Theorem oprabexd 6772

Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabexd.1	|- ( ph -> A e. _V )
oprabexd.2	|- ( ph -> B e. _V )
oprabexd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> E* z ps )
oprabexd.4	|- ( ph -> F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )

Assertion

Ref	Expression
oprabexd	|- ( ph -> F e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   ps( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabexd.4	. 2 |- ( ph -> F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )
2		oprabexd.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> E* z ps )
3	2	ex 434	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ps ) )
4		moanimv 2356	. . . . . 6 |- ( E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ps ) )
5	3, 4	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ph -> E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) )
6	5	alrimivv 1696	. . . 4 |- ( ph -> A. x A. y E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) )
7		funoprabg 6386	. . . 4 |- ( A. x A. y E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )
8	6, 7	syl 16	. . 3 |- ( ph -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )
9		dmoprabss 6369	. . . 4 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } C_ ( A X. B )
10		oprabexd.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
11		oprabexd.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
12		xpexg 6587	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
13	10, 11, 12	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( A X. B ) e. _V )
14		ssexg 4593	. . . 4 |- ( ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } C_ ( A X. B ) /\ ( A X. B ) e. _V ) -> dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
15	9, 13, 14	sylancr 663	. . 3 |- ( ph -> dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
16		funex 6129	. . 3 |- ( ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } /\ dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
17	8, 15, 16	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
18	1, 17	eqeltrd 2555	1 |- ( ph -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   A.wal 1377   = wceq 1379   e. wcel 1767   E*wmo 2276   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   X. cxp 4997   dom cdm 4999   Fun wfun 5582   {coprab 6286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-oprab 6289

This theorem is referenced by: (None)