Theorem opr1cn 9256

Description: Construct a continuous function H built from a function F and a constant applied to an operation O.

Hypotheses

Ref	Expression
oprcn.1	|- X = dom dom A
oprcn.2	|- Y = dom dom B
oprcn.4	|- Z = dom dom C
oprcn.6	|- A e. Met
oprcn.7	|- B e. Met
oprcn.8	|- C e. Met
oprcn.9	|- J e. Met
oprcn.a	|- K = (Open` A)
oprcn.b	|- L = (Open` B)
oprcn.c	|- M = (Open` C)
oprcn.d	|- N = (Open` D)
oprcn.j	|- Q = (Open` J)
oprcn.10	|- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (Y X. Z) /\ y e. (Y X. Z)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
oprcn.11	|- O e. (N Cn Q)
opr1cn.12	|- H = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)OP))}

Assertion

Ref	Expression
opr1cn	|- ((F e. (K Cn L) /\ P e. Z) -> H e. (K Cn Q))

Distinct variable groups:   w,A   x,w,y,z,B   w,C,x,y,z   w,v,x,y,z,F   w,J   w,K   w,L   w,M   v,O,w   v,P,w,x,y,z   v,X,w,x,y,z   v,Y,w,x,y,z   v,Z,w,x,y,z

Proof of Theorem opr1cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvconst2g 4820	. . . . . . . 8 |- ((P e. Z /\ w e. X) -> ((X X. {P})` w) = P)
2	1	opreq2d 4898	. . . . . . 7 |- ((P e. Z /\ w e. X) -> ((F` w)O((X X. {P})` w)) = ((F` w)OP))
3	2	eqeq2d 1895	. . . . . 6 |- ((P e. Z /\ w e. X) -> (v = ((F` w)O((X X. {P})` w)) <-> v = ((F` w)OP)))
4	3	pm5.32da 711	. . . . 5 |- (P e. Z -> ((w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w))) <-> (w e. X /\ v = ((F` w)OP))))
5	4	opabbidv 3401	. . . 4 |- (P e. Z -> {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))} = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)OP))})
6		opr1cn.12	. . . 4 |- H = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)OP))}
7	5, 6	syl6reqr 1947	. . 3 |- (P e. Z -> H = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))})
8	7	adantl 424	. 2 |- ((F e. (K Cn L) /\ P e. Z) -> H = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))})
9		oprcn.1	. . . 4 |- X = dom dom A
10		oprcn.2	. . . 4 |- Y = dom dom B
11		oprcn.4	. . . 4 |- Z = dom dom C
12		oprcn.6	. . . 4 |- A e. Met
13		oprcn.7	. . . 4 |- B e. Met
14		oprcn.8	. . . 4 |- C e. Met
15		oprcn.9	. . . 4 |- J e. Met
16		oprcn.a	. . . 4 |- K = (Open` A)
17		oprcn.b	. . . 4 |- L = (Open` B)
18		oprcn.c	. . . 4 |- M = (Open` C)
19		oprcn.d	. . . 4 |- N = (Open` D)
20		oprcn.j	. . . 4 |- Q = (Open` J)
21		oprcn.10	. . . 4 |- D = {<.<.x, y>., z>. | ((x e. (Y X. Z) /\ y e. (Y X. Z)) /\ z = sup({((1st` x)B(1st` y)), ((2nd` x)C(2nd` y))}, RR, < ))}
22		oprcn.11	. . . 4 |- O e. (N Cn Q)
23		eqid 1884	. . . 4 |- {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))} = {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))}
24	9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23	oprcn 9255	. . 3 |- ((F e. (K Cn L) /\ (X X. {P}) e. (K Cn M)) -> {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))} e. (K Cn Q))
25		fconstg 4604	. . . 4 |- (P e. Z -> (X X. {P}):X-->{P})
26	9, 11, 16, 18	metcnconst 9163	. . . . 5 |- (((A e. Met /\ C e. Met) /\ (P e. Z /\ (X X. {P}):X-->{P})) -> (X X. {P}) e. (K Cn M))
27	12, 14, 26	mpanl12 773	. . . 4 |- ((P e. Z /\ (X X. {P}):X-->{P}) -> (X X. {P}) e. (K Cn M))
28	25, 27	mpdan 768	. . 3 |- (P e. Z -> (X X. {P}) e. (K Cn M))
29	24, 28	sylan2 500	. 2 |- ((F e. (K Cn L) /\ P e. Z) -> {<.w, v>. | (w e. X /\ v = ((F` w)O((X X. {P})` w)))} e. (K Cn Q))
30	8, 29	eqeltrd 1971	1 |- ((F e. (K Cn L) /\ P e. Z) -> H e. (K Cn Q))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {csn 3044  {cpr 3045  {copab 3395   X. cxp 3984  dom cdm 3986  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  {copab2 4885  1stc1st 5018  2ndc2nd 5019  supcsup 5663  RRcr 6385   < clt 6653   Cn ccn 9028  Metcme 9066  Opencopn 9069

This theorem is referenced by:  opr1scn 9258

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-5 1302  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-map 5383  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-sup 5664  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-2 7154  df-top 8861  df-cn 9030  df-cnp 9031  df-met 9070  df-bl 9072  df-opn 9073

Copyright terms: Public domain