Hilbert Space Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem6 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem opsqrlem6 27791
 Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem2.1
opsqrlem2.2
opsqrlem2.3
opsqrlem6.4
Assertion
Ref Expression
opsqrlem6
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem opsqrlem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5863 . . 3
21breq1d 4411 . 2
3 fveq2 5863 . . 3
43breq1d 4411 . 2
5 fveq2 5863 . . 3
65breq1d 4411 . 2
7 opsqrlem2.1 . . . 4
8 opsqrlem2.2 . . . 4
9 opsqrlem2.3 . . . 4
107, 8, 9opsqrlem2 27787 . . 3
11 idleop 27777 . . 3
1210, 11eqbrtri 4421 . 2
13 idhmop 27628 . . . . . . . 8
147, 8, 9opsqrlem4 27789 . . . . . . . . 9
1514ffvelrni 6019 . . . . . . . 8
16 hmopd 27668 . . . . . . . 8
1713, 15, 16sylancr 668 . . . . . . 7
18 eqid 2450 . . . . . . . 8
19 hmopco 27669 . . . . . . . 8
2018, 19mp3an3 1352 . . . . . . 7
2117, 17, 20syl2anc 666 . . . . . 6
22 leopsq 27775 . . . . . . 7
2317, 22syl 17 . . . . . 6
24 opsqrlem6.4 . . . . . . . 8
25 leop3 27771 . . . . . . . . 9
267, 13, 25mp2an 677 . . . . . . . 8
2724, 26mpbi 212 . . . . . . 7
28 hmopd 27668 . . . . . . . . 9
2913, 7, 28mp2an 677 . . . . . . . 8
30 leopadd 27778 . . . . . . . 8
3129, 30mpanl2 686 . . . . . . 7
3227, 31mpanr2 689 . . . . . 6
3321, 23, 32syl2anc 666 . . . . 5
34 2cn 10677 . . . . . . . . . 10
35 hmopf 27520 . . . . . . . . . . 11
3615, 35syl 17 . . . . . . . . . 10
37 homulcl 27405 . . . . . . . . . 10
3834, 36, 37sylancr 668 . . . . . . . . 9
39 hmopf 27520 . . . . . . . . . . 11
407, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
41 fco 5737 . . . . . . . . . . 11
4236, 36, 41syl2anc 666 . . . . . . . . . 10
43 hosubcl 27419 . . . . . . . . . 10
4440, 42, 43sylancr 668 . . . . . . . . 9
45 hmopf 27520 . . . . . . . . . . . 12
4613, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
47 homulcl 27405 . . . . . . . . . . 11
4834, 46, 47mp2an 677 . . . . . . . . . 10
49 hosubsub4 27464 . . . . . . . . . 10
5048, 49mp3an1 1350 . . . . . . . . 9
5138, 44, 50syl2anc 666 . . . . . . . 8
52 hosubcl 27419 . . . . . . . . . . . . . . 15
5342, 38, 52syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14
54 hoadd32 27429 . . . . . . . . . . . . . . 15
5546, 46, 54mp3an13 1354 . . . . . . . . . . . . . 14
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
57 ho2times 27465 . . . . . . . . . . . . . . 15
5846, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
5958oveq1i 6298 . . . . . . . . . . . . 13
6056, 59syl6eqr 2502 . . . . . . . . . . . 12
61 hoaddsubass 27461 . . . . . . . . . . . . . 14
6248, 61mp3an1 1350 . . . . . . . . . . . . 13
6342, 38, 62syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12
6460, 63eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . 11
6564oveq1d 6303 . . . . . . . . . 10
66 hoaddcl 27404 . . . . . . . . . . . 12
6746, 53, 66sylancr 668 . . . . . . . . . . 11
68 hoaddsubass 27461 . . . . . . . . . . . 12
6946, 40, 68mp3an23 1355 . . . . . . . . . . 11
7067, 69syl 17 . . . . . . . . . 10
71 hoaddcl 27404 . . . . . . . . . . . 12
7248, 42, 71sylancr 668 . . . . . . . . . . 11
73 hosubsub4 27464 . . . . . . . . . . . 12
7440, 73mp3an3 1352 . . . . . . . . . . 11
7572, 38, 74syl2anc 666 . . . . . . . . . 10
7665, 70, 753eqtr3d 2492 . . . . . . . . 9
77 hosubadd4 27460 . . . . . . . . . . . 12
7840, 77mpanr1 688 . . . . . . . . . . 11
7948, 78mpanl1 685 . . . . . . . . . 10
8038, 42, 79syl2anc 666 . . . . . . . . 9
8176, 80eqtr4d 2487 . . . . . . . 8
82 halfcn 10826 . . . . . . . . . . . 12
83 homulcl 27405 . . . . . . . . . . . 12
8482, 44, 83sylancr 668 . . . . . . . . . . 11
85 hoadddi 27449 . . . . . . . . . . . 12
8634, 85mp3an1 1350 . . . . . . . . . . 11
8736, 84, 86syl2anc 666 . . . . . . . . . 10
88 2ne0 10699 . . . . . . . . . . . . . 14
8934, 88recidi 10335 . . . . . . . . . . . . 13
9089oveq1i 6298 . . . . . . . . . . . 12
91 homulass 27448 . . . . . . . . . . . . . 14
9234, 82, 91mp3an12 1353 . . . . . . . . . . . . 13
9344, 92syl 17 . . . . . . . . . . . 12
94 homulid2 27446 . . . . . . . . . . . . 13
9544, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12
9690, 93, 953eqtr3a 2508 . . . . . . . . . . 11
9796oveq2d 6304 . . . . . . . . . 10
9887, 97eqtrd 2484 . . . . . . . . 9
9998oveq2d 6304 . . . . . . . 8
10051, 81, 993eqtr4d 2494 . . . . . . 7
