HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem1 Structured version   Unicode version

Theorem opsqrlem1 25716
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 9-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem1.1  |-  T  e. 
HrmOp
opsqrlem1.2  |-  ( normop `  T )  e.  RR
opsqrlem1.3  |-  0hop  <_op  T
opsqrlem1.4  |-  R  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
opsqrlem1.5  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. u  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )
Assertion
Ref Expression
opsqrlem1  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T ) )
Distinct variable group:    v, u, T
Allowed substitution hints:    R( v, u)

Proof of Theorem opsqrlem1
StepHypRef Expression
1 opsqrlem1.5 . 2  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. u  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )
2 opsqrlem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  T  e. 
HrmOp
3 hmopf 25450 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  T : ~H
--> ~H
5 nmopge0 25487 . . . . . . . . 9  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( normop `  T )
7 opsqrlem1.2 . . . . . . . . 9  |-  ( normop `  T )  e.  RR
87sqrcli 12980 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <_  ( normop `  T
)  ->  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  RR )
96, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  RR
10 hmopm 25597 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  RR  /\  u  e. 
HrmOp )  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  e.  HrmOp )
119, 10mpan 670 . . . . . 6  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  u
)  e.  HrmOp )
1211ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  u
)  e.  HrmOp )
137sqrge0i 12985 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <_  ( normop `  T
)  ->  0  <_  ( sqr `  ( normop `  T ) ) )
146, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( sqr `  ( normop `  T ) )
15 leopmuli 25709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  RR  /\  u  e. 
HrmOp )  /\  (
0  <_  ( sqr `  ( normop `  T )
)  /\  0hop  <_op  u
) )  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
1614, 15mpanr1 683 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  RR  /\  u  e. 
HrmOp )  /\  0hop  <_op  u
)  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
179, 16mpanl1 680 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  HrmOp  /\  0hop  <_op 
u )  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
1817ad2ant2lr 747 . . . . 5  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
19 hmopf 25450 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  u : ~H
--> ~H )
209recni 9512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  CC
21 homulcl 25335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  u : ~H --> ~H )  -> 
( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )
2220, 21mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u : ~H --> ~H  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )
2319, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  u
) : ~H --> ~H )
24 homco1 25377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  u : ~H --> ~H  /\  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) ) )
2520, 24mp3an1 1302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) ) )
2619, 23, 25syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) ) )
27 hmoplin 25518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  u  e.  LinOp
)
28 homco2 25553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  u  e. 
LinOp  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( u  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )
)  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )
2920, 28mp3an1 1302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  LinOp  /\  u : ~H --> ~H )  -> 
( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )
3027, 19, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( u  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )
3130oveq2d 6219 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  (
u  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  (
u  o.  u ) ) ) )
327sqrthi 12979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <_  ( normop `  T
)  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T
) ) )  =  ( normop `  T )
)
336, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) )  =  ( normop `  T
)
3433oveq1i 6213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) ) 
.op  ( u  o.  u ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) )
35 fco 5679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( u  o.  u
) : ~H --> ~H )
3619, 19, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( u  o.  u ) : ~H --> ~H )
37 homulass 25378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  CC  /\  ( u  o.  u
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  x.  ( sqr `  ( normop `  T )
) )  .op  (
u  o.  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) ) )
3820, 20, 37mp3an12 1305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  o.  u ) : ~H --> ~H  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) ) 
.op  ( u  o.  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) ) )
3936, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) ) 
.op  ( u  o.  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) ) )
4034, 39syl5reqr 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) ) )
4126, 31, 403eqtrd 2499 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) ) )
4241ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( u  o.  u
)  =  R )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) ) )
43 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  o.  u )  =  R  ->  (
u  o.  u )  =  R )
44 opsqrlem1.4 . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
4543, 44syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  o.  u )  =  R  ->  (
u  o.  u )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .op  T
) )
4645oveq2d 6219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  o.  u )  =  R  ->  (
( normop `  T )  .op  ( u  o.  u
) )  =  ( ( normop `  T )  .op  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
) )
47 hmoplin 25518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)
482, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  e. 
