6, 13, 9, 11, 25, 26, 16, 5, 1, 21, 36opsrtoslem1 18694 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) ) )
4847difeq1d 3582 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  (  .<_  \  _I  )  =  ( ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  u.  (  _I  |`  B ) ) 
\  _I  ) )
49 inss2 3683 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) 
C_  ( B  X.  B )
50 relxp 4957 . . . . . . . . . . . 12  |-  Rel  ( B  X.  B )
51 relss 4937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  C_  ( B  X.  B )  -> 
( Rel  ( B  X.  B )  ->  Rel  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) ) ) )
5249, 50, 51mp2 9 . . . . . . . . . . 11  |-  Rel  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )
5352a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Rel  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) )
54 df-br 4421 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  _I  b  <->  <. a ,  b >.  e.  _I  )
55 vex 3084 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  b  e. 
_V
5655ideq 5002 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  _I  b  <->  a  =  b )
5754, 56bitr3i 254 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  _I  <->  a  =  b )
58 brin 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a  <-> 
( a { <. x ,  y >.  |  ps } a  /\  a
( B  X.  B
) a ) )
5958simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a  ->  a ( B  X.  B ) a )
60 brxp 4880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a ( B  X.  B
) a  <->  ( a  e.  B  /\  a  e.  B ) )
6160simprbi 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( a ( B  X.  B
) a  ->  a  e.  B )
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a  ->  a  e.  B
)
63 sonr 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  Or  B  /\  a  e.  B )  ->  -.  a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a )
6463ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  Or  B  ->  ( a  e.  B  ->  -.  a ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a ) )
6532, 62, 64syl2im 39 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( a ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a  ->  -.  a
( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a ) )
6665pm2.01d 172 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  a ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a )
67 breq2 4424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  b  ->  (
a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a  <-> 
a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) b ) )
68 df-br 4421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) b  <->  <. a ,  b >.  e.  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) )
6967, 68syl6bb 264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  b  ->  (
a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a  <->  <. a ,  b >.  e.  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) ) )
7069notbid 295 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  b  ->  ( -.  a ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) a  <->  -.  <. a ,  b
>.  e.  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) ) )
7166, 70syl5ibcom 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( a  =  b  ->  -.  <. a ,  b >.  e.  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) ) ) )
7257, 71syl5bi 220 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( <. a ,  b
>.  e.  _I  ->  -.  <.
a ,  b >.  e.  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) ) )
7372con2d 118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( <. a ,  b
>.  e.  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  ->  -.  <. a ,  b
>.  e.  _I  ) )
74 opex 4681 . . . . . . . . . . . 12  |-  <. a ,  b >.  e.  _V
75 eldif 3446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( _V  \  _I  ) 
<->  ( <. a ,  b
>.  e.  _V  /\  -.  <.
a ,  b >.  e.  _I  ) )
7674, 75mpbiran 926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( <.
a ,  b >.  e.  ( _V  \  _I  ) 
<->  -.  <. a ,  b
>.  e.  _I  )
7773, 76syl6ibr 230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( <. a ,  b
>.  e.  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  ->  <. a ,  b >.  e.  ( _V  \  _I  ) ) )
7853, 77relssdv 4942 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  C_  ( _V  \  _I  )
)
79 disj2 3840 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  i^i 
_I  )  =  (/)  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  C_  ( _V  \  _I  ) )
8078, 79sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  i^i 
_I  )  =  (/) )
81 disj3 3837 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  i^i 
_I  )  =  (/)  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  =  ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  \  _I  ) )
8280, 81sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  \  _I  ) )
8346, 48, 823eqtr4a 2489 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  .<_  \  _I  )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) )
8439, 83syl5eq 2475 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( lt `  O
)  =  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) ) )
85 soeq1 4789 . . . . 5  |-  ( ( lt `  O )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  -> 
( ( lt `  O )  Or  B  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  Or  B
) )
8684, 85syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( lt `  O )  Or  B  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  Or  B
) )
8732, 86mpbird 235 . . 3  |-  ( ph  ->  ( lt `  O
)  Or  B )
8825, 33, 9opsrbas 18689 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Base `  S
)  =  ( Base `  O ) )
8926, 88syl5eq 2475 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  O ) )
90 soeq2 4790 . . . 4  |-  ( B  =  ( Base `  O
)  ->  ( ( lt `  O )  Or  B  <->  ( lt `  O )  Or  ( Base `  O ) ) )
9189, 90syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( lt `  O )  Or  B  <->  ( lt `  O )  Or  ( Base `  O
) ) )
9287, 91mpbid 213 . 2  |-  ( ph  ->  ( lt `  O
)  Or  ( Base `  O ) )
9389reseq2d 5120 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  B )  =  (  _I  |`  ( Base `  O ) ) )
94 ssun2 3630 . . . 4  |-  (  _I  |`  B )  C_  (
( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) )
9593, 94syl6eqssr 3515 . . 3  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  ( Base `  O ) ) 
C_  ( ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) ) )
9695, 47sseqtr4d 3501 . 2  |-  ( ph  ->  (  _I  |`  ( Base `  O ) ) 
C_  .<_  )
97 eqid 2422 . . . 4  |-  ( Base `  O )  =  (
Base `  O )
9897, 36, 37tosso 16269 . . 3  |-  ( O  e.  _V  ->  ( O  e. Toset  <->  ( ( lt
`  O )  Or  ( Base `  O
)  /\  (  _I  |`  ( Base `  O
) )  C_  .<_  ) ) )
9935, 98ax-mp 5 . 2  |-  ( O  e. Toset 
<->  ( ( lt `  O )  Or  ( Base `  O )  /\  (  _I  |`  ( Base `  O ) )  C_  .<_  ) )
10092, 96, 99sylanbrc 668 1  |-  ( ph  ->  O  e. Toset )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   _Vcvv 3081    \ cdif 3433    u. cun 3434    i^i cin 3435    C_ wss 3436   (/)c0 3761   <.cop 4002   class class class wbr 4420   {copab 4478    _I cid 4759    Or wor 4769    We wwe 4807    X. cxp 4847   `'ccnv 4848    |` cres 4851   "cima 4852   Rel wrel 4854   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    ^m cmap 7476   Fincfn 7573   NNcn 10609   NN0cn0 10869   Basecbs 15108   lecple 15184   ltcplt 16173  Tosetctos 16266   mPwSer cmps 18562    <bag cltb 18565   ordPwSer copws 18566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-supp 6922  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-seqom 7169  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-omul 7191  df-oexp 7192  df-er 7367  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fsupp 7886  df-oi 8027  df-cnf 8168  df-card 8374  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-hash 12515  df-struct 15110  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-plusg 15190  df-mulr 15191  df-sca 15193  df-vsca 15194  df-tset 15196  df-ple 15197  df-preset 16160  df-poset 16178  df-plt 16191  df-toset 16267  df-psr 18567  df-ltbag 18570  df-opsr 18571
This theorem is referenced by:  opsrtos  18696
  Copyright terms: Public domain W3C validator