Theorem oprvalex 4099

Description: Existence of a class of operation values.

Hypotheses

Ref	Expression
oprvalex.1	|- A e. V
oprvalex.2	|- B e. V

Assertion

Ref	Expression
oprvalex	|- {z | E.x e. A E.y e. B z = (xFy)} e. V

Distinct variable groups:   x,y,z,F   x,A,y,z   x,B,y,z

Proof of Theorem oprvalex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3781	. . . . . 6 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (F` <.x, y>.))
2		df-opr 4023	. . . . . 6 |- (xFy) = (F` <.x, y>.)
3	1, 2	syl6eqr 1572	. . . . 5 |- (w = <.x, y>. -> (F` w) = (xFy))
4	3	eqeq2d 1533	. . . 4 |- (w = <.x, y>. -> (z = (F` w) <-> z = (xFy)))
5	4	rexxp 3276	. . 3 |- (E.w e. (A X. B)z = (F` w) <-> E.x e. A E.y e. B z = (xFy))
6	5	abbii 1622	. 2 |- {z | E.w e. (A X. B)z = (F` w)} = {z | E.x e. A E.y e. B z = (xFy)}
7		oprvalex.1	. . . 4 |- A e. V
8		oprvalex.2	. . . 4 |- B e. V
9	7, 8	xpex 3317	. . 3 |- (A X. B) e. V
10	9	abrexex 3917	. 2 |- {z | E.w e. (A X. B)z = (F` w)} e. V
11	6, 10	eqeltrri 1592	1 |- {z | E.x e. A E.y e. B z = (xFy)} e. V

Syntax hints:   = wceq 997   e. wcel 999  {cab 1509  E.wrex 1693  Vcvv 1858  <.cop 2463   X. cxp 3225  ` cfv 3239  (class class class)co 4021

This theorem is referenced by:  genpv 5167  genpdm 5170

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-9 1006  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-rep 2748  ax-sep 2758  ax-nul 2765  ax-pow 2798  ax-pr 2835  ax-un 2922

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-rab 1699  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-id 2891  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-co 3244  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fun 3249  df-fv 3255  df-opr 4023

Copyright terms: Public domain