MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrbaslem Structured version   Unicode version

Theorem opsrbaslem 18337
Description: Get a component of the ordered power series structure. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrbas.s  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
opsrbas.o  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
opsrbas.t  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
opsrbaslem.1  |-  E  = Slot 
N
opsrbaslem.2  |-  N  e.  NN
opsrbaslem.3  |-  N  < 
10
Assertion
Ref Expression
opsrbaslem  |-  ( ph  ->  ( E `  S
)  =  ( E `
 O ) )

Proof of Theorem opsrbaslem
StepHypRef Expression
1 opsrbas.s . . . . 5  |-  S  =  ( I mPwSer  R )
2 opsrbas.o . . . . 5  |-  O  =  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )
3 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( le
`  O )  =  ( le `  O
)
4 simprl 754 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  I  e.  _V )
5 simprr 755 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  R  e.  _V )
6 opsrbas.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
76adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  T  C_  ( I  X.  I ) )
81, 2, 3, 4, 5, 7opsrval2 18336 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  ->  O  =  ( S sSet  <.
( le `  ndx ) ,  ( le `  O ) >. )
)
98fveq2d 5852 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  -> 
( E `  O
)  =  ( E `
 ( S sSet  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  O ) >. )
) )
10 opsrbaslem.1 . . . . 5  |-  E  = Slot 
N
11 opsrbaslem.2 . . . . 5  |-  N  e.  NN
1210, 11ndxid 14737 . . . 4  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
1311nnrei 10540 . . . . . 6  |-  N  e.  RR
14 opsrbaslem.3 . . . . . 6  |-  N  < 
10
1513, 14ltneii 9686 . . . . 5  |-  N  =/= 
10
1610, 11ndxarg 14736 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =  N
17 plendx 14882 . . . . . 6  |-  ( le
`  ndx )  =  10
1816, 17neeq12i 2743 . . . . 5  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( le `  ndx ) 
<->  N  =/=  10 )
1915, 18mpbir 209 . . . 4  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( le `  ndx )
2012, 19setsnid 14760 . . 3  |-  ( E `
 S )  =  ( E `  ( S sSet  <. ( le `  ndx ) ,  ( le
`  O ) >.
) )
219, 20syl6reqr 2514 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( I  e.  _V  /\  R  e. 
_V ) )  -> 
( E `  S
)  =  ( E `
 O ) )
22 0fv 5881 . . . . . . 7  |-  ( (/) `  T )  =  (/)
2322eqcomi 2467 . . . . . 6  |-  (/)  =  (
(/) `  T )
24 reldmpsr 18205 . . . . . . 7  |-  Rel  dom mPwSer
2524ovprc 6300 . . . . . 6  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( I mPwSer  R )  =  (/) )
26 reldmopsr 18333 . . . . . . . 8  |-  Rel  dom ordPwSer
2726ovprc 6300 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( I ordPwSer  R )  =  (/) )
2827fveq1d 5850 . . . . . 6  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( ( I ordPwSer  R
) `  T )  =  ( (/) `  T
) )
2923, 25, 283eqtr4a 2521 . . . . 5  |-  ( -.  ( I  e.  _V  /\  R  e.  _V )  ->  ( I mPwSer  R )  =  ( ( I ordPwSer  R ) `  T
) )
3029adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)  ->  ( I mPwSer  R )  =  ( ( I ordPwSer  R ) `  T
) )
3130, 1, 23eqtr4g 2520 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)  ->  S  =  O )
3231fveq2d 5852 . 2  |-  ( (
ph  /\  -.  (
I  e.  _V  /\  R  e.  _V )
)  ->  ( E `  S )  =  ( E `  O ) )
3321, 32pm2.61dan 789 1  |-  ( ph  ->  ( E `  S
)  =  ( E `
 O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   (/)c0 3783   <.cop 4022   class class class wbr 4439    X. cxp 4986   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    < clt 9617   NNcn 10531   10c10 10589   ndxcnx 14713   sSet csts 14714  Slot cslot 14715   lecple 14791   mPwSer cmps 18195   ordPwSer copws 18199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ple 14804  df-psr 18200  df-opsr 18204
This theorem is referenced by:  opsrbas  18338  opsrplusg  18339  opsrmulr  18340  opsrvsca  18341  opsrsca  18342
  Copyright terms: Public domain W3C validator