MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprssdm Structured version   Unicode version

Theorem oprssdm 6451
Description: Domain of closure of an operation. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)
Hypotheses
Ref Expression
oprssdm.1  |-  -.  (/)  e.  S
oprssdm.2  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( x F y )  e.  S )
Assertion
Ref Expression
oprssdm  |-  ( S  X.  S )  C_  dom  F
Distinct variable groups:    x, y, S    x, F, y

Proof of Theorem oprssdm
StepHypRef Expression
1 relxp 5116 . 2  |-  Rel  ( S  X.  S )
2 opelxp 5035 . . 3  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( S  X.  S
)  <->  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )
3 df-ov 6298 . . . . 5  |-  ( x F y )  =  ( F `  <. x ,  y >. )
4 oprssdm.2 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( x F y )  e.  S )
53, 4syl5eqelr 2560 . . . 4  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  e.  S )
6 oprssdm.1 . . . . . 6  |-  -.  (/)  e.  S
7 ndmfv 5896 . . . . . . 7  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  dom  F  ->  ( F `  <. x ,  y >. )  =  (/) )
87eleq1d 2536 . . . . . 6  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  dom  F  ->  (
( F `  <. x ,  y >. )  e.  S  <->  (/)  e.  S ) )
96, 8mtbiri 303 . . . . 5  |-  ( -. 
<. x ,  y >.  e.  dom  F  ->  -.  ( F `  <. x ,  y >. )  e.  S )
109con4i 130 . . . 4  |-  ( ( F `  <. x ,  y >. )  e.  S  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F )
115, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( x  e.  S  /\  y  e.  S )  -> 
<. x ,  y >.  e.  dom  F )
122, 11sylbi 195 . 2  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( S  X.  S
)  ->  <. x ,  y >.  e.  dom  F )
131, 12relssi 5100 1  |-  ( S  X.  S )  C_  dom  F
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1767    C_ wss 3481   (/)c0 3790   <.cop 4039    X. cxp 5003   dom cdm 5005   ` cfv 5594  (class class class)co 6295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-xp 5011  df-rel 5012  df-dm 5015  df-iota 5557  df-fv 5602  df-ov 6298
This theorem is referenced by:  dmaddsr  9474  dmmulsr  9475  axaddf  9534  axmulf  9535
  Copyright terms: Public domain W3C validator