Theorem opsqrlem6 11716

Description: Lemma for opsqri . Warning: The HTML proof page is 0.6 megabyte in size.

Hypotheses

Ref	Expression
opsqrlem2.1	|- T e. HrmOp
opsqrlem2.2	|- S = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. HrmOp /\ y e. HrmOp) /\ z = (x +op ((1 / 2) .op (T -op (x o. x)))))}
opsqrlem2.3	|- F = (S seq1 (NN X. {0hop}))
opsqrlem6.4	|- T <_op Iop

Assertion

Ref	Expression
opsqrlem6	|- (N e. NN -> (F` N) <_op Iop )

Distinct variable group:   x,y,z,T

Proof of Theorem opsqrlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 4681	. . 3 |- (j = 1 -> (F` j) = (F` 1))
2	1	breq1d 3348	. 2 |- (j = 1 -> ((F` j) <_op Iop <-> (F` 1) <_op Iop ))
3		fveq2 4681	. . 3 |- (j = (k + 1) -> (F` j) = (F` (k + 1)))
4	3	breq1d 3348	. 2 |- (j = (k + 1) -> ((F` j) <_op Iop <-> (F` (k + 1)) <_op Iop ))
5		fveq2 4681	. . 3 |- (j = N -> (F` j) = (F` N))
6	5	breq1d 3348	. 2 |- (j = N -> ((F` j) <_op Iop <-> (F` N) <_op Iop ))
7		opsqrlem2.1	. . . 4 |- T e. HrmOp
8		opsqrlem2.2	. . . 4 |- S = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. HrmOp /\ y e. HrmOp) /\ z = (x +op ((1 / 2) .op (T -op (x o. x)))))}
9		opsqrlem2.3	. . . 4 |- F = (S seq1 (NN X. {0hop}))
10	7, 8, 9	opsqrlem2 11712	. . 3 |- (F` 1) = 0hop
11		idleop 11702	. . 3 |- 0hop <_op Iop
12	10, 11	eqbrtri 3356	. 2 |- (F` 1) <_op Iop
13	7, 8, 9	opsqrlem3 11713	. . . . . . . . 9 |- F:NN-->HrmOp
14	13	ffvelrni 4788	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (F` k) e. HrmOp)
15		idhmop 11543	. . . . . . . . 9 |- Iop e. HrmOp
16		hmopd 11584	. . . . . . . . 9 |- (( Iop e. HrmOp /\ (F` k) e. HrmOp) -> ( Iop -op (F` k)) e. HrmOp)
17	15, 16	mpan 759	. . . . . . . 8 |- ((F` k) e. HrmOp -> ( Iop -op (F` k)) e. HrmOp)
18	14, 17	syl 12	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> ( Iop -op (F` k)) e. HrmOp)
19		eqid 1884	. . . . . . . 8 |- (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) = (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k)))
20		hmopco 11585	. . . . . . . 8 |- ((( Iop -op (F` k)) e. HrmOp /\ ( Iop -op (F` k)) e. HrmOp /\ (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) = (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k)))) -> (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) e. HrmOp)
21	19, 20	mp3an3 1180	. . . . . . 7 |- ((( Iop -op (F` k)) e. HrmOp /\ ( Iop -op (F` k)) e. HrmOp) -> (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) e. HrmOp)
22	18, 18, 21	syl11anc 524	. . . . . 6 |- (k e. NN -> (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) e. HrmOp)
23		leopsq 11700	. . . . . . 7 |- (( Iop -op (F` k)) e. HrmOp -> 0hop <_op (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))))
24	14, 17, 23	3syl 24	. . . . . 6 |- (k e. NN -> 0hop <_op (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))))
25		opsqrlem6.4	. . . . . . . 8 |- T <_op Iop
26		leop3 11696	. . . . . . . . 9 |- ((T e. HrmOp /\ Iop e. HrmOp) -> (T <_op Iop <-> 0hop <_op ( Iop -op T)))
27	7, 15, 26	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- (T <_op Iop <-> 0hop <_op ( Iop -op T))
28	25, 27	mpbi 206	. . . . . . 7 |- 0hop <_op ( Iop -op T)
29		hmopd 11584	. . . . . . . . 9 |- (( Iop e. HrmOp /\ T e. HrmOp) -> ( Iop -op T) e. HrmOp)
30	15, 7, 29	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- ( Iop -op T) e. HrmOp
31		leopadd 11703	. . . . . . . 8 |- ((((( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) e. HrmOp /\ ( Iop -op T) e. HrmOp) /\ (0hop <_op (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) /\ 0hop <_op ( Iop -op T))) -> 0hop <_op ((( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) +op ( Iop -op T)))
