HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  opsqrlem1 Structured version   Unicode version

Theorem opsqrlem1 26873
Description: Lemma for opsqri . (Contributed by NM, 9-Aug-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
opsqrlem1.1  |-  T  e. 
HrmOp
opsqrlem1.2  |-  ( normop `  T )  e.  RR
opsqrlem1.3  |-  0hop  <_op  T
opsqrlem1.4  |-  R  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
opsqrlem1.5  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. u  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )
Assertion
Ref Expression
opsqrlem1  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T ) )
Distinct variable group:    v, u, T
Allowed substitution hints:    R( v, u)

Proof of Theorem opsqrlem1
StepHypRef Expression
1 opsqrlem1.5 . 2  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. u  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )
2 opsqrlem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  T  e. 
HrmOp
3 hmopf 26607 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T : ~H
--> ~H )
42, 3ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  T : ~H
--> ~H
5 nmopge0 26644 . . . . . . . . 9  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  0  <_  ( normop `  T
) )
64, 5ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( normop `  T )
7 opsqrlem1.2 . . . . . . . . 9  |-  ( normop `  T )  e.  RR
87sqrtcli 13184 . . . . . . . 8  |-  ( 0  <_  ( normop `  T
)  ->  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  RR )
96, 8ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  RR
10 hmopm 26754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  RR  /\  u  e. 
HrmOp )  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  e.  HrmOp )
119, 10mpan 670 . . . . . 6  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  u
)  e.  HrmOp )
1211ad2antlr 726 . . . . 5  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  u
)  e.  HrmOp )
137sqrtge0i 13189 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  <_  ( normop `  T
)  ->  0  <_  ( sqr `  ( normop `  T ) ) )
146, 13ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  0  <_  ( sqr `  ( normop `  T ) )
15 leopmuli 26866 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  RR  /\  u  e. 
HrmOp )  /\  (
0  <_  ( sqr `  ( normop `  T )
)  /\  0hop  <_op  u
) )  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
1614, 15mpanr1 683 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  RR  /\  u  e. 
HrmOp )  /\  0hop  <_op  u
)  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
179, 16mpanl1 680 . . . . . 6  |-  ( ( u  e.  HrmOp  /\  0hop  <_op 
u )  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
1817ad2ant2lr 747 . . . . 5  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )
19 hmopf 26607 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  u : ~H
--> ~H )
209recni 9620 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  CC
21 homulcl 26492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  u : ~H --> ~H )  -> 
( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )
2220, 21mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u : ~H --> ~H  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )
2319, 22syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  u
) : ~H --> ~H )
24 homco1 26534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  u : ~H --> ~H  /\  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) ) )
2520, 24mp3an1 1311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) ) )
2619, 23, 25syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) ) )
27 hmoplin 26675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  u  e.  LinOp
)
28 homco2 26710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  u  e. 
LinOp  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( u  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )
)  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )
2920, 28mp3an1 1311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  e.  LinOp  /\  u : ~H --> ~H )  -> 
( u  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )
3027, 19, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( u  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )
3130oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  (
u  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  (
u  o.  u ) ) ) )
327sqrtthi 13183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  <_  ( normop `  T
)  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T
) ) )  =  ( normop `  T )
)
336, 32ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) )  =  ( normop `  T
)
3433oveq1i 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) ) 
.op  ( u  o.  u ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) )
35 fco 5747 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( u : ~H --> ~H  /\  u : ~H --> ~H )  ->  ( u  o.  u
) : ~H --> ~H )
3619, 19, 35syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( u  o.  u ) : ~H --> ~H )
37 homulass 26535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  e.  CC  /\  ( sqr `  ( normop `  T )
)  e.  CC  /\  ( u  o.  u
) : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  x.  ( sqr `  ( normop `  T )
) )  .op  (
u  o.  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) ) )
3820, 20, 37mp3an12 1314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  o.  u ) : ~H --> ~H  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) ) 
.op  ( u  o.  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) ) )
3936, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  x.  ( sqr `  ( normop `  T ) ) ) 
.op  ( u  o.  u ) )  =  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) ) )
4034, 39syl5reqr 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( sqr `  ( normop `  T
) )  .op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  ( u  o.  u
) ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) ) )
4126, 31, 403eqtrd 2512 . . . . . . . 8  |-  ( u  e.  HrmOp  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) ) )
4241ad2antlr 726 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( u  o.  u
)  =  R )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) ) )
43 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  o.  u )  =  R  ->  (
u  o.  u )  =  R )
44 opsqrlem1.4 . . . . . . . . . . 11  |-  R  =  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
4543, 44syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  o.  u )  =  R  ->  (
u  o.  u )  =  ( ( 1  /  ( normop `  T
) )  .op  T
) )
4645oveq2d 6311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  o.  u )  =  R  ->  (
( normop `  T )  .op  ( u  o.  u
) )  =  ( ( normop `  T )  .op  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
) )
47 hmoplin 26675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( T  e.  HrmOp  ->  T  e.  LinOp
)
482, 47ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  T  e. 
LinOp
49 nmlnopne0 26732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  LinOp  ->  ( ( normop `  T )  =/=  0  <->  T  =/=  0hop ) )
5048, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  <->  T  =/=  0hop )
517recni 9620 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( normop `  T )  e.  CC
5251recidzi 10283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( ( normop `  T )  x.  (
1  /  ( normop `  T ) ) )  =  1 )
5350, 52sylbir 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( (
normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) )  =  1 )
5453oveq1d 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( 1  .op  T
) )
557rerecclzi 10320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
normop `  T )  =/=  0  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  RR )
5650, 55sylbir 213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  RR )
5756recnd 9634 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  CC )
58 homulass 26535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( normop `  T )  e.  CC  /\  ( 1  /  ( normop `  T
) )  e.  CC  /\  T : ~H --> ~H )  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  (
1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  T ) ) )
5951, 4, 58mp3an13 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  ( normop `  T ) )  e.  CC  ->  ( (
( normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  T ) ) )
6057, 59syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( ( ( normop `  T )  x.  ( 1  /  ( normop `  T ) ) ) 
.op  T )  =  ( ( normop `  T
)  .op  ( (
1  /  ( normop `  T ) )  .op  T ) ) )
61 homulid2 26533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T : ~H --> ~H  ->  ( 1  .op  T )  =  T )
624, 61mp1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( 1 
.op  T )  =  T )
6354, 60, 623eqtr3d 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( (
normop `  T )  .op  ( ( 1  / 
( normop `  T )
)  .op  T )
)  =  T )
6446, 63sylan9eqr 2530 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  =/=  0hop  /\  (
u  o.  u )  =  R )  -> 
( ( normop `  T
)  .op  ( u  o.  u ) )  =  T )
6564adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( u  o.  u
)  =  R )  ->  ( ( normop `  T )  .op  (
u  o.  u ) )  =  T )
6642, 65eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( u  o.  u
)  =  R )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T )
6766adantrl 715 . . . . 5  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  ( (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T )
68 breq2 4457 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( 0hop  <_op  v  <->  0hop  <_op  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )
69 coeq1 5166 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( v  o.  v
)  =  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  v
) )
70 coeq2 5167 . . . . . . . . 9  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  o.  v )  =  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )
7169, 70eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( v  o.  v
)  =  ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) ) )
7271eqeq1d 2469 . . . . . . 7  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( ( v  o.  v )  =  T  <-> 
( ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  o.  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T ) )
7368, 72anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( v  =  ( ( sqr `  ( normop `  T )
)  .op  u )  ->  ( ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T )  <-> 
( 0hop  <_op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  /\  (
( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T ) ) )
7473rspcev 3219 . . . . 5  |-  ( ( ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  e.  HrmOp  /\  ( 0hop  <_op  ( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  /\  (
( ( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u )  o.  (
( sqr `  ( normop `  T ) )  .op  u ) )  =  T ) )  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v )  =  T ) )
7512, 18, 67, 74syl12anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ( T  =/=  0hop  /\  u  e.  HrmOp )  /\  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u
)  =  R ) )  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T ) )
7675exp31 604 . . 3  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( u  e.  HrmOp  ->  ( ( 0hop  <_op  u  /\  (
u  o.  u )  =  R )  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v )  =  T ) ) ) )
7776rexlimdv 2957 . 2  |-  ( T  =/=  0hop  ->  ( E. u  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  u  /\  ( u  o.  u )  =  R )  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T ) ) )
781, 77mpd 15 1  |-  ( T  =/=  0hop  ->  E. v  e.  HrmOp  ( 0hop  <_op  v  /\  ( v  o.  v
)  =  T ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2818   class class class wbr 4453    o. ccom 5009   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    x. cmul 9509    <_ cle 9641    / cdiv 10218   sqrcsqrt 13046   ~Hchil 25650    .op chot 25670   0hopch0o 25674   normopcnop 25676   LinOpclo 25678   HrmOpcho 25681    <_op cleo 25689
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584  ax-hilex 25730  ax-hfvadd 25731  ax-hvcom 25732  ax-hvass 25733  ax-hv0cl 25734  ax-hvaddid 25735  ax-hfvmul 25736  ax-hvmulid 25737  ax-hvmulass 25738  ax-hvdistr1 25739  ax-hvdistr2 25740  ax-hvmul0 25741  ax-hfi 25810  ax-his1 25813  ax-his2 25814  ax-his3 25815  ax-his4 25816  ax-hcompl 25933
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-lm 19598  df-haus 19684  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cfil 21562  df-cau 21563  df-cmet 21564  df-grpo 25007  df-gid 25008  df-ginv 25009  df-gdiv 25010  df-ablo 25098  df-subgo 25118  df-vc 25253  df-nv 25299  df-va 25302  df-ba 25303  df-sm 25304  df-0v 25305  df-vs 25306  df-nmcv 25307  df-ims 25308  df-dip 25425  df-ssp 25449  df-lno 25473  df-nmoo 25474  df-0o 25476  df-ph 25542  df-cbn 25593  df-hnorm 25699  df-hba 25700  df-hvsub 25702  df-hlim 25703  df-hcau 25704  df-sh 25938  df-ch 25953  df-oc 25984  df-ch0 25985  df-shs 26040  df-pjh 26127  df-hosum 26463  df-homul 26464  df-hodif 26465  df-h0op 26481  df-nmop 26572  df-lnop 26574  df-hmop 26577  df-leop 26585
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator