Theorem oprabval5 4958

Description: The value of an operation class abstraction. Special case.

Hypotheses

Ref	Expression
oprabval5.1	|- S e. _V
oprabval5.2	|- (x = A -> R = G)
oprabval5.3	|- (y = B -> G = S)
oprabval5.4	|- F = {<.<.x, y>., z>. | z = R}

Assertion

Ref	Expression
oprabval5	|- ((A e. C /\ B e. D) -> (AFB) = S)

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x,G   z,R   y,S,z

Proof of Theorem oprabval5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabval5.1	. . 3 |- S e. _V
2		oprabval5.2	. . 3 |- (x = A -> R = G)
3		oprabval5.3	. . 3 |- (y = B -> G = S)
4		oprabval5.4	. . . 4 |- F = {<.<.x, y>., z>. | z = R}
5		visset 2295	. . . . . . 7 |- x e. _V
6		visset 2295	. . . . . . 7 |- y e. _V
7	5, 6	pm3.2i 307	. . . . . 6 |- (x e. _V /\ y e. _V)
8	7	biantrur 794	. . . . 5 |- (z = R <-> ((x e. _V /\ y e. _V) /\ z = R))
9	8	oprabbii 4923	. . . 4 |- {<.<.x, y>., z>. | z = R} = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. _V /\ y e. _V) /\ z = R)}
10	4, 9	eqtri 1908	. . 3 |- F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. _V /\ y e. _V) /\ z = R)}
11	1, 2, 3, 10	oprabval2 4957	. 2 |- ((A e. _V /\ B e. _V) -> (AFB) = S)
12		elisset 2299	. 2 |- (A e. C -> A e. _V)
13		elisset 2299	. 2 |- (B e. D -> B e. _V)
14	11, 12, 13	syl2an 503	1 |- ((A e. C /\ B e. D) -> (AFB) = S)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  (class class class)co 4884  {copab2 4885

This theorem is referenced by:  1st2val 5038  2nd2val 5039  seq1val 7725  shftfval 7755  seq0fval 7778  seqzfval 7780  dfseq0 7806  nfwval 14588  addrval 16466  subrval 16467  mulvval 16468

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887

Copyright terms: Public domain