32	30, 31	mpanl2 771	. . . . . . 7 |- (((( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) e. HrmOp /\ (0hop <_op (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) /\ 0hop <_op ( Iop -op T))) -> 0hop <_op ((( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) +op ( Iop -op T)))
33	28, 32	mpanr2 776	. . . . . 6 |- (((( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) e. HrmOp /\ 0hop <_op (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k)))) -> 0hop <_op ((( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) +op ( Iop -op T)))
34	22, 24, 33	syl11anc 524	. . . . 5 |- (k e. NN -> 0hop <_op ((( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) +op ( Iop -op T)))
35		hmopf 11438	. . . . . . . . . . 11 |- ((F` k) e. HrmOp -> (F` k):~H-->~H)
36	14, 35	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> (F` k):~H-->~H)
37		fco 4573	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F` k):~H-->~H /\ (F` k):~H-->~H) -> ((F` k) o. (F` k)):~H-->~H)
38	36, 36, 37	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> ((F` k) o. (F` k)):~H-->~H)
39		hmopf 11438	. . . . . . . . . . . . 13 |- (T e. HrmOp -> T:~H-->~H)
40	7, 39	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . 12 |- T:~H-->~H
41		hosubcl 11336	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T:~H-->~H /\ ((F` k) o. (F` k)):~H-->~H) -> (T -op ((F` k) o. (F` k))):~H-->~H)
42	40, 41	mpan 759	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` k) o. (F` k)):~H-->~H -> (T -op ((F` k) o. (F` k))):~H-->~H)
43		2cn 7164	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 e. CC
44		2ne0 7174	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 =/= 0
45	43, 44	reccli 6902	. . . . . . . . . . . 12 |- (1 / 2) e. CC
46		homulcl 11322	. . . . . . . . . . . 12 |- (((1 / 2) e. CC /\ (T -op ((F` k) o. (F` k))):~H-->~H) -> ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))):~H-->~H)
47	45, 46	mpan 759	. . . . . . . . . . 11 |- ((T -op ((F` k) o. (F` k))):~H-->~H -> ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))):~H-->~H)
48	38, 42, 47	3syl 24	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))):~H-->~H)
49		hoadddi 11366	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 e. CC /\ (F` k):~H-->~H /\ ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))):~H-->~H) -> (2 .op ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))))) = ((2 .op (F` k)) +op (2 .op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))))))
50	43, 49	mp3an1 1178	. . . . . . . . . 10 |- (((F` k):~H-->~H /\ ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))):~H-->~H) -> (2 .op ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))))) = ((2 .op (F` k)) +op (2 .op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))))))
51	36, 48, 50	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (2 .op ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))))) = ((2 .op (F` k)) +op (2 .op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))))))
52		homulass 11365	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((2 e. CC /\ (1 / 2) e. CC /\ (T -op ((F` k) o. (F` k))):~H-->~H) -> ((2 x. (1 / 2)) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))) = (2 .op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))
53	43, 45, 52	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . . 12 |- ((T -op ((F` k) o. (F` k))):~H-->~H -> ((2 x. (1 / 2)) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))) = (2 .op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))
54	38, 42, 53	3syl 24	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> ((2 x. (1 / 2)) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))) = (2 .op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))
