MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oprabexd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem oprabexd 6777
Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabexd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
oprabexd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
oprabexd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  ->  E* z ps )
oprabexd.4  |-  ( ph  ->  F  =  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ps ) } )
Assertion
Ref Expression
oprabexd  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
Distinct variable groups:    x, A, y, z    x, B, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ps( x, y, z)    F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabexd
StepHypRef Expression
1 oprabexd.4 . 2  |-  ( ph  ->  F  =  { <. <.
x ,  y >. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ps ) } )
2 oprabexd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  B ) )  ->  E* z ps )
32ex 436 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ps ) )
4 moanimv 2359 . . . . . 6  |-  ( E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) 
<->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  E* z ps ) )
53, 4sylibr 216 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) )
65alrimivv 1773 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x A. y E* z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) )
7 funoprabg 6392 . . . 4  |-  ( A. x A. y E* z
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps )  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) } )
86, 7syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) } )
9 dmoprabss 6375 . . . 4  |-  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  C_  ( A  X.  B )
10 oprabexd.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  _V )
11 oprabexd.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  _V )
12 xpexg 6590 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
1310, 11, 12syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  B
)  e.  _V )
14 ssexg 4548 . . . 4  |-  ( ( dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  C_  ( A  X.  B
)  /\  ( A  X.  B )  e.  _V )  ->  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
159, 13, 14sylancr 668 . . 3  |-  ( ph  ->  dom  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
16 funex 6131 . . 3  |-  ( ( Fun  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  /\  dom  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )  ->  { <. <. x ,  y >. ,  z
>.  |  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
178, 15, 16syl2anc 666 . 2  |-  ( ph  ->  { <. <. x ,  y
>. ,  z >.  |  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  ps ) }  e.  _V )
181, 17eqeltrd 2528 1  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371   A.wal 1441    = wceq 1443    e. wcel 1886   E*wmo 2299   _Vcvv 3044    C_ wss 3403    X. cxp 4831   dom cdm 4833   Fun wfun 5575   {coprab 6289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-oprab 6292
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator