Theorem oprvexOLDOLD 4974

Description: Existence of a class of operation values.

Hypotheses

Ref	Expression
oprvalex.1OLDOLD	|- A e. _V
oprvalex.2OLDOLD	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
oprvexOLDOLD	|- {z | E.x e. A E.y e. B z = (xFy)} e. _V

Distinct variable groups:   x,y,z,F   x,A,y,z   x,B,y,z

Proof of Theorem oprvexOLDOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 4681	. . . . . 6 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (F` <.x, y>.))
2		df-opr 4886	. . . . . 6 |- (xFy) = (F` <.x, y>.)
3	1, 2	syl6eqr 1946	. . . . 5 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (xFy))
4	3	eqeq2d 1895	. . . 4 |- (w = <.x, y>. -> (z = (F` w) <-> z = (xFy)))
5	4	rexxp 4042	. . 3 |- (E.w e. (A X. B)z = (F` w) <-> E.x e. A E.y e. B z = (xFy))
6	5	abbii 2006	. 2 |- {z | E.w e. (A X. B)z = (F` w)} = {z | E.x e. A E.y e. B z = (xFy)}
7		oprvalex.1OLDOLD	. . . 4 |- A e. _V
8		oprvalex.2OLDOLD	. . . 4 |- B e. _V
9	7, 8	xpex 4096	. . 3 |- (A X. B) e. _V
10	9	abrexex 4836	. 2 |- {z | E.w e. (A X. B)z = (F` w)} e. _V
11	6, 10	eqeltrri 1968	1 |- {z | E.x e. A E.y e. B z = (xFy)} e. _V

Syntax hints:   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  E.wrex 2106  _Vcvv 2292  <.cop 3046   X. cxp 3984  ` cfv 3998  (class class class)co 4884

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886

Copyright terms: Public domain