55		homulid2 11363	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T -op ((F` k) o. (F` k))):~H-->~H -> (1 .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))) = (T -op ((F` k) o. (F` k))))
56	38, 42, 55	3syl 24	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> (1 .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))) = (T -op ((F` k) o. (F` k))))
57	43, 44	recidi 6916	. . . . . . . . . . . . 13 |- (2 x. (1 / 2)) = 1
58	57	opreq1i 4892	. . . . . . . . . . . 12 |- ((2 x. (1 / 2)) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))) = (1 .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))
59	56, 58	syl5eq 1940	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> ((2 x. (1 / 2)) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))) = (T -op ((F` k) o. (F` k))))
60	54, 59	eqtr3d 1927	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> (2 .op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))) = (T -op ((F` k) o. (F` k))))
61	60	opreq2d 4898	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> ((2 .op (F` k)) +op (2 .op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))))) = ((2 .op (F` k)) +op (T -op ((F` k) o. (F` k)))))
62	51, 61	eqtrd 1925	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (2 .op ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))))) = ((2 .op (F` k)) +op (T -op ((F` k) o. (F` k)))))
63	62	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> ((2 .op Iop ) -op (2 .op ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))) = ((2 .op Iop ) -op ((2 .op (F` k)) +op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))
64		hoaddcl 11321	. . . . . . . . 9 |- (((F` k):~H-->~H /\ ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))):~H-->~H) -> ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))):~H-->~H)
65	36, 48, 64	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))):~H-->~H)
66		hmopf 11438	. . . . . . . . . 10 |- ( Iop e. HrmOp -> Iop :~H-->~H)
67	15, 66	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- Iop :~H-->~H
68		hosubdi 11371	. . . . . . . . 9 |- ((2 e. CC /\ Iop :~H-->~H /\ ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))):~H-->~H) -> (2 .op ( Iop -op ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))) = ((2 .op Iop ) -op (2 .op ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))))
69	43, 67, 68	mp3an12 1181	. . . . . . . 8 |- (((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))):~H-->~H -> (2 .op ( Iop -op ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))) = ((2 .op Iop ) -op (2 .op ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))))
70	65, 69	syl 12	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (2 .op ( Iop -op ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))) = ((2 .op Iop ) -op (2 .op ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))))
71		ho2times 11382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Iop :~H-->~H -> (2 .op Iop ) = ( Iop +op Iop ))
72	67, 71	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- (2 .op Iop ) = ( Iop +op Iop )
73	72	opreq1i 4892	. . . . . . . . . . . 12 |- ((2 .op Iop ) +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) = (( Iop +op Iop ) +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k))))
74	73	a1i 8	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> ((2 .op Iop ) +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) = (( Iop +op Iop ) +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))))
75		homulcl 11322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((2 e. CC /\ (F` k):~H-->~H) -> (2 .op (F` k)):~H-->~H)
