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Theorem opsqrlem6 27791
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 23-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem2.1  |-  T  e. 
HrmOp
opsqrlem2.2  |-  S  =  ( x  e.  HrmOp ,  y  e.  HrmOp  |->  ( x 
+op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( x  o.  x ) ) ) ) )
opsqrlem2.3  |-  F  =  seq 1 ( S ,  ( NN  X.  { 0hop } ) )
opsqrlem6.4  |-  T  <_op  Iop
Assertion
Ref Expression
opsqrlem6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  <_op  Iop  )
Distinct variable group:    x, y, T
Allowed substitution hints:    S( x, y)    F( x, y)    N( x, y)

Proof of Theorem opsqrlem6
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5863 . . 3  |-  ( j  =  1  ->  ( F `  j )  =  ( F ` 
1 ) )
21breq1d 4411 . 2  |-  ( j  =  1  ->  (
( F `  j
)  <_op  Iop  <->  ( F `  1 )  <_op  Iop  ) )
3 fveq2 5863 . . 3  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  ( F `  j )  =  ( F `  ( k  +  1 ) ) )
43breq1d 4411 . 2  |-  ( j  =  ( k  +  1 )  ->  (
( F `  j
)  <_op  Iop  <->  ( F `  ( k  +  1 ) )  <_op  Iop  )
)
5 fveq2 5863 . . 3  |-  ( j  =  N  ->  ( F `  j )  =  ( F `  N ) )
65breq1d 4411 . 2  |-  ( j  =  N  ->  (
( F `  j
)  <_op  Iop  <->  ( F `  N )  <_op  Iop  )
)
7 opsqrlem2.1 . . . 4  |-  T  e. 
HrmOp
8 opsqrlem2.2 . . . 4  |-  S  =  ( x  e.  HrmOp ,  y  e.  HrmOp  |->  ( x 
+op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( x  o.  x ) ) ) ) )
9 opsqrlem2.3 . . . 4  |-  F  =  seq 1 ( S ,  ( NN  X.  { 0hop } ) )
107, 8, 9opsqrlem2 27787 . . 3  |-  ( F `
 1 )  = 
0hop
11 idleop 27777 . . 3  |-  0hop  <_op  Iop
1210, 11eqbrtri 4421 . 2  |-  ( F `
 1 )  <_op  Iop
13 idhmop 27628 . . . . . . . 8  |-  Iop  e.  HrmOp
147, 8, 9opsqrlem4 27789 . . . . . . . . 9  |-  F : NN
--> HrmOp
1514ffvelrni 6019 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  HrmOp )
16 hmopd 27668 . . . . . . . 8  |-  ( (  Iop  e.  HrmOp  /\  ( F `  k )  e.  HrmOp )  ->  (  Iop  -op  ( F `  k ) )  e. 
HrmOp )
1713, 15, 16sylancr 668 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  -op  ( F `  k ) )  e. 
HrmOp )
18 eqid 2450 . . . . . . . 8  |-  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  =  ( (  Iop  -op  ( F `  k )
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )
19 hmopco 27669 . . . . . . . 8  |-  ( ( (  Iop  -op  ( F `  k )
)  e.  HrmOp  /\  (  Iop  -op  ( F `  k ) )  e. 
HrmOp  /\  ( (  Iop 
-op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  =  ( (  Iop  -op  ( F `  k )
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) )  ->  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  e.  HrmOp )
2018, 19mp3an3 1352 . . . . . . 7  |-  ( ( (  Iop  -op  ( F `  k )
)  e.  HrmOp  /\  (  Iop  -op  ( F `  k ) )  e. 
HrmOp )  ->  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  e.  HrmOp )
2117, 17, 20syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  e.  HrmOp )
22 leopsq 27775 . . . . . . 7  |-  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  e. 
HrmOp  ->  0hop  <_op  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) ) )
2317, 22syl 17 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  0hop  <_op  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) ) )
24 opsqrlem6.4 . . . . . . . 8  |-  T  <_op  Iop
25 leop3 27771 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  Iop  e.  HrmOp )  ->  ( T  <_op  Iop  <->  0hop  <_op  (  Iop  -op 
T ) ) )
267, 13, 25mp2an 677 . . . . . . . 8  |-  ( T 
<_op  Iop  <->  0hop  <_op  (  Iop  -op 
T ) )
2724, 26mpbi 212 . . . . . . 7  |-  0hop  <_op  (  Iop  -op  T )
28 hmopd 27668 . . . . . . . . 9  |-  ( (  Iop  e.  HrmOp  /\  T  e.  HrmOp )  ->  (  Iop  -op  T )  e. 
