Theorem oprssdm 4975

Description: Domain of closure of an operation.

Hypotheses

Ref	Expression
oprssdm.1	|- -. (/) e. S
oprssdm.2	|- ((x e. S /\ y e. S) -> (xFy) e. S)

Assertion

Ref	Expression
oprssdm	|- (S X. S) C_ dom F

Distinct variable groups:   x,y,S   x,F,y

Proof of Theorem oprssdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relxp 4088	. 2 |- Rel (S X. S)
2		visset 2295	. . . 4 |- y e. _V
3	2	opelxp 4036	. . 3 |- (<.x, y>. e. (S X. S) <-> (x e. S /\ y e. S))
4		ndmfv 4702	. . . . 5 |- (-. <.x, y>. e. dom F -> (F` <.x, y>.) = (/))
5		df-opr 4886	. . . . . . 7 |- (xFy) = (F` <.x, y>.)
6	5	eqeq1i 1891	. . . . . 6 |- ((xFy) = (/) <-> (F` <.x, y>.) = (/))
7		oprssdm.1	. . . . . . . 8 |- -. (/) e. S
8		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- ((xFy) = (/) -> ((xFy) e. S <-> (/) e. S))
9	7, 8	mtbiri 785	. . . . . . 7 |- ((xFy) = (/) -> -. (xFy) e. S)
10		oprssdm.2	. . . . . . 7 |- ((x e. S /\ y e. S) -> (xFy) e. S)
11	9, 10	nsyl 131	. . . . . 6 |- ((xFy) = (/) -> -. (x e. S /\ y e. S))
12	6, 11	sylbir 218	. . . . 5 |- ((F` <.x, y>.) = (/) -> -. (x e. S /\ y e. S))
13	4, 12	syl 12	. . . 4 |- (-. <.x, y>. e. dom F -> -. (x e. S /\ y e. S))
14	13	con4i 90	. . 3 |- ((x e. S /\ y e. S) -> <.x, y>. e. dom F)
15	3, 14	sylbi 216	. 2 |- (<.x, y>. e. (S X. S) -> <.x, y>. e. dom F)
16	1, 15	relssi 4078	1 |- (S X. S) C_ dom F

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   C_ wss 2593  (/)c0 2875  <.cop 3046   X. cxp 3984  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884

This theorem is referenced by:  dmaddpq 6211  dmmulpq 6213  dmaddsr 6346  dmmulsr 6347  axaddopr 6417  axmulopr 6418

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fv 4014  df-opr 4886

Copyright terms: Public domain