76	43, 75	mpan 759	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F` k):~H-->~H -> (2 .op (F` k)):~H-->~H)
77	14, 35, 76	3syl 24	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> (2 .op (F` k)):~H-->~H)
78		homulcl 11322	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((2 e. CC /\ Iop :~H-->~H) -> (2 .op Iop ):~H-->~H)
79	43, 67, 78	mp2an 761	. . . . . . . . . . . . 13 |- (2 .op Iop ):~H-->~H
80		hoaddsubass 11378	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((2 .op Iop ):~H-->~H /\ ((F` k) o. (F` k)):~H-->~H /\ (2 .op (F` k)):~H-->~H) -> (((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op (2 .op (F` k))) = ((2 .op Iop ) +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))))
81	79, 80	mp3an1 1178	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((F` k) o. (F` k)):~H-->~H /\ (2 .op (F` k)):~H-->~H) -> (((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op (2 .op (F` k))) = ((2 .op Iop ) +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))))
82	38, 77, 81	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> (((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op (2 .op (F` k))) = ((2 .op Iop ) +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))))
83		hosubcl 11336	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((F` k) o. (F` k)):~H-->~H /\ (2 .op (F` k)):~H-->~H) -> (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k))):~H-->~H)
84	38, 77, 83	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k))):~H-->~H)
85		hoadd23 11346	. . . . . . . . . . . . 13 |- (( Iop :~H-->~H /\ (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k))):~H-->~H /\ Iop :~H-->~H) -> (( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) +op Iop ) = (( Iop +op Iop ) +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))))
86	67, 67, 85	mp3an13 1182	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k))):~H-->~H -> (( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) +op Iop ) = (( Iop +op Iop ) +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))))
87	84, 86	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> (( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) +op Iop ) = (( Iop +op Iop ) +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))))
88	74, 82, 87	3eqtr4rd 1939	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> (( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) +op Iop ) = (((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op (2 .op (F` k))))
89	88	opreq1d 4897	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> ((( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) +op Iop ) -op T) = ((((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op (2 .op (F` k))) -op T))
90		hoaddcl 11321	. . . . . . . . . . 11 |- (( Iop :~H-->~H /\ (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k))):~H-->~H) -> ( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))):~H-->~H)
91	67, 90	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- ((((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k))):~H-->~H -> ( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))):~H-->~H)
92		hoaddsubass 11378	. . . . . . . . . . 11 |- ((( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))):~H-->~H /\ Iop :~H-->~H /\ T:~H-->~H) -> ((( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) +op Iop ) -op T) = (( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) +op ( Iop -op T)))
93	67, 40, 92	mp3an23 1183	. . . . . . . . . 10 |- (( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))):~H-->~H -> ((( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) +op Iop ) -op T) = (( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) +op ( Iop -op T)))
94	84, 91, 93	3syl 24	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> ((( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) +op Iop ) -op T) = (( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) +op ( Iop -op T)))
95		hoaddcl 11321	. . . . . . . . . . . 12 |- (((2 .op Iop ):~H-->~H /\ ((F` k) o. (F` k)):~H-->~H) -> ((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))):~H-->~H)
96	79, 95	mpan 759	. . . . . . . . . . 11 |- (((F` k) o. (F` k)):~H-->~H -> ((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))):~H-->~H)
97	38, 96	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> ((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))):~H-->~H)
98		hosubsub4 11381	. . . . . . . . . . 11 |- ((((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))):~H-->~H /\ (2 .op (F` k)):~H-->~H /\ T:~H-->~H) -> ((((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op (2 .op (F` k))) -op T) = (((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op ((2 .op (F` k)) +op T)))
99	40, 98	mp3an3 1180	. . . . . . . . . 10 |- ((((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))):~H-->~H /\ (2 .op (F` k)):~H-->~H) -> ((((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op (2 .op (F` k))) -op T) = (((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op ((2 .op (F` k)) +op T)))
100	97, 77, 99	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> ((((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op (2 .op (F` k))) -op T) = (((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op ((2 .op (F` k)) +op T)))
101	89, 94, 100	3eqtr3d 1934	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) +op ( Iop -op T)) = (((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op ((2 .op (F` k)) +op T)))
102		hosubadd4 11377	. . . . . . . . . . 11 |- ((((2 .op Iop ):~H-->~H /\ (2 .op (F` k)):~H-->~H) /\ (T:~H-->~H /\ ((F` k) o. (F` k)):~H-->~H)) -> (((2 .op Iop ) -op (2 .op (F` k))) -op (T -op ((F` k) o. (F` k)))) = (((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op ((2 .op (F` k)) +op T)))
103	40, 102	mpanr1 774	. . . . . . . . . 10 |- ((((2 .op Iop ):~H-->~H /\ (2 .op (F` k)):~H-->~H) /\ ((F` k) o. (F` k)):~H-->~H) -> (((2 .op Iop ) -op (2 .op (F` k))) -op (T -op ((F` k) o. (F` k)))) = (((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op ((2 .op (F` k)) +op T)))
104	79, 103	mpanl1 770	. . . . . . . . 9 |- (((2 .op (F` k)):~H-->~H /\ ((F` k) o. (F` k)):~H-->~H) -> (((2 .op Iop ) -op (2 .op (F` k))) -op (T -op ((F` k) o. (F` k)))) = (((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op ((2 .op (F` k)) +op T)))
105	77, 38, 104	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (((2 .op Iop ) -op (2 .op (F` k))) -op (T -op ((F` k) o. (F` k)))) = (((2 .op Iop ) +op ((F` k) o. (F` k))) -op ((2 .op (F` k)) +op T)))
106	38, 42	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (T -op ((F` k) o. (F` k))):~H-->~H)
107		hosubsub4 11381	. . . . . . . . . 10 |- (((2 .op Iop ):~H-->~H /\ (2 .op (F` k)):~H-->~H /\ (T -op ((F` k) o. (F` k))):~H-->~H) -> (((2 .op Iop ) -op (2 .op (F` k))) -op (T -op ((F` k) o. (F` k)))) = ((2 .op Iop ) -op ((2 .op (F` k)) +op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))
108	79, 107	mp3an1 1178	. . . . . . . . 9 |- (((2 .op (F` k)):~H-->~H /\ (T -op ((F` k) o. (F` k))):~H-->~H) -> (((2 .op Iop ) -op (2 .op (F` k))) -op (T -op ((F` k) o. (F` k)))) = ((2 .op Iop ) -op ((2 .op (F` k)) +op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))
