HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem1 Structured version   Unicode version

Theorem opsqrlem1 27628
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 9-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem1.1  |-  T  e. 
HrmOp
opsqrlem1.2  |-  ( normop `  T )  e.  RR
opsqrlem1.3  |-  0hop  <_op  T
opsqrlem1.4  |-  R  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
opsqrlem1.5  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. u  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )
Assertion
Ref Expression
opsqrlem1  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T ) )
Distinct variable group:    v, u, T
Allowed substitution hints:    R( v, u)

Proof of Theorem opsqrlem1
StepHypRef Expression
1 opsqrlem1.1 . . . . . . . 8  |-  T  e. 
HrmOp
2 hmopf 27362 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
31, 2ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  T : ~H
--> ~H
4 nmopge0 27399 . . . . . . 7  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  <_  ( normop `  T )
6 opsqrlem1.2 . . . . . . 7  |-  ( normop `  T )  e.  RR
76sqrtcli 13413 . . . . . 6  |-  ( 0  <_  ( normop `  T
)  ->  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  RR )
85, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  RR
9 hmopm 27509 . . . . 5  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  RR  /\  u  e. 
HrmOp )  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  e.  HrmOp )
108, 9mpan 674 . . . 4  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  u
)  e.  HrmOp )
1110ad2antlr 731 . . 3  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  u
)  e.  HrmOp )
126sqrtge0i 13418 . . . . . . 7  |-  ( 0  <_  ( normop `  T
)  ->  0  <_  ( sqr `  ( normop `  T ) ) )
135, 12ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  <_  ( sqr `  ( normop `  T ) )
14 leopmuli 27621 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  RR  /\  u  e. 
HrmOp )  /\  (
0  <_  ( sqr `  ( normop `  T )
)  /\  0hop  <_op  u
) )  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
1513, 14mpanr1 687 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  RR  /\  u  e. 
HrmOp )  /\  0hop  <_op  u
)  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
168, 15mpanl1 684 . . . 4  |-  ( ( u  e.  HrmOp  /\  0hop  <_op 
u )  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
1716ad2ant2lr 752 . . 3  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
18 hmopf 27362 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  u : ~H
--> ~H )
198recni 9654 . . . . . . . . . 10  |-  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  CC
20 homulcl 27247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  u : ~H --> ~H )  -> 
( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )
2119, 20mpan 674 . . . . . . . . 9  |-  ( u : ~H --> ~H  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )
2218, 21syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  u
) : ~H --> ~H )
23 homco1 27289 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  u : ~H --> ~H  /\  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) ) )
2419, 23mp3an1 1347 . . . . . . . 8  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) ) )
2518, 22, 24syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) ) )
26 hmoplin 27430 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  u  e.  LinOp
)
27 homco2 27465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  u  e. 
LinOp  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( u  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )
)  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )
2819, 27mp3an1 1347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  e.  LinOp  /\  u : ~H --> ~H )  -> 
( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )
2926, 18, 28syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( u  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )
3029oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  (
u  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  (
u  o.  u ) ) ) )
316sqrtthi 13412 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  ( normop `  T
)  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T
) ) )  =  ( normop `  T )
)
325, 31ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) )  =  ( normop `  T
)
3332oveq1i 6315 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) ) 
.op  ( u  o.  u ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) )
34 fco 5756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( u  o.  u
) : ~H --> ~H )
3518, 18, 34syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( u  o.  u ) : ~H --> ~H )
36 homulass 27290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  CC  /\  ( u  o.  u
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  x.  ( sqr `  ( normop `  T )
) )  .op  (
u  o.  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) ) )
3719, 19, 36mp3an12 1350 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  o.  u ) : ~H --> ~H  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) ) 
.op  ( u  o.  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) ) )
3835, 37syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) ) 
.op  ( u  o.  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) ) )
3933, 38syl5reqr 2485 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) ) )
4025, 30, 393eqtrd 2474 . . . . . 6  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) ) )
4140ad2antlr 731 . . . . 5  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( u  o.  u
)  =  R )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) ) )
42 id 23 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  o.  u )  =  R  ->  (
u  o.  u )  =  R )
43 opsqrlem1.4 . . . . . . . . 9  |-  R  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
4442, 43syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  o.  u )  =  R  ->  (
u  o.  u )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .op  T
) )
4544oveq2d 6321 . . . . . . 7  |-  ( ( u  o.  u )  =  R  ->  (
( normop `  T )  .op  ( u  o.  u
) )  =  ( ( normop `  T )  .op  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
) )
46 hmoplin 27430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)
471, 46ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  T  e. 
LinOp
48 nmlnopne0 27487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  LinOp  ->  ( ( normop `  T )  =/=  0  <->  T  =/=  0hop ) )
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  <->  T  =/=  0hop )
506recni 9654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( normop `  T )  e.  CC
5150recidzi 10333 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( ( normop `  T )  x.  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  =  1 )
5249, 51sylbir 216 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( (
normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )  =  1 )
5352oveq1d 6320 . . . . . . . 8  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( 1  .op  T
) )
546rerecclzi 10370 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  RR )
5549, 54sylbir 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  RR )
5655recnd 9668 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  CC )
57 homulass 27290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  (
1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  T ) ) )
5850, 3, 57mp3an13 1351 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  ->  ( (
( normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  T ) ) )
5956, 58syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  T ) ) )
60 homulid2 27288 . . . . . . . . 9  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( 1  .op  T )  =  T )
613, 60mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( 1 
.op  T )  =  T )
6253, 59, 613eqtr3d 2478 . . . . . . 7  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( (
normop `  T )  .op  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
)  =  T )
6345, 62sylan9eqr 2492 . . . . . 6  |-  ( ( T  =/=  0hop  /\  (
u  o.  u )  =  R )  -> 
( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) )  =  T )
6463adantlr 719 . . . . 5  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( u  o.  u
)  =  R )  ->  ( ( normop `  T )  .op  (
u  o.  u ) )  =  T )
6541, 64eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( u  o.  u
)  =  R )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T )
6665adantrl 720 . . 3  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T )
67 breq2 4430 . . . . 5  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( 0hop  <_op  v  <->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )
68 coeq1 5012 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( v  o.  v
)  =  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  v
) )
69 coeq2 5013 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  o.  v )  =  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )
7068, 69eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( v  o.  v
)  =  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )
7170eqeq1d 2431 . . . . 5  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( ( v  o.  v )  =  T  <-> 
( ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T ) )
7267, 71anbi12d 715 . . . 4  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T )  <-> 
( 0hop  <_op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  /\  (
( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T ) ) )
7372rspcev 3188 . . 3  |-  ( ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  e.  HrmOp  /\  ( 0hop  <_op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  /\  (
( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T ) )  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v )  =  T ) )
7411, 17, 66, 73syl12anc 1262 . 2  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T ) )
75 opsqrlem1.5 . 2  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. u  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )
7674, 75r19.29a 2977 1  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   E.wrex 2783   class class class wbr 4426    o. ccom 4858   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   0cc0 9538   1c1 9539    x. cmul 9543    <_ cle 9675    / cdiv 10268   sqrcsqrt 13275   ~Hchil 26407    .op chot 26427   0hopch0o 26431   normopcnop 26433   LinOpclo 26435   HrmOpcho 26438    <_op cleo 26446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cc 8863  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617  ax-mulf 9618  ax-hilex 26487  ax-hfvadd 26488  ax-hvcom 26489  ax-hvass 26490  ax-hv0cl 26491  ax-hvaddid 26492  ax-hfvmul 26493  ax-hvmulid 26494  ax-hvmulass 26495  ax-hvdistr1 26496  ax-hvdistr2 26497  ax-hvmul0 26498  ax-hfi 26567  ax-his1 26570  ax-his2 26571  ax-his3 26572  ax-his4 26573  ax-hcompl 26690
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-iin 4305  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-ixp 7531  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-rlim 13531  df-sum 13731  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-starv 15167  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-unif 15175  df-hom 15176  df-cco 15177  df-rest 15280  df-topn 15281  df-0g 15299  df-gsum 15300  df-topgen 15301  df-pt 15302  df-prds 15305  df-xrs 15359  df-qtop 15364  df-imas 15365  df-xps 15367  df-mre 15443  df-mrc 15444  df-acs 15446  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-submnd 16534  df-mulg 16627  df-cntz 16922  df-cmn 17367  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-fbas 18902  df-fg 18903  df-cnfld 18906  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-topsp 19855  df-cld 19965  df-ntr 19966  df-cls 19967  df-nei 20045  df-cn 20174  df-cnp 20175  df-lm 20176  df-haus 20262  df-tx 20508  df-hmeo 20701  df-fil 20792  df-fm 20884  df-flim 20885  df-flf 20886  df-xms 21266  df-ms 21267  df-tms 21268  df-cfil 22118  df-cau 22119  df-cmet 22120  df-grpo 25764  df-gid 25765  df-ginv 25766  df-gdiv 25767  df-ablo 25855  df-subgo 25875  df-vc 26010  df-nv 26056  df-va 26059  df-ba 26060  df-sm 26061  df-0v 26062  df-vs 26063  df-nmcv 26064  df-ims 26065  df-dip 26182  df-ssp 26206  df-lno 26230  df-nmoo 26231  df-0o 26233  df-ph 26299  df-cbn 26350  df-hnorm 26456  df-hba 26457  df-hvsub 26459  df-hlim 26460  df-hcau 26461  df-sh 26695  df-ch 26709  df-oc 26740  df-ch0 26741  df-shs 26796  df-pjh 26883  df-hosum 27218  df-homul 27219  df-hodif 27220  df-h0op 27236  df-nmop 27327  df-lnop 27329  df-hmop 27332  df-leop 27340
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator