HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem4 Structured version   Unicode version

Theorem opsqrlem4 27639
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 17-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem2.1  |-  T  e. 
HrmOp
opsqrlem2.2  |-  S  =  ( x  e.  HrmOp ,  y  e.  HrmOp  |->  ( x 
+op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( x  o.  x ) ) ) ) )
opsqrlem2.3  |-  F  =  seq 1 ( S ,  ( NN  X.  { 0hop } ) )
Assertion
Ref Expression
opsqrlem4  |-  F : NN
--> HrmOp
Distinct variable group:    x, y, T
Allowed substitution hints:    S( x, y)    F( x, y)

Proof of Theorem opsqrlem4
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11194 . . . 4  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10968 . . . 4  |-  ( T. 
->  1  e.  ZZ )
3 0hmop 27479 . . . . . . . 8  |-  0hop  e.  HrmOp
43elexi 3097 . . . . . . 7  |-  0hop  e.  _V
54fvconst2 6135 . . . . . 6  |-  ( z  e.  NN  ->  (
( NN  X.  { 0hop } ) `  z
)  =  0hop )
65, 3syl6eqel 2525 . . . . 5  |-  ( z  e.  NN  ->  (
( NN  X.  { 0hop } ) `  z
)  e.  HrmOp )
76adantl 467 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  z  e.  NN )  ->  (
( NN  X.  { 0hop } ) `  z
)  e.  HrmOp )
8 opsqrlem2.1 . . . . . . 7  |-  T  e. 
HrmOp
9 opsqrlem2.2 . . . . . . 7  |-  S  =  ( x  e.  HrmOp ,  y  e.  HrmOp  |->  ( x 
+op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( x  o.  x ) ) ) ) )
10 opsqrlem2.3 . . . . . . 7  |-  F  =  seq 1 ( S ,  ( NN  X.  { 0hop } ) )
118, 9, 10opsqrlem3 27638 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  HrmOp  /\  w  e.  HrmOp )  ->  (
z S w )  =  ( z  +op  ( ( 1  / 
2 )  .op  ( T  -op  ( z  o.  z ) ) ) ) )
12 halfre 10828 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
13 simpl 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  HrmOp  /\  w  e.  HrmOp )  ->  z  e.  HrmOp )
14 eqidd 2430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  HrmOp  /\  w  e.  HrmOp )  ->  (
z  o.  z )  =  ( z  o.  z ) )
15 hmopco 27519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  HrmOp  /\  z  e.  HrmOp  /\  ( z  o.  z )  =  ( z  o.  z ) )  ->  ( z  o.  z )  e.  HrmOp )
1613, 13, 14, 15syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  HrmOp  /\  w  e.  HrmOp )  ->  (
z  o.  z )  e.  HrmOp )
17 hmopd 27518 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  HrmOp  /\  (
z  o.  z )  e.  HrmOp )  ->  ( T  -op  ( z  o.  z ) )  e. 
HrmOp )
188, 16, 17sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  HrmOp  /\  w  e.  HrmOp )  ->  ( T  -op  ( z  o.  z ) )  e. 
HrmOp )
19 hmopm 27517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( T  -op  ( z  o.  z ) )  e.  HrmOp )  ->  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( z  o.  z
) ) )  e. 
HrmOp )
2012, 18, 19sylancr 667 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  HrmOp  /\  w  e.  HrmOp )  ->  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( z  o.  z
) ) )  e. 
HrmOp )
21 hmops 27516 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  HrmOp  /\  (
( 1  /  2
)  .op  ( T  -op  ( z  o.  z
) ) )  e. 
HrmOp )  ->  ( z 
+op  ( ( 1  /  2 )  .op  ( T  -op  ( z  o.  z ) ) ) )  e.  HrmOp )
2220, 21syldan 472 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  HrmOp  /\  w  e.  HrmOp )  ->  (
z  +op  ( (
1  /  2 ) 
.op  ( T  -op  ( z  o.  z
) ) ) )  e.  HrmOp )
2311, 22eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  HrmOp  /\  w  e.  HrmOp )  ->  (
z S w )  e.  HrmOp )
2423adantl 467 . . . 4  |-  ( ( T.  /\  ( z  e.  HrmOp  /\  w  e.  HrmOp
) )  ->  (
z S w )  e.  HrmOp )
251, 2, 7, 24seqf 12231 . . 3  |-  ( T. 
->  seq 1 ( S ,  ( NN  X.  { 0hop } ) ) : NN --> HrmOp )
2625trud 1446 . 2  |-  seq 1
( S ,  ( NN  X.  { 0hop } ) ) : NN --> HrmOp
2710feq1i 5738 . 2  |-  ( F : NN --> HrmOp  <->  seq 1
( S ,  ( NN  X.  { 0hop } ) ) : NN --> HrmOp )
2826, 27mpbir 212 1  |-  F : NN
--> HrmOp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    = wceq 1437   T. wtru 1438    e. wcel 1870   {csn 4002    X. cxp 4852    o. ccom 4858   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   RRcr 9537   1c1 9539    / cdiv 10268   NNcn 10609   2c2 10659    seqcseq 12210    +op chos 26434    .op chot 26435    -op chod 26436   0hopch0o 26439   HrmOpcho 26446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618  ax-hilex 26495  ax-hfvadd 26496  ax-hvcom 26497  ax-hvass 26498  ax-hv0cl 26499  ax-hvaddid 26500  ax-hfvmul 26501  ax-hvmulid 26502  ax-hvmulass 26503  ax-hvdistr1 26504  ax-hvdistr2 26505  ax-hvmul0 26506  ax-hfi 26575  ax-his1 26578  ax-his2 26579  ax-his3 26580  ax-his4 26581  ax-hcompl 26698
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15166  df-mulr 15167  df-starv 15168  df-sca 15169  df-vsca 15170  df-ip 15171  df-tset 15172  df-ple 15173  df-ds 15175  df-unif 15176  df-hom 15177  df-cco 15178  df-rest 15284  df-topn 15285  df-0g 15303  df-gsum 15304  df-topgen 15305  df-pt 15306  df-prds 15309  df-xrs 15363  df-qtop 15368  df-imas 15369  df-xps 15371  df-mre 15447  df-mrc 15448  df-acs 15450  df-mgm 16443  df-sgrp 16482  df-mnd 16492  df-submnd 16538  df-mulg 16631  df-cntz 16926  df-cmn 17371  df-psmet 18901  df-xmet 18902  df-met 18903  df-bl 18904  df-mopn 18905  df-fbas 18906  df-fg 18907  df-cnfld 18910  df-top 19856  df-bases 19857  df-topon 19858  df-topsp 19859  df-cld 19969  df-ntr 19970  df-cls 19971  df-nei 20049  df-cn 20178  df-cnp 20179  df-lm 20180  df-haus 20266  df-tx 20512  df-hmeo 20705  df-fil 20796  df-fm 20888  df-flim 20889  df-flf 20890  df-xms 21270  df-ms 21271  df-tms 21272  df-cfil 22122  df-cau 22123  df-cmet 22124  df-grpo 25772  df-gid 25773  df-ginv 25774  df-gdiv 25775  df-ablo 25863  df-subgo 25883  df-vc 26018  df-nv 26064  df-va 26067  df-ba 26068  df-sm 26069  df-0v 26070  df-vs 26071  df-nmcv 26072  df-ims 26073  df-dip 26190  df-ssp 26214  df-ph 26307  df-cbn 26358  df-hnorm 26464  df-hba 26465  df-hvsub 26467  df-hlim 26468  df-hcau 26469  df-sh 26703  df-ch 26717  df-oc 26748  df-ch0 26749  df-shs 26804  df-pjh 26891  df-hosum 27226  df-homul 27227  df-hodif 27228  df-h0op 27244  df-hmop 27340
This theorem is referenced by:  opsqrlem5  27640  opsqrlem6  27641
  Copyright terms: Public domain W3C validator