LinOp
49 nmlnopne0 25575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  LinOp  ->  ( ( normop `  T )  =/=  0  <->  T  =/=  0hop ) )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  <->  T  =/=  0hop )
517recni 9512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normop `  T )  e.  CC
5251recidzi 10172 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( ( normop `  T )  x.  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  =  1 )
5350, 52sylbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( (
normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )  =  1 )
5453oveq1d 6218 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( 1  .op  T
) )
557rerecclzi 10209 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  RR )
5650, 55sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  RR )
5756recnd 9526 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  CC )
58 homulass 25378 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  (
1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  T ) ) )
5951, 4, 58mp3an13 1306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  ->  ( (
( normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  T ) ) )
6057, 59syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  T ) ) )
61 homulid2 25376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( 1  .op  T )  =  T )
624, 61mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( 1 
.op  T )  =  T )
6354, 60, 623eqtr3d 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( (
normop `  T )  .op  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
)  =  T )
6446, 63sylan9eqr 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  =/=  0hop  /\  (
u  o.  u )  =  R )  -> 
( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) )  =  T )
6564adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( u  o.  u
)  =  R )  ->  ( ( normop `  T )  .op  (
u  o.  u ) )  =  T )
6642, 65eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( u  o.  u
)  =  R )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T )
6766adantrl 715 . . . . 5  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T )
68 breq2 4407 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( 0hop  <_op  v  <->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )
69 coeq1 5108 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( v  o.  v
)  =  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  v
) )
70 coeq2 5109 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  o.  v )  =  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )
7169, 70eqtrd 2495 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( v  o.  v
)  =  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )
7271eqeq1d 2456 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( ( v  o.  v )  =  T  <-> 
( ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T ) )
7368, 72anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T )  <-> 
( 0hop  <_op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  /\  (
( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T ) ) )
7473rspcev 3179 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  e.  HrmOp  /\  ( 0hop  <_op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  /\  (
( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T ) )  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v )  =  T ) )
7512, 18, 67, 74syl12anc 1217 . . . 4  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T ) )
7675exp31 604 . . 3  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( 0hop  <_op  u  /\  (
u  o.  u )  =  R )  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v )  =  T ) ) ) )
7776rexlimdv 2946 . 2  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( E. u  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u )  =  R )  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T ) ) )
781, 77mpd 15 1  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   E.wrex 2800   class class class wbr 4403    o. ccom 4955   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    x. cmul 9401    <_ cle 9533    / cdiv 10107   sqrcsqr 12843   ~Hchil 24493    .op chot 24513   0hopch0o 24517   normopcnop 24519   LinOpclo 24521   HrmOpcho 24524    <_op cleo 24532
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cc 8718  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475  ax-mulf 9476  ax-hilex 24573  ax-hfvadd 24574  ax-hvcom 24575  ax-hvass 24576  ax-hv0cl 24577  ax-hvaddid 24578  ax-hfvmul 24579  ax-hvmulid 24580  ax-hvmulass 24581  ax-hvdistr1 24582  ax-hvdistr2 24583  ax-hvmul0 24584  ax-hfi 24653  ax-his1 24656  ax-his2 24657  ax-his3 24658  ax-his4 24659  ax-hcompl 24776
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-omul 7038  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-acn 8226  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-rest 14483  df-topn 14484  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-topgen 14504  df-pt 14505  df-prds 14508  df-xrs 14562  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-xps 14570  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-mulg 15670  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-fbas 17942  df-fg 17943  df-cnfld 17947  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-topsp 18642  df-cld 18758  df-ntr 18759  df-cls 18760  df-nei 18837  df-cn 18966  df-cnp 18967  df-lm 18968  df-haus 19054  df-tx 19270  df-hmeo 19463  df-fil 19554  df-fm 19646  df-flim 19647  df-flf 19648  df-xms 20030  df-ms 20031  df-tms 20032  df-cfil 20901  df-cau 20902  df-cmet 20903  df-grpo 23850  df-gid 23851  df-ginv 23852  df-gdiv 23853  df-ablo 23941  df-subgo 23961  df-vc 24096  df-nv 24142  df-va 24145  df-ba 24146  df-sm 24147  df-0v 24148  df-vs 24149  df-nmcv 24150  df-ims 24151  df-dip 24268  df-ssp 24292  df-lno 24316  df-nmoo 24317  df-0o 24319  df-ph 24385  df-cbn 24436  df-hnorm 24542  df-hba 24543  df-hvsub 24545  df-hlim 24546  df-hcau 24547  df-sh 24781  df-ch 24796  df-oc 24827  df-ch0 24828  df-shs 24883  df-pjh 24970  df-hosum 25306  df-homul 25307  df-hodif 25308  df-h0op 25324  df-nmop 25415  df-lnop 25417  df-hmop 25420  df-leop 25428
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator