MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrbaslem Structured version   Unicode version

Theorem opsrbaslem 17675
Description: Get a component of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrbas.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
opsrbas.o  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
opsrbas.t  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
opsrbaslem.1  |-  E  = Slot 
N
opsrbaslem.2  |-  N  e.  NN
opsrbaslem.3  |-  N  < 
10
Assertion
Ref Expression
opsrbaslem  |-  ( ph  ->  ( E `  S
)  =  ( E `
 O ) )

Proof of Theorem opsrbaslem
StepHypRef Expression
1 opsrbas.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 opsrbas.o . . . . 5  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
4 simprl 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  I  e.  _V )
5 simprr 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  R  e.  _V )
6 opsrbas.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
81, 2, 3, 4, 5, 7opsrval2 17674 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  O  =  ( S sSet  <.
( le `  ndx ) ,  ( le `  O ) >. )
)
98fveq2d 5796 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  -> 
( E `  O
)  =  ( E `
 ( S sSet  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  O ) >. )
) )
10 opsrbaslem.1 . . . . 5  |-  E  = Slot 
N
11 opsrbaslem.2 . . . . 5  |-  N  e.  NN
1210, 11ndxid 14306 . . . 4  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
1311nnrei 10435 . . . . . 6  |-  N  e.  RR
14 opsrbaslem.3 . . . . . 6  |-  N  < 
10
1513, 14ltneii 9591 . . . . 5  |-  N  =/= 
10
1610, 11ndxarg 14305 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =  N
17 plendx 14443 . . . . . 6  |-  ( le
`  ndx )  =  10
1816, 17neeq12i 2737 . . . . 5  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( le `  ndx ) 
<->  N  =/=  10 )
1915, 18mpbir 209 . . . 4  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( le `  ndx )
2012, 19setsnid 14327 . . 3  |-  ( E `
 S )  =  ( E `  ( S sSet  <. ( le `  ndx ) ,  ( le
`  O ) >.
) )
219, 20syl6reqr 2511 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  -> 
( E `  S
)  =  ( E `
 O ) )
22 0fv 5825 . . . . . . 7  |-  ( (/) `  T )  =  (/)
2322eqcomi 2464 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
(/) `  T )
24 reldmpsr 17543 . . . . . . 7  |-  Rel  dom mPwSer
2524ovprc 6220 . . . . . 6  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( I mPwSer  R )  =  (/) )
26 reldmopsr 17671 . . . . . . . 8  |-  Rel  dom ordPwSer
2726ovprc 6220 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( I ordPwSer  R )  =  (/) )
2827fveq1d 5794 . . . . . 6  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )  =  ( (/) `  T
) )
2923, 25, 283eqtr4a 2518 . . . . 5  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( I mPwSer  R )  =  ( ( I ordPwSer  R ) `  T
) )
3029adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)  ->  ( I mPwSer  R )  =  ( ( I ordPwSer  R ) `  T
) )
3130, 1, 23eqtr4g 2517 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)  ->  S  =  O )
3231fveq2d 5796 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)  ->  ( E `  S )  =  ( E `  O ) )
3321, 32pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  ( E `  S
)  =  ( E `
 O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   _Vcvv 3071    C_ wss 3429   (/)c0 3738   <.cop 3984   class class class wbr 4393    X. cxp 4939   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    < clt 9522   NNcn 10426   10c10 10483   ndxcnx 14282   sSet csts 14283  Slot cslot 14284   lecple 14356   mPwSer cmps 17533   ordPwSer copws 17537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-ltxr 9527  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-10 10492  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-sets 14291  df-ple 14369  df-psr 17538  df-opsr 17542
This theorem is referenced by:  opsrbas  17676  opsrplusg  17677  opsrmulr  17678  opsrvsca  17679  opsrsca  17680
  Copyright terms: Public domain W3C validator