Theorem oprabexd 15713

Description: Existence of an operator abstraction.

Hypotheses

Ref	Expression
oprabexd.1	|- (ph -> A e. _V)
oprabexd.2	|- (ph -> B e. _V)
oprabexd.3	|- ((ph /\ (x e. A /\ y e. B)) -> E*zps)
oprabexd.4	|- (ph -> F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ps)})

Assertion

Ref	Expression
oprabexd	|- (ph -> F e. _V)

Distinct variable groups:   x,A,y,z   x,B,y,z   ph,x,y,z

Proof of Theorem oprabexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabexd.4	. 2 |- (ph -> F = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ps)})
2		oprabexd.3	. . . . . . 7 |- ((ph /\ (x e. A /\ y e. B)) -> E*zps)
3	2	ex 402	. . . . . 6 |- (ph -> ((x e. A /\ y e. B) -> E*zps))
4		moanimv 1829	. . . . . 6 |- (E*z((x e. A /\ y e. B) /\ ps) <-> ((x e. A /\ y e. B) -> E*zps))
5	3, 4	sylibr 217	. . . . 5 |- (ph -> E*z((x e. A /\ y e. B) /\ ps))
6	5	19.21aivv 1665	. . . 4 |- (ph -> A.xA.yE*z((x e. A /\ y e. B) /\ ps))
7		funoprabg 4939	. . . 4 |- (A.xA.yE*z((x e. A /\ y e. B) /\ ps) -> Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ps)})
8	6, 7	syl 12	. . 3 |- (ph -> Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ps)})
9		ssexg 3457	. . . 4 |- ((dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ps)} C_ (A X. B) /\ (A X. B) e. _V) -> dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ps)} e. _V)
10		dmoprabss 4932	. . . 4 |- dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ps)} C_ (A X. B)
11		oprabexd.1	. . . . 5 |- (ph -> A e. _V)
12		oprabexd.2	. . . . 5 |- (ph -> B e. _V)
13		xpexg 4095	. . . . 5 |- ((A e. _V /\ B e. _V) -> (A X. B) e. _V)
14	11, 12, 13	syl11anc 524	. . . 4 |- (ph -> (A X. B) e. _V)
15	9, 10, 14	sylancr 526	. . 3 |- (ph -> dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ps)} e. _V)
16		funex 4537	. . 3 |- ((Fun {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ps)} /\ dom {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ps)} e. _V) -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ps)} e. _V)
17	8, 15, 16	syl11anc 524	. 2 |- (ph -> {<.<.x, y>., z>. | ((x e. A /\ y e. B) /\ ps)} e. _V)
18	1, 17	eqeltrd 1971	1 |- (ph -> F e. _V)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  E*wmo 1772  _Vcvv 2292   C_ wss 2593   X. cxp 3984  dom cdm 3986  Fun wfun 3992  {copab2 4885

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-oprab 4887

Copyright terms: Public domain