Theorem oprabvaligg 10154

Description: The value of an operation class abstraction. See oprabvalig 4953. The condition (x e. R /\ y e. S) has been removed. (Contributed by FL, 24-Mar-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabvaligg.1	|- (x = A -> (ph <-> ps))
oprabvaligg.2	|- (y = B -> (ps <-> ch))
oprabvaligg.3	|- (z = C -> (ch <-> th))
oprabvaligg.4	|- E*zph
oprabvaligg.5	|- F = {<.<.x, y>., z>. | ph}

Assertion

Ref	Expression
oprabvaligg	|- ((A e. R /\ B e. S /\ C e. D) -> (th -> (AFB) = C))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z   x,R,y,z   x,S,y,z   ps,x   ch,x,y   th,x,y,z

Proof of Theorem oprabvaligg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabvaligg.1	. . . 4 |- (x = A -> (ph <-> ps))
2		oprabvaligg.2	. . . 4 |- (y = B -> (ps <-> ch))
3		oprabvaligg.3	. . . 4 |- (z = C -> (ch <-> th))
4	1, 2, 3	eloprabg 4936	. . 3 |- ((A e. R /\ B e. S /\ C e. D) -> (<.<.A, B>., C>. e. {<.<.x, y>., z>. | ph} <-> th))
5		oprabvaligg.4	. . . . . 6 |- E*zph
6	5	funoprab 4940	. . . . 5 |- Fun {<.<.x, y>., z>. | ph}
7		funopfvg 4711	. . . . 5 |- ((C e. D /\ Fun {<.<.x, y>., z>. | ph}) -> (<.<.A, B>., C>. e. {<.<.x, y>., z>. | ph} -> ({<.<.x, y>., z>. | ph}` <.A, B>.) = C))
8	6, 7	mpan2 760	. . . 4 |- (C e. D -> (<.<.A, B>., C>. e. {<.<.x, y>., z>. | ph} -> ({<.<.x, y>., z>. | ph}` <.A, B>.) = C))
9	8	3ad2ant3 899	. . 3 |- ((A e. R /\ B e. S /\ C e. D) -> (<.<.A, B>., C>. e. {<.<.x, y>., z>. | ph} -> ({<.<.x, y>., z>. | ph}` <.A, B>.) = C))
10	4, 9	sylbird 222	. 2 |- ((A e. R /\ B e. S /\ C e. D) -> (th -> ({<.<.x, y>., z>. | ph}` <.A, B>.) = C))
11		df-opr 4886	. . . 4 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
12		oprabvaligg.5	. . . . 5 |- F = {<.<.x, y>., z>. | ph}
13	12	fveq1i 4682	. . . 4 |- (F` <.A, B>.) = ({<.<.x, y>., z>. | ph}` <.A, B>.)
14	11, 13	eqtri 1908	. . 3 |- (AFB) = ({<.<.x, y>., z>. | ph}` <.A, B>.)
15	14	eqeq1i 1891	. 2 |- ((AFB) = C <-> ({<.<.x, y>., z>. | ph}` <.A, B>.) = C)
16	10, 15	syl6ibr 230	1 |- ((A e. R /\ B e. S /\ C e. D) -> (th -> (AFB) = C))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E*wmo 1772  <.cop 3046  Fun wfun 3992  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885

This theorem is referenced by:  oprabval2a 15707  pcoval 16073  pi1bval 16088  igenval 16209

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887

Copyright terms: Public domain