MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprsubrg Structured version   Unicode version

Theorem opprsubrg 17964
Description: Being a subring is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprsubrg.o  |-  O  =  (oppr
`  R )
Assertion
Ref Expression
opprsubrg  |-  (SubRing `  R
)  =  (SubRing `  O
)

Proof of Theorem opprsubrg
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgrcl 17948 . . 3  |-  ( x  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
2 subrgrcl 17948 . . . 4  |-  ( x  e.  (SubRing `  O
)  ->  O  e.  Ring )
3 opprsubrg.o . . . . 5  |-  O  =  (oppr
`  R )
43opprringb 17795 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  <->  O  e.  Ring )
52, 4sylibr 215 . . 3  |-  ( x  e.  (SubRing `  O
)  ->  R  e.  Ring )
63opprsubg 17799 . . . . . . 7  |-  (SubGrp `  R )  =  (SubGrp `  O )
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  (SubGrp `  R )  =  (SubGrp `  O ) )
87eleq2d 2499 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( x  e.  (SubGrp `  R
)  <->  x  e.  (SubGrp `  O ) ) )
9 ralcom 2996 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y ( .r `  R ) z )  e.  x  <->  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( y
( .r `  R
) z )  e.  x )
10 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
11 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
12 eqid 2429 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  O )  =  ( .r `  O
)
1310, 11, 3, 12opprmul 17789 . . . . . . . . 9  |-  ( z ( .r `  O
) y )  =  ( y ( .r
`  R ) z )
1413eleq1i 2506 . . . . . . . 8  |-  ( ( z ( .r `  O ) y )  e.  x  <->  ( y
( .r `  R
) z )  e.  x )
15142ralbii 2864 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  x  A. y  e.  x  (
z ( .r `  O ) y )  e.  x  <->  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( y
( .r `  R
) z )  e.  x )
169, 15bitr4i 255 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y ( .r `  R ) z )  e.  x  <->  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( z
( .r `  O
) y )  e.  x )
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y ( .r `  R ) z )  e.  x  <->  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( z
( .r `  O
) y )  e.  x ) )
188, 173anbi13d 1337 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( x  e.  (SubGrp `  R )  /\  ( 1r `  R )  e.  x  /\  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y
( .r `  R
) z )  e.  x )  <->  ( x  e.  (SubGrp `  O )  /\  ( 1r `  R
)  e.  x  /\  A. z  e.  x  A. y  e.  x  (
z ( .r `  O ) y )  e.  x ) ) )
19 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2010, 19, 11issubrg2 17963 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( x  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( x  e.  (SubGrp `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  x  /\  A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y ( .r `  R ) z )  e.  x ) ) )
213, 10opprbas 17792 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  O )
223, 19oppr1 17797 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  O
)
2321, 22, 12issubrg2 17963 . . . . 5  |-  ( O  e.  Ring  ->  ( x  e.  (SubRing `  O
)  <->  ( x  e.  (SubGrp `  O )  /\  ( 1r `  R
)  e.  x  /\  A. z  e.  x  A. y  e.  x  (
z ( .r `  O ) y )  e.  x ) ) )
244, 23sylbi 198 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( x  e.  (SubRing `  O
)  <->  ( x  e.  (SubGrp `  O )  /\  ( 1r `  R
)  e.  x  /\  A. z  e.  x  A. y  e.  x  (
z ( .r `  O ) y )  e.  x ) ) )
2518, 20, 243bitr4d 288 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( x  e.  (SubRing `  R
)  <->  x  e.  (SubRing `  O ) ) )
261, 5, 25pm5.21nii 354 . 2  |-  ( x  e.  (SubRing `  R
)  <->  x  e.  (SubRing `  O ) )
2726eqriv 2425 1  |-  (SubRing `  R
)  =  (SubRing `  O
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 187    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   .rcmulr 15153  SubGrpcsubg 16762   1rcur 17670   Ringcrg 17715  opprcoppr 17785  SubRingcsubrg 17939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-tpos 6981  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-sets 15090  df-ress 15091  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-subg 16765  df-mgp 17659  df-ur 17671  df-ring 17717  df-oppr 17786  df-subrg 17941
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator