Theorem oprpiece1res2 15881

Description: Restriction to the second part of a piecewise defined function.

Hypotheses

Ref	Expression
oprpiece1.1	|- A e. RR
oprpiece1.2	|- B e. RR
oprpiece1.3	|- A <_ B
oprpiece1.4	|- R e. _V
oprpiece1.5	|- S e. _V
oprpiece1.6	|- K e. (A[,]B)
oprpiece1.7	|- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (A[,]B) /\ y e. C) /\ z = if(x <_ K, R, S))}
oprpiece1.9	|- (x = K -> R = P)
oprpiece1.10	|- (x = K -> S = Q)
oprpiece1.11	|- (y e. C -> P = Q)
oprpiece1.12	|- G = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (K[,]B) /\ y e. C) /\ z = S)}

Assertion

Ref	Expression
oprpiece1res2	|- (F |` ((K[,]B) X. C)) = G

Distinct variable groups:   x,A,y,z   x,B,y,z   x,C,y,z   x,K,y,z   z,R   z,S   x,P   x,Q

Proof of Theorem oprpiece1res2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprvres 4963	. . . 4 |- ((u e. (K[,]B) /\ v e. C) -> (u(F |` ((K[,]B) X. C))v) = (uFv))
2		iffalse 2991	. . . . . . . . . 10 |- (-. u <_ K -> if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S) = [_v / y]_[_u / x]_S)
3	2	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- (((v e. C /\ u e. RR) /\ -. u <_ K) -> if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S) = [_v / y]_[_u / x]_S)
4		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (K = u -> (u <_ K <-> u <_ u))
5		leid 6701	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u e. RR -> u <_ u)
6	4, 5	syl5cbir 228	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u e. RR -> (K = u -> u <_ K))
7	6	imp 377	. . . . . . . . . . . 12 |- ((u e. RR /\ K = u) -> u <_ K)
8		iftrue 2989	. . . . . . . . . . . 12 |- (u <_ K -> if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S) = [_v / y]_[_u / x]_R)
9	7, 8	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- ((u e. RR /\ K = u) -> if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S) = [_v / y]_[_u / x]_R)
10	9	adantll 428	. . . . . . . . . 10 |- (((v e. C /\ u e. RR) /\ K = u) -> if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S) = [_v / y]_[_u / x]_R)
11		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (v e. C -> A.y v e. C)
12		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- v e. _V
13		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (w e. v -> A.y w e. v)
14	12, 13	hbcsb1 2568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. [_v / y]_P -> A.y w e. [_v / y]_P)
15	12, 13	hbcsb1 2568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w e. [_v / y]_Q -> A.y w e. [_v / y]_Q)
16	14, 15	hbeq 1995	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ([_v / y]_P = [_v / y]_Q -> A.y[_v / y]_P = [_v / y]_Q)
17	11, 16	hbim 1354	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((v e. C -> [_v / y]_P = [_v / y]_Q) -> A.y(v e. C -> [_v / y]_P = [_v / y]_Q))
18		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = v -> (y e. C <-> v e. C))
19		csbeq1a 2546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = v -> P = [_v / y]_P)
20		csbeq1a 2546	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (y = v -> Q = [_v / y]_Q)
21	19, 20	eqeq12d 1899	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y = v -> (P = Q <-> [_v / y]_P = [_v / y]_Q))
22	18, 21	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = v -> ((y e. C -> P = Q) <-> (v e. C -> [_v / y]_P = [_v / y]_Q)))
23		oprpiece1.11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y e. C -> P = Q)
