MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrtoslem1 Structured version   Unicode version

Theorem opsrtoslem1 18470
Description: Lemma for opsrtos 18472. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrso.o  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
opsrso.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
opsrso.r  |-  ( ph  ->  R  e. Toset )
opsrso.t  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
opsrso.w  |-  ( ph  ->  T  We  I )
opsrtoslem.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
opsrtoslem.b  |-  B  =  ( Base `  S
)
opsrtoslem.q  |-  .<  =  ( lt `  R )
opsrtoslem.c  |-  C  =  ( T  <bag  I )
opsrtoslem.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
opsrtoslem.ps  |-  ( ps  <->  E. z  e.  D  ( ( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
opsrtoslem.l  |-  .<_  =  ( le `  O )
Assertion
Ref Expression
opsrtoslem1  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, B    x, w, y, z, C    w, h, x, y, z, I    ph, h, w, x, y, z    w, D, x, y, z    w,  .< , x, y, z    w, R, x, y, z    w, T, x, y, z
Allowed substitution hints:    ps( x, y, z, w, h)    B( z, w, h)    C( h)    D( h)    R( h)    S( x, y, z, w, h)    .< ( h)    T( h)   
.<_ ( x, y, z, w, h)    O( x, y, z, w, h)    V( x, y, z, w, h)

Proof of Theorem opsrtoslem1
StepHypRef Expression
1 opsrtoslem.s . . 3  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 opsrso.o . . 3  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
3 opsrtoslem.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  S
)
4 opsrtoslem.q . . 3  |-  .<  =  ( lt `  R )
5 opsrtoslem.c . . 3  |-  C  =  ( T  <bag  I )
6 opsrtoslem.d . . 3  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
7 opsrtoslem.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  O )
8 opsrso.t . . 3  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8opsrle 18462 . 2  |-  ( ph  -> 
.<_  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) } )
10 unopab 4472 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }  u.  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( { x ,  y } 
C_  B  /\  ps )  \/  ( {
x ,  y } 
C_  B  /\  x  =  y ) ) }
11 inopab 4956 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) ) }
12 df-xp 4831 . . . . . 6  |-  ( B  X.  B )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) }
1312ineq2i 3640 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ps }  i^i  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) } )
14 vex 3064 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
15 vex 3064 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
1614, 15prss 4128 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B )  <->  { x ,  y } 
C_  B )
1716anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ps )  <->  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) )
18 ancom 450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  ps )  <->  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B ) ) )
1917, 18bitr3i 253 . . . . . 6  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  <->  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) ) )
2019opabbii 4461 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ps  /\  ( x  e.  B  /\  y  e.  B
) ) }
2111, 13, 203eqtr4i 2443 . . . 4  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }
22 opabresid 5149 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) }  =  (  _I  |`  B )
23 equcom 1820 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  <->  y  =  x )
2423anbi2i 694 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y )  <->  ( x  e.  B  /\  y  =  x )
)
25 eleq1 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  B  <->  y  e.  B ) )
2625biimpac 486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y )  ->  y  e.  B )
2726pm4.71i 632 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y )  <->  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y
)  /\  y  e.  B ) )
2824, 27bitr3i 253 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  =  x )  <->  ( ( x  e.  B  /\  x  =  y
)  /\  y  e.  B ) )
29 an32 801 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  x  =  y
)  /\  y  e.  B )  <->  ( (
x  e.  B  /\  y  e.  B )  /\  x  =  y
) )
3016anbi1i 695 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  B  /\  y  e.  B
)  /\  x  =  y )  <->  ( {
x ,  y } 
C_  B  /\  x  =  y ) )
3128, 29, 303bitri 273 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  B  /\  y  =  x )  <->  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y )
)
3231opabbii 4461 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  B  /\  y  =  x ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) }
3322, 32eqtr3i 2435 . . . 4  |-  (  _I  |`  B )  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) }
3421, 33uneq12i 3597 . . 3  |-  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  u.  (  _I  |`  B ) )  =  ( { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps ) }  u.  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y ) } )
35 opsrtoslem.ps . . . . . . 7  |-  ( ps  <->  E. z  e.  D  ( ( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) )
3635orbi1i 520 . . . . . 6  |-  ( ( ps  \/  x  =  y )  <->  ( E. z  e.  D  (
( x `  z
)  .<  ( y `  z )  /\  A. w  e.  D  (
w C z  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) )  \/  x  =  y ) )
3736anbi2i 694 . . . . 5  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( ps  \/  x  =  y ) )  <-> 
( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `
 z )  .< 
( y `  z
)  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  (
x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) )
38 andi 870 . . . . 5  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( ps  \/  x  =  y ) )  <-> 
( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  \/  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y
) ) )
3937, 38bitr3i 253 . . . 4  |-  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) )  <-> 
( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  \/  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y
) ) )
4039opabbii 4461 . . 3  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( { x ,  y }  C_  B  /\  ps )  \/  ( { x ,  y }  C_  B  /\  x  =  y )
) }
4110, 34, 403eqtr4ri 2444 . 2  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  B  /\  ( E. z  e.  D  ( ( x `  z )  .<  (
y `  z )  /\  A. w  e.  D  ( w C z  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) )  \/  x  =  y ) ) }  =  ( ( { <. x ,  y
>.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B
) )  u.  (  _I  |`  B ) )
429, 41syl6eq 2461 1  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( {
<. x ,  y >.  |  ps }  i^i  ( B  X.  B ) )  u.  (  _I  |`  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760    u. cun 3414    i^i cin 3415    C_ wss 3416   {cpr 3976   class class class wbr 4397   {copab 4454    _I cid 4735    We wwe 4783    X. cxp 4823   `'ccnv 4824    |` cres 4827   "cima 4828   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    ^m cmap 7459   Fincfn 7556   NNcn 10578   NN0cn0 10838   Basecbs 14843   lecple 14918   ltcplt 15896  Tosetctos 15989   mPwSer cmps 18322    <bag cltb 18325   ordPwSer copws 18326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-sets 14849  df-ple 14931  df-psr 18327  df-opsr 18331
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  18471
  Copyright terms: Public domain W3C validator