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Theorem oprabv 6329
Description: If a pair and a class are in a relationship given by a class abstraction of a collection of nested ordered pairs, the involved classes are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
oprabv  |-  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
Distinct variable groups:    x, X, y, z    x, Y, y, z    x, Z, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem oprabv
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reloprab 6328 . . 3  |-  Rel  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
2 brrelex12 5037 . . 3  |-  ( ( Rel  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph }  /\  <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
31, 2mpan 670 . 2  |-  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( <. X ,  Y >.  e.  _V  /\  Z  e.  _V ) )
4 df-br 4448 . . . . 5  |-  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  <->  <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e. 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )
5 opex 4711 . . . . . . . . 9  |-  <. X ,  Y >.  e.  _V
6 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w <. X ,  Y >.
76nfeq1 2644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.
8 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w ph
97, 8nfan 1875 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )
109nfex 1895 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )
1110nfex 1895 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )
12 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ z <. X ,  Y >.
1312nfeq1 2644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.
14 nfsbc1v 3351 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z
[. Z  /  z ]. ph
1513, 14nfan 1875 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  [. Z  / 
z ]. ph )
1615nfex 1895 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z E. y ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )
1716nfex 1895 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z E. x E. y
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  [. Z  / 
z ]. ph )
18 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  <. X ,  Y >.  ->  ( w  = 
<. x ,  y >.  <->  <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.
) )
1918anbi1d 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  <. X ,  Y >.  ->  ( ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  <->  ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
20192exbidv 1692 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  <. X ,  Y >.  ->  ( E. x E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
21 sbceq1a 3342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Z  ->  ( ph 
<-> 
[. Z  /  z ]. ph ) )
2221anbi2d 703 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  <->  ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )
) )
23222exbidv 1692 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  ( E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )
) )
2411, 17, 20, 23opelopabgf 4767 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. X ,  Y >.  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e.  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) }  <->  E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph ) ) )
255, 24mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e.  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y
( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) }  <->  E. x E. y
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  [. Z  / 
z ]. ph ) ) )
26 eqcom 2476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  <->  <.
x ,  y >.  =  <. X ,  Y >. )
27 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
28 vex 3116 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
2927, 28opth 4721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. X ,  Y >.  <-> 
( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
3026, 29bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  <->  ( x  =  X  /\  y  =  Y )
)
31 eqvisset 3121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  X  e.  _V )
32 eqvisset 3121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  Y  ->  Y  e.  _V )
3331, 32anim12i 566 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
3430, 33sylbi 195 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
3635exlimivv 1699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
3736anim1i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x E. y
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  [. Z  / 
z ]. ph )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  Z  e. 
_V ) )
38 df-3an 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  <->  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )
3937, 38sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. x E. y
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  [. Z  / 
z ]. ph )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
4039expcom 435 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e. 
_V ) ) )
4125, 40sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e.  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y
( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) }  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e. 
_V ) ) )
4241com12 31 . . . . . 6  |-  ( <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e.  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) }  ->  ( Z  e. 
_V  ->  ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V ) ) )
43 dfoprab2 6327 . . . . . 6  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  =  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) }
4442, 43eleq2s 2575 . . . . 5  |-  ( <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e.  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  ->  ( Z  e. 
_V  ->  ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V ) ) )
454, 44sylbi 195 . . . 4  |-  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( Z  e.  _V  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
) )
4645com12 31 . . 3  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
) )
4746adantl 466 . 2  |-  ( (
<. X ,  Y >.  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
) )
483, 47mpcom 36 1  |-  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   _Vcvv 3113   [.wsbc 3331   <.cop 4033   class class class wbr 4447   {copab 4504   Rel wrel 5004   {coprab 6285
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pr 4686
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-br 4448  df-opab 4506  df-xp 5005  df-rel 5006  df-oprab 6288
This theorem is referenced by:  rgraprop  24632  rusgraprop  24633  rusgrargra  24634
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