109	77, 106, 108	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (((2 .op Iop ) -op (2 .op (F` k))) -op (T -op ((F` k) o. (F` k)))) = ((2 .op Iop ) -op ((2 .op (F` k)) +op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))
110	101, 105, 109	3eqtr2d 1932	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) +op ( Iop -op T)) = ((2 .op Iop ) -op ((2 .op (F` k)) +op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))
111	63, 70, 110	3eqtr4rd 1939	. . . . . 6 |- (k e. NN -> (( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) +op ( Iop -op T)) = (2 .op ( Iop -op ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))))
112		hosubcl 11336	. . . . . . . . . . 11 |- (( Iop :~H-->~H /\ (F` k):~H-->~H) -> ( Iop -op (F` k)):~H-->~H)
113	67, 112	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- ((F` k):~H-->~H -> ( Iop -op (F` k)):~H-->~H)
114	14, 35, 113	3syl 24	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> ( Iop -op (F` k)):~H-->~H)
115		hocsubdir 11348	. . . . . . . . . 10 |- (( Iop :~H-->~H /\ (F` k):~H-->~H /\ ( Iop -op (F` k)):~H-->~H) -> (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) = (( Iop o. ( Iop -op (F` k))) -op ((F` k) o. ( Iop -op (F` k)))))
116	67, 115	mp3an1 1178	. . . . . . . . 9 |- (((F` k):~H-->~H /\ ( Iop -op (F` k)):~H-->~H) -> (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) = (( Iop o. ( Iop -op (F` k))) -op ((F` k) o. ( Iop -op (F` k)))))
117	36, 114, 116	syl11anc 524	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) = (( Iop o. ( Iop -op (F` k))) -op ((F` k) o. ( Iop -op (F` k)))))
118		hmoplin 11503	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Iop e. HrmOp -> Iop e. LinOp)
119	15, 118	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . 13 |- Iop e. LinOp
120		hoddi 11552	. . . . . . . . . . . . 13 |- (( Iop e. LinOp /\ Iop :~H-->~H /\ (F` k):~H-->~H) -> ( Iop o. ( Iop -op (F` k))) = (( Iop o. Iop ) -op ( Iop o. (F` k))))
121	119, 67, 120	mp3an12 1181	. . . . . . . . . . . 12 |- ((F` k):~H-->~H -> ( Iop o. ( Iop -op (F` k))) = (( Iop o. Iop ) -op ( Iop o. (F` k))))
122	14, 35, 121	3syl 24	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> ( Iop o. ( Iop -op (F` k))) = (( Iop o. Iop ) -op ( Iop o. (F` k))))
123	67	hoid1i 11352	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Iop o. Iop ) = Iop
124	123	a1i 8	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> ( Iop o. Iop ) = Iop )
125		hoico2 11320	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F` k):~H-->~H -> ( Iop o. (F` k)) = (F` k))
126	14, 35, 125	3syl 24	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> ( Iop o. (F` k)) = (F` k))
127	124, 126	opreq12d 4900	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> (( Iop o. Iop ) -op ( Iop o. (F` k))) = ( Iop -op (F` k)))
128	122, 127	eqtrd 1925	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> ( Iop o. ( Iop -op (F` k))) = ( Iop -op (F` k)))
129		hmoplin 11503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F` k) e. HrmOp -> (F` k) e. LinOp)
130	14, 129	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> (F` k) e. LinOp)
131		hoddi 11552	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F` k) e. LinOp /\ Iop :~H-->~H /\ (F` k):~H-->~H) -> ((F` k) o. ( Iop -op (F` k))) = (((F` k) o. Iop ) -op ((F` k) o. (F` k))))
132	67, 131	mp3an2 1179	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F` k) e. LinOp /\ (F` k):~H-->~H) -> ((F` k) o. ( Iop -op (F` k))) = (((F` k) o. Iop ) -op ((F` k) o. (F` k))))
133	130, 36, 132	syl11anc 524	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> ((F` k) o. ( Iop -op (F` k))) = (((F` k) o. Iop ) -op ((F` k) o. (F` k))))
