Theorem oprprc1 4042

Description: The value of an operation when the first argument is a proper class. Note: this theorem is dependent on our particular definitions of operation value, function value, and ordered pair.

Hypothesis

Ref	Expression
oprprc1.1	|- Rel dom F

Assertion

Ref	Expression
oprprc1	|- (-. A e. V -> (AFB) = (/))

Proof of Theorem oprprc1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-br 2675	. . . . 5 |- (Adom F B <-> <.A, B>. e. dom F)
2		oprprc1.1	. . . . . 6 |- Rel dom F
3	2	brrelexi 3265	. . . . 5 |- (Adom F B -> A e. V)
4	1, 3	sylbir 208	. . . 4 |- (<.A, B>. e. dom F -> A e. V)
5	4	con3i 104	. . 3 |- (-. A e. V -> -. <.A, B>. e. dom F)
6		ndmfv 3802	. . 3 |- (-. <.A, B>. e. dom F -> (F` <.A, B>.) = (/))
7	5, 6	syl 10	. 2 |- (-. A e. V -> (F` <.A, B>.) = (/))
8		df-opr 4023	. 2 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
9	7, 8	syl5eq 1566	1 |- (-. A e. V -> (AFB) = (/))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   = wceq 997   e. wcel 999  Vcvv 1858  (/)c0 2331  <.cop 2463   class class class wbr 2674  dom cdm 3227  Rel wrel 3232  ` cfv 3239  (class class class)co 4021

This theorem is referenced by:  ndmoprcl 4102  mapsspw 4402  ndmioo 6395  elfzlem 6499  hmeogrp 10632

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1003  ax-gen 1004  ax-8 1005  ax-10 1007  ax-11 1008  ax-12 1009  ax-13 1010  ax-14 1011  ax-17 1012  ax-4 1014  ax-5o 1016  ax-6o 1019  ax-9o 1164  ax-10o 1182  ax-16 1252  ax-11o 1260  ax-ext 1504  ax-sep 2758  ax-pow 2798  ax-pr 2835

This theorem depends on definitions:  df-bi 154  df-or 231  df-an 232  df-ex 1022  df-sb 1214  df-eu 1424  df-mo 1425  df-clab 1510  df-cleq 1515  df-clel 1518  df-ne 1634  df-ral 1696  df-rex 1697  df-v 1859  df-dif 2100  df-un 2101  df-in 2102  df-ss 2104  df-nul 2332  df-pw 2454  df-sn 2464  df-pr 2465  df-op 2468  df-uni 2558  df-br 2675  df-opab 2722  df-xp 3241  df-rel 3242  df-cnv 3243  df-dm 3245  df-rn 3246  df-res 3247  df-ima 3248  df-fv 3255  df-opr 4023

Copyright terms: Public domain