HrmOp )
2913, 7, 28mp2an 677 . . . . . . . 8  |-  (  Iop 
-op  T )  e. 
HrmOp
30 leopadd 27778 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( (  Iop 
-op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  e.  HrmOp  /\  (  Iop  -op  T
)  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  /\  0hop  <_op 
(  Iop  -op  T ) ) )  ->  0hop  <_op  (
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) ) )
3129, 30mpanl2 686 . . . . . . 7  |-  ( ( ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  e.  HrmOp  /\  ( 0hop  <_op 
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  /\  0hop  <_op  (  Iop 
-op  T ) ) )  ->  0hop  <_op  (
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) ) )
3227, 31mpanr2 689 . . . . . 6  |-  ( ( ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  e.  HrmOp  /\  0hop  <_op  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) ) )  ->  0hop  <_op  ( ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) )  +op  (  Iop  -op  T ) ) )
3321, 23, 32syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  0hop  <_op  (
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) ) )
34 2cn 10677 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
35 hmopf 27520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k )  e.  HrmOp  ->  ( F `  k ) : ~H --> ~H )
3615, 35syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k ) : ~H --> ~H )
37 homulcl 27405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  ->  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )
3834, 36, 37sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  ( F `  k ) ) : ~H --> ~H )
39 hmopf 27520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
407, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  T : ~H
--> ~H
41 fco 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
) : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )
4236, 36, 41syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) : ~H --> ~H )
43 hosubcl 27419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( T  -op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) : ~H --> ~H )
4440, 42, 43sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) : ~H --> ~H )
45 hmopf 27520 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  Iop 
e.  HrmOp  ->  Iop  : ~H --> ~H )
4613, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  Iop  : ~H
--> ~H
47 homulcl 27405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  Iop  : ~H --> ~H )  ->  ( 2  .op  Iop  ) : ~H --> ~H )
4834, 46, 47mp2an 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2 
.op  Iop  ) : ~H --> ~H
49 hosubsub4 27464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  .op  Iop  ) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) )
5048, 49mp3an1 1350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) )
5138, 44, 50syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) )
52 hosubcl 27419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )
5342, 38, 52syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )
54 hoadd32 27429 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H  /\  Iop  : ~H --> ~H )  ->  ( (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )  +op  Iop  )  =  ( (  Iop 
+op  Iop  )  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
5546, 46, 54mp3an13 1354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H  ->  ( (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) )  +op  Iop  )  =  ( (  Iop 
+op  Iop  )  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  Iop  )  =  ( (  Iop  +op  Iop  )  +op  ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k )
) ) ) )
57 ho2times 27465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  Iop 
: ~H --> ~H  ->  ( 2  .op  Iop  )  =  (  Iop  +op  Iop  ) )
5846, 57ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2 
.op  Iop  )  =  (  Iop  +op  Iop  )
5958oveq1i 6298 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  .op  Iop  )  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )  =  ( (  Iop  +op  Iop  )  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )
6056, 59syl6eqr 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  Iop  )  =  ( ( 2  .op  Iop  )  +op  ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k )
) ) ) )
61 hoaddsubass 27461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( 2  .op  Iop  ) : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
6248, 61mp3an1 1350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
6342, 38, 62syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
6460, 63eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  Iop  )  =  ( ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) )
6564oveq1d 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )  +op  Iop  )  -op  T )  =  ( ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) )  -op  T ) )
66 hoaddcl 27404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) : ~H --> ~H )
6746, 53, 66sylancr 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  +op  ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k )
) ) ) : ~H --> ~H )
68 hoaddsubass 27461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) : ~H --> ~H  /\  Iop  : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( ( (  Iop 
+op  ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k )
) ) )  +op  Iop  )  -op  T )  =  ( (  Iop 
+op  ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k )
) ) )  +op  (  Iop  -op  T )
) )
6946, 40, 68mp3an23 1355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  Iop  +op  ( (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) : ~H --> ~H  ->  ( ( (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )  +op  Iop  )  -op  T )  =  ( (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) )  +op  (  Iop 
-op  T ) ) )
7067, 69syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) )  +op  Iop  )  -op  T )  =  ( (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) )  +op  (  Iop 
-op  T ) ) )
71 hoaddcl 27404 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  .op  Iop  ) : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) : ~H --> ~H )
7248, 42, 71sylancr 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  .op  Iop  )  +op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) : ~H --> ~H )
73 hosubsub4 27464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( ( 2  .op  Iop  )  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  T )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
7440, 73mp3an3 1352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( ( 2  .op  Iop  )  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  T )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
7572, 38, 74syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) )  -op  T )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
7665, 70, 753eqtr3d 2492 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
77 hosubadd4 27460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( 2  .op 
Iop  ) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k
) ) : ~H --> ~H )  /\  ( T : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )
)  ->  ( (
( 2  .op  Iop  )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) )  -op  ( T  -op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) )  =  ( ( ( 2  .op 
Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
7840, 77mpanr1 688 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  .op 
Iop  ) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k
) ) : ~H --> ~H )  /\  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
7948, 78mpanl1 685 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
8038, 42, 79syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( ( ( 2 
.op  Iop  )  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  T ) ) )
8176, 80eqtr4d 2487 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  -op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) )
82 halfcn 10826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  /  2 )  e.  CC
83 homulcl 27405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) : ~H --> ~H )
8482, 44, 83sylancr 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) : ~H --> ~H )
85 hoadddi 27449 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H  /\  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( 2  .op  (
( F `  k
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  ( 2  .op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) )
8634, 85mp3an1 1350 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  k
) : ~H --> ~H  /\  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( 2  .op  (
( F `  k
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  ( F `
 k ) ) 
+op  ( 2  .op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) )
8736, 84, 86syl2anc 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  ( ( F `  k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( 2 
.op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) ) ) ) )
88 2ne0 10699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
8934, 88recidi 10335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
9089oveq1i 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  ( 1  /  2 ) ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( 1  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) )
91 homulass 27448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( 2  x.  ( 1  /  2
) )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) )  =  ( 2  .op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )
9234, 82, 91mp3an12 1353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H  ->  ( ( 2  x.  (
1  /  2 ) )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) )  =  ( 2  .op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )
9344, 92syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  x.  (
1  /  2 ) )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) )  =  ( 2  .op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )
94 homulid2 27446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) : ~H --> ~H  ->  ( 1  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) )  =  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
9544, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( T  -op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) )
9690, 93, 953eqtr3a 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) )  =  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
9796oveq2d 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( 2 
.op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  ( F `  k
) )  +op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) )
9887, 97eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  ( ( F `  k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  ( F `  k )
)  +op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) )
9998oveq2d 6304 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( 2  .op  Iop  )  -op  ( 2  .op  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  Iop  )  -op  ( ( 2 
.op  ( F `  k ) )  +op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) ) ) ) )
10051, 81, 993eqtr4d 2494 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( ( 2  .op  Iop  )  -op  ( 2  .op  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) ) ) )
101 hoaddcl 27404 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
) : ~H --> ~H  /\  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) : ~H --> ~H )
10236, 84, 101syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) : ~H --> ~H )
103 hosubdi 27454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) : ~H --> ~H )  ->  ( 2  .op  (  Iop  -op  ( ( F `
 k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
2  .op  ( ( F `  k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) ) )
10434, 46, 103mp3an12 1353 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  k
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) : ~H --> ~H  ->  ( 2  .op  (  Iop 
-op  ( ( F `
 k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op 
Iop  )  -op  (
2  .op  ( ( F `  k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) ) )
105102, 104syl 17 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  (  Iop  -op  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) ) )  =  ( ( 2  .op  Iop  )  -op  ( 2  .op  ( ( F `  k )  +op  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) ) ) )
106100, 105eqtr4d 2487 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( ( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( 2  .op  (  Iop 
-op  ( ( F `
 k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) ) )
107 hosubcl 27419 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  ->  (  Iop  -op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )
10846, 36, 107sylancr 668 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) : ~H --> ~H )
109 hocsubdir 27431 . . . . . . . . . 10  |-  ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H  /\  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) : ~H --> ~H )  -> 
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop 
o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  (
( F `  k
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) ) )
11046, 109mp3an1 1350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
) : ~H --> ~H  /\  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) : ~H --> ~H )  -> 
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop 
o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  (
( F `  k
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) ) )
11136, 108, 110syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  ( ( F `
 k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) ) ) )
112 hmoplin 27588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  Iop 
e.  HrmOp  ->  Iop  e.  LinOp )
11313, 112ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  Iop  e.  LinOp
114 hoddi 27636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  Iop  e.  LinOp  /\  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  -> 
(  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop 
o.  Iop  )  -op  (  Iop  o.  ( F `
 k ) ) ) )
115113, 46, 114mp3an12 1353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  k ) : ~H --> ~H  ->  (  Iop  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop 
o.  Iop  )  -op  (  Iop  o.  ( F `
 k ) ) ) )
11636, 115syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  ( (  Iop  o.  Iop  )  -op  (  Iop  o.  ( F `  k ) ) ) )
11746hoid1i 27435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  (  Iop 
o.  Iop  )  =  Iop
118117a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  o.  Iop  )  =  Iop  )
119 hoico2 27403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  k ) : ~H --> ~H  ->  (  Iop  o.  ( F `
 k ) )  =  ( F `  k ) )
12036, 119syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  o.  ( F `  k ) )  =  ( F `  k
) )
121118, 120oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  o.  Iop  )  -op  (  Iop  o.  ( F `  k ) ) )  =  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )
122116, 121eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )
123 hmoplin 27588 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  k )  e.  HrmOp  ->  ( F `  k )  e.  LinOp )
12415, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  k )  e.  LinOp )
125 hoddi 27636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  LinOp  /\  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  -> 
( ( F `  k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( ( F `  k )  o.  Iop  )  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
12646, 125mp3an2 1351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  LinOp  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  -> 
( ( F `  k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( ( F `  k )  o.  Iop  )  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
127124, 36, 126syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( ( F `  k )  o.  Iop  )  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
128 hoico1 27402 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  k ) : ~H --> ~H  ->  ( ( F `  k
)  o.  Iop  )  =  ( F `  k ) )
12936, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  o.  Iop  )  =  ( F `  k ) )
130129oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ( F `  k )  o.  Iop  )  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) )  =  ( ( F `  k )  -op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) )
131127, 130eqtrd 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  k
)  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) )  =  ( ( F `
 k )  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )
132122, 131oveq12d 6306 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  ( ( F `
 k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) ) )  =  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  -op  ( ( F `  k )  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) )
13336, 46jctil 540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )
)
134 hosubadd4 27460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( F `  k ) : ~H --> ~H )  /\  (
( F `  k
) : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )
)  ->  ( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  -op  ( ( F `  k )  -op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) ) )  =  ( (  Iop  +op  (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) ) )  -op  ( ( F `  k ) 
+op  ( F `  k ) ) ) )
135133, 36, 42, 134syl12anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  -op  ( ( F `
 k )  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) )  =  ( (  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
( F `  k
)  +op  ( F `  k ) ) ) )
136132, 135eqtrd 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  ( ( F `
 k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) ) )  =  ( (  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
( F `  k
)  +op  ( F `  k ) ) ) )
137 ho2times 27465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  k ) : ~H --> ~H  ->  ( 2  .op  ( F `
 k ) )  =  ( ( F `
 k )  +op  ( F `  k ) ) )
13836, 137syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  ( F `  k ) )  =  ( ( F `  k )  +op  ( F `  k )
) )
139138oveq2d 6304 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) )  =  ( (  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
( F `  k
)  +op  ( F `  k ) ) ) )
140 hoaddsubass 27461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (  Iop  : ~H --> ~H  /\  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( (  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  =  (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) ) )
14146, 140mp3an1 1350 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) : ~H --> ~H  /\  ( 2  .op  ( F `  k )
) : ~H --> ~H )  ->  ( (  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) )  =  (  Iop  +op  ( ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) )  -op  (
2  .op  ( F `  k ) ) ) ) )
14242, 38, 141syl2anc 666 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  +op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k ) ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) )  =  (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
143136, 139, 1423eqtr2d 2490 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  -op  ( ( F `
 k )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k )
) ) )  =  (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) ) )
144111, 143eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
(  Iop  -op  ( F `
 k ) )  o.  (  Iop  -op  ( F `  k ) ) )  =  (  Iop  +op  ( (
( F `  k
)  o.  ( F `
 k ) )  -op  ( 2  .op  ( F `  k
) ) ) ) )
145144oveq1d 6303 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( (  Iop  +op  (
( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
)  -op  ( 2 
.op  ( F `  k ) ) ) )  +op  (  Iop 
-op  T ) ) )
1467, 8, 9opsqrlem5 27790 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  ( ( F `
 k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) )
147146oveq2d 6304 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  (  Iop  -op  (
( F `  k
)  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( ( F `  k )  o.  ( F `  k )
) ) ) ) ) )
148147oveq2d 6304 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
2  .op  (  Iop  -op  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( 2  .op  (  Iop  -op  ( ( F `
 k )  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( ( F `
 k )  o.  ( F `  k
) ) ) ) ) ) ) )
149106, 145, 1483eqtr4d 2494 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( (  Iop  -op  ( F `  k ) )  o.  (  Iop 
-op  ( F `  k ) ) ) 
+op  (  Iop  -op  T ) )  =  ( 2  .op  (  Iop 
-op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
15033, 149breqtrd 4426 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  0hop  <_op  (
2  .op  (  Iop  -op  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) )
151 peano2nn 10618 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
15214ffvelrni 6019 . . . . . . 7  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  HrmOp )
153151, 152syl 17 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  HrmOp )
154 hmopd 27668 . . . . . 6  |-  ( (  Iop  e.  HrmOp  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  HrmOp )  ->  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e. 
HrmOp )
15513, 153, 154sylancr 668 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e. 
HrmOp )
156 2re 10676 . . . . . 6  |-  2  e.  RR
157 2pos 10698 . . . . . 6  |-  0  <  2
158 leopmul 27780 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e. 
HrmOp  /\  0  <  2
)  ->  ( 0hop  <_op 
(  Iop  -op  ( F `
 ( k  +  1 ) ) )  <->  0hop  <_op  ( 2  .op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
159156, 157, 158mp3an13 1354 . . . . 5  |-  ( (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e. 
HrmOp  ->  ( 0hop  <_op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <->  0hop  <_op  (
2  .op  (  Iop  -op  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) ) ) )
160155, 159syl 17 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( 0hop  <_op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  <->  0hop  <_op  ( 2 
.op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) ) )
161150, 160mpbird 236 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  0hop  <_op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
162 leop3 27771 . . . 4  |-  ( ( ( F `  (
k  +  1 ) )  e.  HrmOp  /\  Iop  e.  HrmOp )  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_op  Iop  <->  0hop  <_op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
163153, 13, 162sylancl 667 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  <_op  Iop  <->  0hop  <_op  (  Iop  -op  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
164161, 163mpbird 236 . 2  |-  ( k  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) ) 
<_op  Iop  )
1652, 4, 6, 12, 164nn1suc 10627 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( F `  N )  <_op  Iop  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   {csn 3967   class class class wbr 4401    X. cxp 4831    o. ccom 4837   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    |-> cmpt2 6290   CCcc 9534   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539    x. cmul 9541    < clt 9672    / cdiv 10266   NNcn 10606   2c2 10656    seqcseq 12210   ~Hchil 26565    +op chos 26584    .op chot 26585    -op chod 26586   0hopch0o 26589    Iop chio 26590   LinOpclo 26593   HrmOpcho 26596    <_op cleo 26604
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615  ax-mulf 9616  ax-hilex 26645  ax-hfvadd 26646  ax-hvcom 26647  ax-hvass 26648  ax-hv0cl 26649  ax-hvaddid 26650  ax-hfvmul 26651  ax-hvmulid 26652  ax-hvmulass 26653  ax-hvdistr1 26654  ax-hvdistr2 26655  ax-hvmul0 26656  ax-hfi 26725  ax-his1 26728  ax-his2 26729  ax-his3 26730  ax-his4 26731  ax-hcompl 26848
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-supp 6912  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-ixp 7520  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-5 10668  df-6 10669  df-7 10670  df-8 10671  df-9 10672  df-10 10673  df-n0 10867  df-z 10935  df-dec 11049  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-topsp 19917  df-cld 20027  df-ntr 20028  df-cls 20029  df-nei 20107  df-cn 20236  df-cnp 20237  df-lm 20238  df-haus 20324  df-tx 20570  df-hmeo 20763  df-fil 20854  df-fm 20946  df-flim 20947  df-flf 20948  df-xms 21328  df-ms 21329  df-tms 21330  df-cfil 22218  df-cau 22219  df-cmet 22220  df-grpo 25912  df-gid 25913  df-ginv 25914  df-gdiv 25915  df-ablo 26003  df-subgo 26023  df-vc 26158  df-nv 26204  df-va 26207  df-ba 26208  df-sm 26209  df-0v 26210  df-vs 26211  df-nmcv 26212  df-ims 26213  df-dip 26330  df-ssp 26354  df-ph 26447  df-cbn 26498  df-hnorm 26614  df-hba 26615  df-hvsub 26617  df-hlim 26618  df-hcau 26619  df-sh 26853  df-ch 26867  df-oc 26898  df-ch0 26899  df-shs 26954  df-pjh 27041  df-hosum 27376  df-homul 27377  df-hodif 27378  df-h0op 27394  df-iop 27395  df-lnop 27487  df-hmop 27490  df-leop 27498
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