MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabss Unicode version

Theorem oprabss 6118
Description: Structure of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.)
Assertion
Ref Expression
oprabss  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )
Distinct variable group:    x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)

Proof of Theorem oprabss
StepHypRef Expression
1 reloprab 6081 . . 3  |-  Rel  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
2 relssdmrn 5349 . . 3  |-  ( Rel 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  ->  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } ) )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )
4 reldmoprab 6117 . . . 4  |-  Rel  dom  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }
5 df-rel 4844 . . . 4  |-  ( Rel 
dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  <->  dom  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( _V  X.  _V ) )
64, 5mpbi 200 . . 3  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  ( _V  X.  _V )
7 ssv 3328 . . 3  |-  ran  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  C_  _V
8 xpss12 4940 . . 3  |-  ( ( dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph }  C_  ( _V  X.  _V )  /\  ran  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ph }  C_  _V )  ->  ( dom 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
)
96, 7, 8mp2an 654 . 2  |-  ( dom 
{ <. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph }  X.  ran  {
<. <. x ,  y
>. ,  z >.  | 
ph } )  C_  ( ( _V  X.  _V )  X.  _V )
103, 9sstri 3317 1  |-  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ph }  C_  ( ( _V 
X.  _V )  X.  _V )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   _Vcvv 2916    C_ wss 3280    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ran crn 4838   Rel wrel 4842   {coprab 6041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-br 4173  df-opab 4227  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-dm 4847  df-rn 4848  df-oprab 6044
  Copyright terms: Public domain W3C validator