Theorem oprvres 4963

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
oprvres	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (A(F |` (C X. D))B) = (AFB))

Proof of Theorem oprvres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 4040	. . 3 |- ((A e. C /\ B e. D) -> <.A, B>. e. (C X. D))
2		fvres 4691	. . 3 |- (<.A, B>. e. (C X. D) -> ((F |` (C X. D))` <.A, B>.) = (F` <.A, B>.))
3	1, 2	syl 12	. 2 |- ((A e. C /\ B e. D) -> ((F |` (C X. D))` <.A, B>.) = (F` <.A, B>.))
4		df-opr 4886	. 2 |- (A(F |` (C X. D))B) = ((F |` (C X. D))` <.A, B>.)
5		df-opr 4886	. 2 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
6	3, 4, 5	3eqtr4g 1953	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (A(F |` (C X. D))B) = (AFB))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  <.cop 3046   X. cxp 3984   |` cres 3988  ` cfv 3998  (class class class)co 4884

This theorem is referenced by:  oprssoprv 4964  mulnzcnopr 6891  metreslem 9099  metcnss 9176  metcnss2 9177  cncfmet 9183  lmss 9231  caussi 9232  causs 9233  subgopr 9427  issubgi 9431  ablmul 9439  mulid 9440  ghgrpilem1 9441  sspgval 9727  sspsval 9729  sspmlem 9730  shftefif1olem 10095  hhssabli 10765  hhssnv 10767  hhssmetdval 10782  nZdef 14527  blssp 15844  metdcn 15853  oprpiece1res1 15880  oprpiece1res2 15881  cnoprab1 15921  cnoprab2 15922  ismtyres 15954  exidreslem 16030  phtpycolem3 16053  phtpycolem4 16054  pcoloopf 16079  pi1f 16093  pi1val 16094  divrngcl 16110  isdivrng2 16111

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-opr 4886

Copyright terms: Public domain