MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabv Structured version   Unicode version

Theorem oprabv 6318
Description: If a pair and a class are in a relationship given by a class abstraction of a collection of nested ordered pairs, the involved classes are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
oprabv  |-  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
Distinct variable groups:    x, X, y, z    x, Y, y, z    x, Z, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem oprabv
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reloprab 6317 . . 3  |-  Rel  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
2 brrelex12 5026 . . 3  |-  ( ( Rel  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph }  /\  <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
31, 2mpan 668 . 2  |-  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( <. X ,  Y >.  e.  _V  /\  Z  e.  _V ) )
4 df-br 4440 . . . . 5  |-  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  <->  <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e. 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )
5 opex 4701 . . . . . . . . 9  |-  <. X ,  Y >.  e.  _V
6 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w <. X ,  Y >.
76nfeq1 2631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.
8 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w ph
97, 8nfan 1933 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )
109nfex 1953 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )
1110nfex 1953 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )
12 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ z <. X ,  Y >.
1312nfeq1 2631 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.
14 nfsbc1v 3344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z
[. Z  /  z ]. ph
1513, 14nfan 1933 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  [. Z  / 
z ]. ph )
1615nfex 1953 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z E. y ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )
1716nfex 1953 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z E. x E. y
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  [. Z  / 
z ]. ph )
18 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  <. X ,  Y >.  ->  ( w  = 
<. x ,  y >.  <->  <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.
) )
1918anbi1d 702 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  <. X ,  Y >.  ->  ( ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  <->  ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
20192exbidv 1721 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  <. X ,  Y >.  ->  ( E. x E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
21 sbceq1a 3335 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Z  ->  ( ph 
<-> 
[. Z  /  z ]. ph ) )
2221anbi2d 701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  <->  ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )
) )
23222exbidv 1721 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  ( E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )
) )
2411, 17, 20, 23opelopabgf 4756 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. X ,  Y >.  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e.  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) }  <->  E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph ) ) )
255, 24mpan 668 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e.  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y
( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) }  <->  E. x E. y
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  [. Z  / 
z ]. ph ) ) )
26 eqcom 2463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  <->  <.
x ,  y >.  =  <. X ,  Y >. )
27 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
28 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
2927, 28opth 4711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. X ,  Y >.  <-> 
( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
3026, 29bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  <->  ( x  =  X  /\  y  =  Y )
)
31 eqvisset 3114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  X  e.  _V )
32 eqvisset 3114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  Y  ->  Y  e.  _V )
3331, 32anim12i 564 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
3430, 33sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
3534adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
3635exlimivv 1728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
3736anim1i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x E. y
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  [. Z  / 
z ]. ph )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  Z  e. 
_V ) )
38 df-3an 973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  <->  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )
3937, 38sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. x E. y
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  [. Z  / 
z ]. ph )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
4039expcom 433 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e. 
_V ) ) )
4125, 40sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e.  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y
( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) }  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e. 
_V ) ) )
4241com12 31 . . . . . 6  |-  ( <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e.  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) }  ->  ( Z  e. 
_V  ->  ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V ) ) )
43 dfoprab2 6316 . . . . . 6  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  =  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) }
4442, 43eleq2s 2562 . . . . 5  |-  ( <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e.  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  ->  ( Z  e. 
_V  ->  ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V ) ) )
454, 44sylbi 195 . . . 4  |-  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( Z  e.  _V  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
) )
4645com12 31 . . 3  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
) )
4746adantl 464 . 2  |-  ( (
<. X ,  Y >.  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
) )
483, 47mpcom 36 1  |-  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   _Vcvv 3106   [.wsbc 3324   <.cop 4022   class class class wbr 4439   {copab 4496   Rel wrel 4993   {coprab 6271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pr 4676
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-br 4440  df-opab 4498  df-xp 4994  df-rel 4995  df-oprab 6274
This theorem is referenced by:  rgraprop  25130  rusgraprop  25131  rusgrargra  25132
  Copyright terms: Public domain W3C validator