134		hoico1 11319	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((F` k):~H-->~H -> ((F` k) o. Iop ) = (F` k))
135	14, 35, 134	3syl 24	. . . . . . . . . . . 12 |- (k e. NN -> ((F` k) o. Iop ) = (F` k))
136	135	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . 11 |- (k e. NN -> (((F` k) o. Iop ) -op ((F` k) o. (F` k))) = ((F` k) -op ((F` k) o. (F` k))))
137	133, 136	eqtrd 1925	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> ((F` k) o. ( Iop -op (F` k))) = ((F` k) -op ((F` k) o. (F` k))))
138	128, 137	opreq12d 4900	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (( Iop o. ( Iop -op (F` k))) -op ((F` k) o. ( Iop -op (F` k)))) = (( Iop -op (F` k)) -op ((F` k) -op ((F` k) o. (F` k)))))
139	36, 67	jctil 316	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> ( Iop :~H-->~H /\ (F` k):~H-->~H))
140		hosubadd4 11377	. . . . . . . . . 10 |- ((( Iop :~H-->~H /\ (F` k):~H-->~H) /\ ((F` k):~H-->~H /\ ((F` k) o. (F` k)):~H-->~H)) -> (( Iop -op (F` k)) -op ((F` k) -op ((F` k) o. (F` k)))) = (( Iop +op ((F` k) o. (F` k))) -op ((F` k) +op (F` k))))
141	139, 36, 38, 140	syl12anc 1098	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (( Iop -op (F` k)) -op ((F` k) -op ((F` k) o. (F` k)))) = (( Iop +op ((F` k) o. (F` k))) -op ((F` k) +op (F` k))))
142	138, 141	eqtrd 1925	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (( Iop o. ( Iop -op (F` k))) -op ((F` k) o. ( Iop -op (F` k)))) = (( Iop +op ((F` k) o. (F` k))) -op ((F` k) +op (F` k))))
143		ho2times 11382	. . . . . . . . . . 11 |- ((F` k):~H-->~H -> (2 .op (F` k)) = ((F` k) +op (F` k)))
144	14, 35, 143	3syl 24	. . . . . . . . . 10 |- (k e. NN -> (2 .op (F` k)) = ((F` k) +op (F` k)))
145	144	opreq2d 4898	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (( Iop +op ((F` k) o. (F` k))) -op (2 .op (F` k))) = (( Iop +op ((F` k) o. (F` k))) -op ((F` k) +op (F` k))))
146		hoaddsubass 11378	. . . . . . . . . . 11 |- (( Iop :~H-->~H /\ ((F` k) o. (F` k)):~H-->~H /\ (2 .op (F` k)):~H-->~H) -> (( Iop +op ((F` k) o. (F` k))) -op (2 .op (F` k))) = ( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))))
147	67, 146	mp3an1 1178	. . . . . . . . . 10 |- ((((F` k) o. (F` k)):~H-->~H /\ (2 .op (F` k)):~H-->~H) -> (( Iop +op ((F` k) o. (F` k))) -op (2 .op (F` k))) = ( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))))
148	38, 77, 147	syl11anc 524	. . . . . . . . 9 |- (k e. NN -> (( Iop +op ((F` k) o. (F` k))) -op (2 .op (F` k))) = ( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))))
149	145, 148	eqtr3d 1927	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (( Iop +op ((F` k) o. (F` k))) -op ((F` k) +op (F` k))) = ( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))))
150	117, 142, 149	3eqtrd 1929	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> (( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) = ( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))))
151	150	opreq1d 4897	. . . . . 6 |- (k e. NN -> ((( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) +op ( Iop -op T)) = (( Iop +op (((F` k) o. (F` k)) -op (2 .op (F` k)))) +op ( Iop -op T)))
152	7, 8, 9	opsqrlem5 11715	. . . . . . . 8 |- (k e. NN -> (F` (k + 1)) = ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))
153	152	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- (k e. NN -> ( Iop -op (F` (k + 1))) = ( Iop -op ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k)))))))
154	153	opreq2d 4898	. . . . . 6 |- (k e. NN -> (2 .op ( Iop -op (F` (k + 1)))) = (2 .op ( Iop -op ((F` k) +op ((1 / 2) .op (T -op ((F` k) o. (F` k))))))))
155	111, 151, 154	3eqtr4d 1937	. . . . 5 |- (k e. NN -> ((( Iop -op (F` k)) o. ( Iop -op (F` k))) +op ( Iop -op T)) = (2 .op ( Iop -op (F` (k + 1)))))
