Theorem oprabval6g 4962

Description: The value of an operation class abstraction. Special case.

Hypotheses

Ref	Expression
oprabval6g.1	|- (<.x, y>. = <.A, B>. -> R = S)
oprabval6g.2	|- F = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. C /\ z = R)}

Assertion

Ref	Expression
oprabval6g	|- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (AFB) = S)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,C,y,z   z,R   x,S,y,z

Proof of Theorem oprabval6g

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1884	. . . . . 6 |- S = S
2		biidd 188	. . . . . . 7 |- ((x = A /\ y = B) -> (S = S <-> S = S))
3	2	copsex2g 3539	. . . . . 6 |- ((A e. G /\ B e. H) -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S) <-> S = S))
4	1, 3	mpbiri 211	. . . . 5 |- ((A e. G /\ B e. H) -> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S))
5	4	3adant3 896	. . . 4 |- ((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) -> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S))
6	5	adantr 425	. . 3 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S))
7		eqeq1 1890	. . . . . . . 8 |- (w = <.A, B>. -> (w = <.x, y>. <-> <.A, B>. = <.x, y>.))
8	7	anbi1d 679	. . . . . . 7 |- (w = <.A, B>. -> ((w = <.x, y>. /\ z = R) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = R)))
9		oprabval6g.1	. . . . . . . . . 10 |- (<.x, y>. = <.A, B>. -> R = S)
10	9	eqeq2d 1895	. . . . . . . . 9 |- (<.x, y>. = <.A, B>. -> (z = R <-> z = S))
11	10	eqcoms 1887	. . . . . . . 8 |- (<.A, B>. = <.x, y>. -> (z = R <-> z = S))
12	11	pm5.32i 707	. . . . . . 7 |- ((<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = R) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S))
13	8, 12	syl6bb 595	. . . . . 6 |- (w = <.A, B>. -> ((w = <.x, y>. /\ z = R) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S)))
14	13	2exbidv 1659	. . . . 5 |- (w = <.A, B>. -> (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R) <-> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S)))
15		eqeq1 1890	. . . . . . 7 |- (z = S -> (z = S <-> S = S))
16	15	anbi2d 678	. . . . . 6 |- (z = S -> ((<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S) <-> (<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S)))
17	16	2exbidv 1659	. . . . 5 |- (z = S -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ z = S) <-> E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S)))
18		moeq 2431	. . . . . . 7 |- E*z z = R
19	18	mosubop 3552	. . . . . 6 |- E*zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R)
20	19	a1i 8	. . . . 5 |- (w e. C -> E*zE.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R))
21		oprabval6g.2	. . . . . 6 |- F = {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. C /\ z = R)}
22		dfoprab2 4917	. . . . . 6 |- {<.<.x, y>., z>. | (<.x, y>. e. C /\ z = R)} = {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R))}
23		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = <.x, y>. -> (w e. C <-> <.x, y>. e. C))
24	23	anbi1d 679	. . . . . . . . . . 11 |- (w = <.x, y>. -> ((w e. C /\ z = R) <-> (<.x, y>. e. C /\ z = R)))
25	24	pm5.32i 707	. . . . . . . . . 10 |- ((w = <.x, y>. /\ (w e. C /\ z = R)) <-> (w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)))
26		an12 542	. . . . . . . . . 10 |- ((w = <.x, y>. /\ (w e. C /\ z = R)) <-> (w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)))
27	25, 26	bitr3i 192	. . . . . . . . 9 |- ((w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)) <-> (w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)))
28	27	2exbii 1399	. . . . . . . 8 |- (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)) <-> E.xE.y(w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)))
29		19.42vv 1690	. . . . . . . 8 |- (E.xE.y(w e. C /\ (w = <.x, y>. /\ z = R)) <-> (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R)))
30	28, 29	bitri 190	. . . . . . 7 |- (E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R)) <-> (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R)))
31	30	opabbii 3402	. . . . . 6 |- {<.w, z>. | E.xE.y(w = <.x, y>. /\ (<.x, y>. e. C /\ z = R))} = {<.w, z>. | (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R))}
32	21, 22, 31	3eqtri 1912	. . . . 5 |- F = {<.w, z>. | (w e. C /\ E.xE.y(w = <.x, y>. /\ z = R))}
33	14, 17, 20, 32	fvopab3ig 4741	. . . 4 |- ((<.A, B>. e. C /\ S e. J) -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S) -> (F` <.A, B>.) = S))
34	33	3ad2antl3 1040	. . 3 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (E.xE.y(<.A, B>. = <.x, y>. /\ S = S) -> (F` <.A, B>.) = S))
35	6, 34	mpd 29	. 2 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (F` <.A, B>.) = S)
36		df-opr 4886	. 2 |- (AFB) = (F` <.A, B>.)
37	35, 36	syl5eq 1940	1 |- (((A e. G /\ B e. H /\ <.A, B>. e. C) /\ S e. J) -> (AFB) = S)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  E*wmo 1772  <.cop 3046  {copab 3395  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885

This theorem is referenced by:  ipfval 9691

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887

Copyright terms: Public domain