24	17, 22, 23	chvar 1530	. . . . . . . . . . . . 13 |- (v e. C -> [_v / y]_P = [_v / y]_Q)
25	24	adantr 425	. . . . . . . . . . . 12 |- ((v e. C /\ K = u) -> [_v / y]_P = [_v / y]_Q)
26		csbeq1 2542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (u = K -> [_u / x]_R = [_K / x]_R)
27		oprpiece1.6	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- K e. (A[,]B)
28	27	elisseti 2301	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- K e. _V
29		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (w e. P -> A.x w e. P)
30		oprpiece1.9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = K -> R = P)
31	28, 29, 30	csbief 2576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [_K / x]_R = P
32	26, 31	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u = K -> [_u / x]_R = P)
33	32	csbeq2dv 2562	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((u = K /\ v e. _V) -> [_v / y]_[_u / x]_R = [_v / y]_P)
34	12, 33	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u = K -> [_v / y]_[_u / x]_R = [_v / y]_P)
35	34	eqcoms 1887	. . . . . . . . . . . . 13 |- (K = u -> [_v / y]_[_u / x]_R = [_v / y]_P)
36	35	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((v e. C /\ K = u) -> [_v / y]_[_u / x]_R = [_v / y]_P)
37		csbeq1 2542	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (u = K -> [_u / x]_S = [_K / x]_S)
38		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (w e. Q -> A.x w e. Q)
39		oprpiece1.10	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (x = K -> S = Q)
40	28, 38, 39	csbief 2576	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- [_K / x]_S = Q
41	37, 40	syl6eq 1944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (u = K -> [_u / x]_S = Q)
42	41	csbeq2dv 2562	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((u = K /\ v e. _V) -> [_v / y]_[_u / x]_S = [_v / y]_Q)
43	12, 42	mpan2 760	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (u = K -> [_v / y]_[_u / x]_S = [_v / y]_Q)
44	43	eqcoms 1887	. . . . . . . . . . . . 13 |- (K = u -> [_v / y]_[_u / x]_S = [_v / y]_Q)
45	44	adantl 424	. . . . . . . . . . . 12 |- ((v e. C /\ K = u) -> [_v / y]_[_u / x]_S = [_v / y]_Q)
46	25, 36, 45	3eqtr4d 1937	. . . . . . . . . . 11 |- ((v e. C /\ K = u) -> [_v / y]_[_u / x]_R = [_v / y]_[_u / x]_S)
47	46	adantlr 429	. . . . . . . . . 10 |- (((v e. C /\ u e. RR) /\ K = u) -> [_v / y]_[_u / x]_R = [_v / y]_[_u / x]_S)
48	10, 47	eqtrd 1925	. . . . . . . . 9 |- (((v e. C /\ u e. RR) /\ K = u) -> if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S) = [_v / y]_[_u / x]_S)
49	3, 48	jaodan 471	. . . . . . . 8 |- (((v e. C /\ u e. RR) /\ (-. u <_ K \/ K = u)) -> if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S) = [_v / y]_[_u / x]_S)
50	49	anasss 488	. . . . . . 7 |- ((v e. C /\ (u e. RR /\ (-. u <_ K \/ K = u))) -> if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S) = [_v / y]_[_u / x]_S)
51	50	ancoms 484	. . . . . 6 |- (((u e. RR /\ (-. u <_ K \/ K = u)) /\ v e. C) -> if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S) = [_v / y]_[_u / x]_S)
52		oprpiece1.1	. . . . . . . . . . 11 |- A e. RR
53		oprpiece1.2	. . . . . . . . . . 11 |- B e. RR
54		elicc2 7560	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (K e. (A[,]B) <-> (K e. RR /\ A <_ K /\ K <_ B)))
55	52, 53, 54	mp2an 761	. . . . . . . . . 10 |- (K e. (A[,]B) <-> (K e. RR /\ A <_ K /\ K <_ B))
56	55	simp1bi 891	. . . . . . . . 9 |- (K e. (A[,]B) -> K e. RR)
57	27, 56	ax-mp 7	. . . . . . . 8 |- K e. RR
58		elicc2 7560	. . . . . . . 8 |- ((K e. RR /\ B e. RR) -> (u e. (K[,]B) <-> (u e. RR /\ K <_ u /\ u <_ B)))
59	57, 53, 58	mp2an 761	. . . . . . 7 |- (u e. (K[,]B) <-> (u e. RR /\ K <_ u /\ u <_ B))
60		leloe 6688	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. RR /\ u e. RR) -> (K <_ u <-> (K < u \/ K = u)))
61		ltnle 6680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((K e. RR /\ u e. RR) -> (K < u <-> -. u <_ K))
62	61	orbi1d 677	. . . . . . . . . . . 12 |- ((K e. RR /\ u e. RR) -> ((K < u \/ K = u) <-> (-. u <_ K \/ K = u)))
63	60, 62	bitrd 587	. . . . . . . . . . 11 |- ((K e. RR /\ u e. RR) -> (K <_ u <-> (-. u <_ K \/ K = u)))
64	57, 63	mpan 759	. . . . . . . . . 10 |- (u e. RR -> (K <_ u <-> (-. u <_ K \/ K = u)))
65	64	biimpd 170	. . . . . . . . 9 |- (u e. RR -> (K <_ u -> (-. u <_ K \/ K = u)))
66	65	imdistani 491	. . . . . . . 8 |- ((u e. RR /\ K <_ u) -> (u e. RR /\ (-. u <_ K \/ K = u)))
67	66	3adant3 896	. . . . . . 7 |- ((u e. RR /\ K <_ u /\ u <_ B) -> (u e. RR /\ (-. u <_ K \/ K = u)))
68	59, 67	sylbi 216	. . . . . 6 |- (u e. (K[,]B) -> (u e. RR /\ (-. u <_ K \/ K = u)))
69	51, 68	sylan 497	. . . . 5 |- ((u e. (K[,]B) /\ v e. C) -> if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S) = [_v / y]_[_u / x]_S)
70		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- u e. _V
71		oprpiece1.4	. . . . . . . . . 10 |- R e. _V
72	70, 71	csbex 2549	. . . . . . . . 9 |- [_u / x]_R e. _V
73	12, 72	csbex 2549	. . . . . . . 8 |- [_v / y]_[_u / x]_R e. _V
74		oprpiece1.5	. . . . . . . . . 10 |- S e. _V
75	70, 74	csbex 2549	. . . . . . . . 9 |- [_u / x]_S e. _V
76	12, 75	csbex 2549	. . . . . . . 8 |- [_v / y]_[_u / x]_S e. _V
77	73, 76	ifex 3031	. . . . . . 7 |- if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S) e. _V
78		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (u <_ K -> A.x u <_ K)
79		ax-17 1317	. . . . . . . . . 10 |- (w e. u -> A.x w e. u)
80	70, 79	hbcsb1 2568	. . . . . . . . 9 |- (w e. [_u / x]_R -> A.x w e. [_u / x]_R)
81	70, 79	hbcsb1 2568	. . . . . . . . 9 |- (w e. [_u / x]_S -> A.x w e. [_u / x]_S)
82	78, 80, 81	hbif 2999	. . . . . . . 8 |- (w e. if(u <_ K, [_u / x]_R, [_u / x]_S) -> A.x w e. if(u <_ K, [_u / x]_R, [_u / x]_S))
83		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (u <_ K -> A.y u <_ K)
84	12, 13	hbcsb1 2568	. . . . . . . . 9 |- (w e. [_v / y]_[_u / x]_R -> A.y w e. [_v / y]_[_u / x]_R)
85	12, 13	hbcsb1 2568	. . . . . . . . 9 |- (w e. [_v / y]_[_u / x]_S -> A.y w e. [_v / y]_[_u / x]_S)
86	83, 84, 85	hbif 2999	. . . . . . . 8 |- (w e. if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S) -> A.y w e. if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S))
87		breq1 3341	. . . . . . . . 9 |- (x = u -> (x <_ K <-> u <_ K))
88		csbeq1a 2546	. . . . . . . . 9 |- (x = u -> R = [_u / x]_R)
89		csbeq1a 2546	. . . . . . . . 9 |- (x = u -> S = [_u / x]_S)
90	87, 88, 89	ifbieq12d 2998	. . . . . . . 8 |- (x = u -> if(x <_ K, R, S) = if(u <_ K, [_u / x]_R, [_u / x]_S))
91		biidd 188	. . . . . . . . 9 |- (y = v -> (u <_ K <-> u <_ K))
92		csbeq1a 2546	. . . . . . . . 9 |- (y = v -> [_u / x]_R = [_v / y]_[_u / x]_R)
93		csbeq1a 2546	. . . . . . . . 9 |- (y = v -> [_u / x]_S = [_v / y]_[_u / x]_S)
94	91, 92, 93	ifbieq12d 2998	. . . . . . . 8 |- (y = v -> if(u <_ K, [_u / x]_R, [_u / x]_S) = if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S))
95		oprpiece1.7	. . . . . . . 8 |- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (A[,]B) /\ y e. C) /\ z = if(x <_ K, R, S))}
96	82, 86, 90, 94, 95	oprabval2gf 4955	. . . . . . 7 |- ((u e. (A[,]B) /\ v e. C /\ if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S) e. _V) -> (uFv) = if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S))
97	77, 96	mp3an3 1180	. . . . . 6 |- ((u e. (A[,]B) /\ v e. C) -> (uFv) = if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S))
98		oprpiece1.3	. . . . . . . . 9 |- A <_ B
99		ubicc2 7574	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ B e. RR /\ A <_ B) -> B e. (A[,]B))
100	52, 53, 98, 99	mp3an 1191	. . . . . . . 8 |- B e. (A[,]B)
101		iccss2 15856	. . . . . . . . 9 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((K e. (A[,]B) /\ B e. (A[,]B)) -> (K[,]B) C_ (A[,]B)))
102	52, 53, 101	mp2an 761	. . . . . . . 8 |- ((K e. (A[,]B) /\ B e. (A[,]B)) -> (K[,]B) C_ (A[,]B))
103	27, 100, 102	mp2an 761	. . . . . . 7 |- (K[,]B) C_ (A[,]B)
104	103	sseli 2617	. . . . . 6 |- (u e. (K[,]B) -> u e. (A[,]B))
105	97, 104	sylan 497	. . . . 5 |- ((u e. (K[,]B) /\ v e. C) -> (uFv) = if(u <_ K, [_v / y]_[_u / x]_R, [_v / y]_[_u / x]_S))
106		oprpiece1.12	. . . . . . 7 |- G = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (K[,]B) /\ y e. C) /\ z = S)}
107	81, 85, 89, 93, 106	oprabval2gf 4955	. . . . . 6 |- ((u e. (K[,]B) /\ v e. C /\ [_v / y]_[_u / x]_S e. _V) -> (uGv) = [_v / y]_[_u / x]_S)
108	76, 107	mp3an3 1180	. . . . 5 |- ((u e. (K[,]B) /\ v e. C) -> (uGv) = [_v / y]_[_u / x]_S)
109	69, 105, 108	3eqtr4d 1937	. . . 4 |- ((u e. (K[,]B) /\ v e. C) -> (uFv) = (uGv))
110	1, 109	eqtrd 1925	. . 3 |- ((u e. (K[,]B) /\ v e. C) -> (u(F |` ((K[,]B) X. C))v) = (uGv))
111	110	rgen2 2186	. 2 |- A.u e. (K[,]B)A.v e. C (u(F |` ((K[,]B) X. C))v) = (uGv)
112	71, 74	ifex 3031	. . . . 5 |- if(x <_ K, R, S) e. _V
113	112, 95	fnoprab2 5064	. . . 4 |- F Fn ((A[,]B) X. C)
114		ssid 2634	. . . . 5 |- C C_ C
115		xpss12 4089	. . . . 5 |- (((K[,]B) C_ (A[,]B) /\ C C_ C) -> ((K[,]B) X. C) C_ ((A[,]B) X. C))
116	103, 114, 115	mp2an 761	. . . 4 |- ((K[,]B) X. C) C_ ((A[,]B) X. C)
117		fnssres 4526	. . . 4 |- ((F Fn ((A[,]B) X. C) /\ ((K[,]B) X. C) C_ ((A[,]B) X. C)) -> (F |` ((K[,]B) X. C)) Fn ((K[,]B) X. C))
118	113, 116, 117	mp2an 761	. . 3 |- (F |` ((K[,]B) X. C)) Fn ((K[,]B) X. C)
119	74, 106	fnoprab2 5064	. . 3 |- G Fn ((K[,]B) X. C)
120		eqfnoprv2 15704	. . 3 |- (((F |` ((K[,]B) X. C)) Fn ((K[,]B) X. C) /\ G Fn ((K[,]B) X. C)) -> ((F |` ((K[,]B) X. C)) = G <-> A.u e. (K[,]B)A.v e. C (u(F |` ((K[,]B) X. C))v) = (uGv)))
121	118, 119, 120	mp2an 761	. 2 |- ((F |` ((K[,]B) X. C)) = G <-> A.u e. (K[,]B)A.v e. C (u(F |` ((K[,]B) X. C))v) = (uGv))
122	111, 121	mpbir 207	1 |- (F |` ((K[,]B) X. C)) = G

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  _Vcvv 2292  [_csb 2540   C_ wss 2593  ifcif 2982   class class class wbr 3338   X. cxp 3984   |` cres 3988   Fn wfn 3993  (class class class)co 4884  {copab2 4885  RRcr 6385   <_ cle 6448   < clt 6653  [,]cicc 7527

This theorem is referenced by:  pcorevlem 16086

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-icc 7531

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