156	34, 155	breqtrd 3361	. . . 4 |- (k e. NN -> 0hop <_op (2 .op ( Iop -op (F` (k + 1)))))
157		peano2nn 7118	. . . . . 6 |- (k e. NN -> (k + 1) e. NN)
158	13	ffvelrni 4788	. . . . . 6 |- ((k + 1) e. NN -> (F` (k + 1)) e. HrmOp)
159	157, 158	syl 12	. . . . 5 |- (k e. NN -> (F` (k + 1)) e. HrmOp)
160		hmopd 11584	. . . . . 6 |- (( Iop e. HrmOp /\ (F` (k + 1)) e. HrmOp) -> ( Iop -op (F` (k + 1))) e. HrmOp)
161	15, 160	mpan 759	. . . . 5 |- ((F` (k + 1)) e. HrmOp -> ( Iop -op (F` (k + 1))) e. HrmOp)
162		2re 7163	. . . . . 6 |- 2 e. RR
163		2pos 7173	. . . . . 6 |- 0 < 2
164		leopmul 11705	. . . . . 6 |- ((2 e. RR /\ ( Iop -op (F` (k + 1))) e. HrmOp /\ 0 < 2) -> (0hop <_op ( Iop -op (F` (k + 1))) <-> 0hop <_op (2 .op ( Iop -op (F` (k + 1))))))
165	162, 163, 164	mp3an13 1182	. . . . 5 |- (( Iop -op (F` (k + 1))) e. HrmOp -> (0hop <_op ( Iop -op (F` (k + 1))) <-> 0hop <_op (2 .op ( Iop -op (F` (k + 1))))))
166	159, 161, 165	3syl 24	. . . 4 |- (k e. NN -> (0hop <_op ( Iop -op (F` (k + 1))) <-> 0hop <_op (2 .op ( Iop -op (F` (k + 1))))))
167	156, 166	mpbird 213	. . 3 |- (k e. NN -> 0hop <_op ( Iop -op (F` (k + 1))))
168		leop3 11696	. . . . 5 |- (((F` (k + 1)) e. HrmOp /\ Iop e. HrmOp) -> ((F` (k + 1)) <_op Iop <-> 0hop <_op ( Iop -op (F` (k + 1)))))
169	15, 168	mpan2 760	. . . 4 |- ((F` (k + 1)) e. HrmOp -> ((F` (k + 1)) <_op Iop <-> 0hop <_op ( Iop -op (F` (k + 1)))))
170	157, 158, 169	3syl 24	. . 3 |- (k e. NN -> ((F` (k + 1)) <_op Iop <-> 0hop <_op ( Iop -op (F` (k + 1)))))
171	167, 170	mpbird 213	. 2 |- (k e. NN -> (F` (k + 1)) <_op Iop )
172	2, 4, 6, 12, 171	nn1suc 7122	1 |- (N e. NN -> (F` N) <_op Iop )

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {csn 3044   class class class wbr 3338   X. cxp 3984   o. ccom 3990  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   / cdiv 6447  NNcn 6449   < clt 6653  2c2 7145   seq1 cseq1 7720  ~Hchil 10420   +op chos 10439   .op chot 10440   -op chod 10441  0_hopch0o 10444   Iop chio 10445  LinOpclo 10448  HrmOpcho 10451   <_op cleo 10459

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-reg 5695  ax-inf2 5731  ax-ac 5906  ax-hilex 10501  ax-hfvadd 10502  ax-hvcom 10503  ax-hvass 10504  ax-hv0cl 10505  ax-hvaddid 10506  ax-hfvmul 10507  ax-hvmulid 10508  ax-hvmulass 10509  ax-hvdistr1 10510  ax-hvdistr2 10511  ax-hvmul0 10512  ax-hfi 10579  ax-his1 10582  ax-his2 10583  ax-his3 10584  ax-his4 10585  ax-hcompl 10704

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-iin 3258  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-r1 5750  df-rank 5751  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-3 7155  df-4 7156  df-n0 7309  df-z 7345  df-q 7436  df-fl 7463  df-ioo 7528  df-uz 7587  df-fz 7638  df-seq1 7721  df-shft 7754  df-seqz 7776  df-exp 7812  df-sqr 7920  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003  df-abs 8004  df-clim 8235  df-sum 8240  df-top 8861  df-bases 8863  df-topgen 8864  df-cld 8939  df-ntr 8940  df-cls 8941  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-haus 9059  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073  df-lm 9200  df-grp 9316  df-gid 9317  df-ginv 9318  df-gdiv 9319  df-abl 9408  df-vc 9497  df-nv 9543  df-va 9546  df-ba 9547  df-sm 9548  df-0v 9549  df-vs 9550  df-nm 9551  df-ims 9552  df-ip 9689  df-ph 9813  df-hnorm 10469  df-hvsub 10472  df-hlim 10473  df-hcau 10474  df-sh 10709  df-ch 10725  df-oc 10757  df-ch0 10758  df-pj 10870  df-hosum 11139  df-homul 11140  df-hodif 11141  df-h0op 11311  df-iop 11312  df-lnop 11404  df-hmop 11407  df-leop 11415

Copyright terms: Public domain