Theorem oprabexd 6785

Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabexd.1	|- ( ph -> A e. _V )
oprabexd.2	|- ( ph -> B e. _V )
oprabexd.3	|- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> E* z ps )
oprabexd.4	|- ( ph -> F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )

Assertion

Ref	Expression
oprabexd	|- ( ph -> F e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y, z   x, B, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   ps( x, y, z)   F( x, y, z)

Proof of Theorem oprabexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabexd.4	. 2 |- ( ph -> F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )
2		oprabexd.3	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. A /\ y e. B ) ) -> E* z ps )
3	2	ex 435	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ps ) )
4		moanimv 2325	. . . . . 6 |- ( E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) <-> ( ( x e. A /\ y e. B ) -> E* z ps ) )
5	3, 4	sylibr 215	. . . . 5 |- ( ph -> E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) )
6	5	alrimivv 1764	. . . 4 |- ( ph -> A. x A. y E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) )
7		funoprabg 6400	. . . 4 |- ( A. x A. y E* z ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )
8	6, 7	syl 17	. . 3 |- ( ph -> Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } )
9		dmoprabss 6383	. . . 4 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } C_ ( A X. B )
10		oprabexd.1	. . . . 5 |- ( ph -> A e. _V )
11		oprabexd.2	. . . . 5 |- ( ph -> B e. _V )
12		xpexg 6598	. . . . 5 |- ( ( A e. _V /\ B e. _V ) -> ( A X. B ) e. _V )
13	10, 11, 12	syl2anc 665	. . . 4 |- ( ph -> ( A X. B ) e. _V )
14		ssexg 4562	. . . 4 |- ( ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } C_ ( A X. B ) /\ ( A X. B ) e. _V ) -> dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
15	9, 13, 14	sylancr 667	. . 3 |- ( ph -> dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
16		funex 6139	. . 3 |- ( ( Fun { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } /\ dom { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V ) -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
17	8, 15, 16	syl2anc 665	. 2 |- ( ph -> { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ps ) } e. _V )
18	1, 17	eqeltrd 2508	1 |- ( ph -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   A.wal 1435   = wceq 1437   e. wcel 1867   E*wmo 2264   _Vcvv 3078   C_ wss 3433   X. cxp 4843   dom cdm 4845   Fun wfun 5586   {coprab 6297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-oprab 6300

This theorem is referenced by: (None)