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Theorem oprabv 6358
Description: If a pair and a class are in a relationship given by a class abstraction of a collection of nested ordered pairs, the involved classes are sets. (Contributed by Alexander van der Vekens, 8-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
oprabv  |-  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
Distinct variable groups:    x, X, y, z    x, Y, y, z    x, Z, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem oprabv
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reloprab 6357 . . 3  |-  Rel  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
2 brrelex12 4877 . . 3  |-  ( ( Rel  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph }  /\  <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z )  ->  ( <. X ,  Y >.  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
31, 2mpan 684 . 2  |-  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( <. X ,  Y >.  e.  _V  /\  Z  e.  _V ) )
4 df-br 4396 . . . . 5  |-  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  <->  <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e. 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )
5 opex 4664 . . . . . . . . 9  |-  <. X ,  Y >.  e.  _V
6 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ w <. X ,  Y >.
76nfeq1 2625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.
8 nfv 1769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ w ph
97, 8nfan 2031 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ w
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )
109nfex 2050 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph )
1110nfex 2050 . . . . . . . . . 10  |-  F/ w E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )
12 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ z <. X ,  Y >.
1312nfeq1 2625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.
14 nfsbc1v 3275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ z
[. Z  /  z ]. ph
1513, 14nfan 2031 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ z ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  [. Z  / 
z ]. ph )
1615nfex 2050 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ z E. y ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )
1716nfex 2050 . . . . . . . . . 10  |-  F/ z E. x E. y
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  [. Z  / 
z ]. ph )
18 eqeq1 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  <. X ,  Y >.  ->  ( w  = 
<. x ,  y >.  <->  <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.
) )
1918anbi1d 719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  <. X ,  Y >.  ->  ( ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  <->  ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
20192exbidv 1778 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  <. X ,  Y >.  ->  ( E. x E. y ( w  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) ) )
21 sbceq1a 3266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  Z  ->  ( ph 
<-> 
[. Z  /  z ]. ph ) )
2221anbi2d 718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  Z  ->  (
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  ph )  <->  ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )
) )
23222exbidv 1778 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  Z  ->  ( E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  ph )  <->  E. x E. y ( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )
) )
2411, 17, 20, 23opelopabgf 4721 . . . . . . . . 9  |-  ( (
<. X ,  Y >.  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e.  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) }  <->  E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph ) ) )
255, 24mpan 684 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e.  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y
( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) }  <->  E. x E. y
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  [. Z  / 
z ]. ph ) ) )
26 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  <->  <.
x ,  y >.  =  <. X ,  Y >. )
27 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x  e. 
_V
28 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
2927, 28opth 4676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( <.
x ,  y >.  =  <. X ,  Y >.  <-> 
( x  =  X  /\  y  =  Y ) )
3026, 29bitri 257 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  <->  ( x  =  X  /\  y  =  Y )
)
31 eqvisset 3039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  X  ->  X  e.  _V )
32 eqvisset 3039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  Y  ->  Y  e.  _V )
3331, 32anim12i 576 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  X  /\  y  =  Y )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
3430, 33sylbi 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( <. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )
)
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
3635exlimivv 1786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V ) )
3736anim1i 578 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E. x E. y
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  [. Z  / 
z ]. ph )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V )  /\  Z  e. 
_V ) )
38 df-3an 1009 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )  <->  ( ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V )  /\  Z  e.  _V ) )
3937, 38sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. x E. y
( <. X ,  Y >.  =  <. x ,  y
>.  /\  [. Z  / 
z ]. ph )  /\  Z  e.  _V )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
4039expcom 442 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( E. x E. y (
<. X ,  Y >.  = 
<. x ,  y >.  /\  [. Z  /  z ]. ph )  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e. 
_V ) ) )
4125, 40sylbid 223 . . . . . . 7  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e.  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y
( w  =  <. x ,  y >.  /\  ph ) }  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e. 
_V ) ) )
4241com12 31 . . . . . 6  |-  ( <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e.  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) }  ->  ( Z  e. 
_V  ->  ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V ) ) )
43 dfoprab2 6356 . . . . . 6  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  =  { <. w ,  z >.  |  E. x E. y ( w  =  <. x ,  y
>.  /\  ph ) }
4442, 43eleq2s 2567 . . . . 5  |-  ( <. <. X ,  Y >. ,  Z >.  e.  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  ->  ( Z  e. 
_V  ->  ( X  e. 
_V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V ) ) )
454, 44sylbi 200 . . . 4  |-  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( Z  e.  _V  ->  ( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
) )
4645com12 31 . . 3  |-  ( Z  e.  _V  ->  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
) )
4746adantl 473 . 2  |-  ( (
<. X ,  Y >.  e. 
_V  /\  Z  e.  _V )  ->  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
) )
483, 47mpcom 36 1  |-  ( <. X ,  Y >. {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } Z  -> 
( X  e.  _V  /\  Y  e.  _V  /\  Z  e.  _V )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255   <.cop 3965   class class class wbr 4395   {copab 4453   Rel wrel 4844   {coprab 6309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-br 4396  df-opab 4455  df-xp 4845  df-rel 4846  df-oprab 6312
This theorem is referenced by:  rgraprop  25735  rusgraprop  25736  rusgrargra  25737
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