101 hoaddcl 27404 . . . . . . . . 9
10236, 84, 101syl2anc 666 . . . . . . . 8
103 hosubdi 27454 . . . . . . . . 9
10434, 46, 103mp3an12 1353 . . . . . . . 8
105102, 104syl 17 . . . . . . 7
106100, 105eqtr4d 2487 . . . . . 6
107 hosubcl 27419 . . . . . . . . . 10
10846, 36, 107sylancr 668 . . . . . . . . 9
109 hocsubdir 27431 . . . . . . . . . 10
11046, 109mp3an1 1350 . . . . . . . . 9
11136, 108, 110syl2anc 666 . . . . . . . 8
112 hmoplin 27588 . . . . . . . . . . . . . . 15
11313, 112ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14
114 hoddi 27636 . . . . . . . . . . . . . 14
115113, 46, 114mp3an12 1353 . . . . . . . . . . . . 13
11636, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12
11746hoid1i 27435 . . . . . . . . . . . . . 14
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
119 hoico2 27403 . . . . . . . . . . . . . 14
12036, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
121118, 120oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . 12
122116, 121eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11
123 hmoplin 27588 . . . . . . . . . . . . . 14
12415, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
125 hoddi 27636 . . . . . . . . . . . . . 14
12646, 125mp3an2 1351 . . . . . . . . . . . . 13
127124, 36, 126syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12
128 hoico1 27402 . . . . . . . . . . . . . 14
12936, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
130129oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . 12
131127, 130eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11
132122, 131oveq12d 6306 . . . . . . . . . 10
13336, 46jctil 540 . . . . . . . . . . 11
134 hosubadd4 27460 . . . . . . . . . . 11
135133, 36, 42, 134syl12anc 1265 . . . . . . . . . 10
136132, 135eqtrd 2484 . . . . . . . . 9
137 ho2times 27465 . . . . . . . . . . 11
13836, 137syl 17 . . . . . . . . . 10
139138oveq2d 6304 . . . . . . . . 9
140 hoaddsubass 27461 . . . . . . . . . . 11
14146, 140mp3an1 1350 . . . . . . . . . 10
14242, 38, 141syl2anc 666 . . . . . . . . 9
143136, 139, 1423eqtr2d 2490 . . . . . . . 8
144111, 143eqtrd 2484 . . . . . . 7
145144oveq1d 6303 . . . . . 6
1467, 8, 9opsqrlem5 27790 . . . . . . . 8
147146oveq2d 6304 . . . . . . 7
148147oveq2d 6304 . . . . . 6
149106, 145, 1483eqtr4d 2494 . . . . 5
15033, 149breqtrd 4426 . . . 4
151 peano2nn 10618 . . . . . . 7
15214ffvelrni 6019 . . . . . . 7
153151, 152syl 17 . . . . . 6
154 hmopd 27668 . . . . . 6
15513, 153, 154sylancr 668 . . . . 5
156 2re 10676 . . . . . 6
157 2pos 10698 . . . . . 6
158 leopmul 27780 . . . . . 6
159156, 157, 158mp3an13 1354 . . . . 5
160155, 159syl 17 . . . 4
161150, 160mpbird 236 . . 3
162 leop3 27771 . . . 4
163153, 13, 162sylancl 667 . . 3
164161, 163mpbird 236 . 2
1652, 4, 6, 12, 164nn1suc 10627 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1443   wcel 1886  csn 3967   class class class wbr 4401   cxp 4831   ccom 4837  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288   cmpt2 6290  cc 9534  cr 9535  cc0 9536  c1 9537   caddc 9539   cmul 9541   clt 9672   cdiv 10266  cn 10606  c2 10656   cseq 12210  chil 26565   chos 26584   chot 26585   chod 26586  ch0o 26589   chio 26590  clo 26593  cho 26596   cleo 26604 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616  ax-hilex 26645  ax-hfvadd 26646  ax-hvcom 26647  ax-hvass 26648  ax-hv0cl 26649  ax-hvaddid 26650  ax-hfvmul 26651  ax-hvmulid 26652  ax-hvmulass 26653  ax-hvdistr1 26654  ax-hvdistr2 26655  ax-hvmul0 26656  ax-hfi 26725  ax-his1 26728  ax-his2 26729  ax-his3 26730  ax-his4 26731  ax-hcompl 26848 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-lm 20238  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cfil 22218  df-cau 22219  df-cmet 22220  df-grpo 25912  df-gid 25913  df-ginv 25914  df-gdiv 25915  df-ablo 26003  df-subgo 26023  df-vc 26158  df-nv 26204  df-va 26207  df-ba 26208  df-sm 26209  df-0v 26210  df-vs 26211  df-nmcv 26212  df-ims 26213  df-dip 26330  df-ssp 26354  df-ph 26447  df-cbn 26498  df-hnorm 26614  df-hba 26615  df-hvsub 26617  df-hlim 26618  df-hcau 26619  df-sh 26853  df-ch 26867  df-oc 26898  df-ch0 26899  df-shs 26954  df-pjh 27041  df-hosum 27376  df-homul 27377  df-hodif 27378  df-h0op 27394  df-iop 27395  df-lnop 27487  df-hmop 27490  df-leop 27498 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator