MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprsubrg Structured version   Unicode version

Theorem opprsubrg 17250
Description: Being a subring is a symmetric property. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprsubrg.o  |-  O  =  (oppr
`  R )
Assertion
Ref Expression
opprsubrg  |-  (SubRing `  R
)  =  (SubRing `  O
)

Proof of Theorem opprsubrg
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrgrcl 17234 . . 3  |-  ( x  e.  (SubRing `  R
)  ->  R  e.  Ring )
2 subrgrcl 17234 . . . 4  |-  ( x  e.  (SubRing `  O
)  ->  O  e.  Ring )
3 opprsubrg.o . . . . 5  |-  O  =  (oppr
`  R )
43opprrngb 17082 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  <->  O  e.  Ring )
52, 4sylibr 212 . . 3  |-  ( x  e.  (SubRing `  O
)  ->  R  e.  Ring )
63opprsubg 17086 . . . . . . 7  |-  (SubGrp `  R )  =  (SubGrp `  O )
76a1i 11 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  (SubGrp `  R )  =  (SubGrp `  O ) )
87eleq2d 2537 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( x  e.  (SubGrp `  R
)  <->  x  e.  (SubGrp `  O ) ) )
9 ralcom 3022 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y ( .r `  R ) z )  e.  x  <->  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( y
( .r `  R
) z )  e.  x )
10 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
11 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
12 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( .r
`  O )  =  ( .r `  O
)
1310, 11, 3, 12opprmul 17076 . . . . . . . . 9  |-  ( z ( .r `  O
) y )  =  ( y ( .r
`  R ) z )
1413eleq1i 2544 . . . . . . . 8  |-  ( ( z ( .r `  O ) y )  e.  x  <->  ( y
( .r `  R
) z )  e.  x )
15142ralbii 2896 . . . . . . 7  |-  ( A. z  e.  x  A. y  e.  x  (
z ( .r `  O ) y )  e.  x  <->  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( y
( .r `  R
) z )  e.  x )
169, 15bitr4i 252 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y ( .r `  R ) z )  e.  x  <->  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( z
( .r `  O
) y )  e.  x )
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y ( .r `  R ) z )  e.  x  <->  A. z  e.  x  A. y  e.  x  ( z
( .r `  O
) y )  e.  x ) )
188, 173anbi13d 1301 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( ( x  e.  (SubGrp `  R )  /\  ( 1r `  R )  e.  x  /\  A. y  e.  x  A. z  e.  x  ( y
( .r `  R
) z )  e.  x )  <->  ( x  e.  (SubGrp `  O )  /\  ( 1r `  R
)  e.  x  /\  A. z  e.  x  A. y  e.  x  (
z ( .r `  O ) y )  e.  x ) ) )
19 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  R
)
2010, 19, 11issubrg2 17249 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( x  e.  (SubRing `  R
)  <->  ( x  e.  (SubGrp `  R )  /\  ( 1r `  R
)  e.  x  /\  A. y  e.  x  A. z  e.  x  (
y ( .r `  R ) z )  e.  x ) ) )
213, 10opprbas 17079 . . . . . 6  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  O )
223, 19oppr1 17084 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  R )  =  ( 1r `  O
)
2321, 22, 12issubrg2 17249 . . . . 5  |-  ( O  e.  Ring  ->  ( x  e.  (SubRing `  O
)  <->  ( x  e.  (SubGrp `  O )  /\  ( 1r `  R
)  e.  x  /\  A. z  e.  x  A. y  e.  x  (
z ( .r `  O ) y )  e.  x ) ) )
244, 23sylbi 195 . . . 4  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( x  e.  (SubRing `  O
)  <->  ( x  e.  (SubGrp `  O )  /\  ( 1r `  R
)  e.  x  /\  A. z  e.  x  A. y  e.  x  (
z ( .r `  O ) y )  e.  x ) ) )
2518, 20, 243bitr4d 285 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  ->  ( x  e.  (SubRing `  R
)  <->  x  e.  (SubRing `  O ) ) )
261, 5, 25pm5.21nii 353 . 2  |-  ( x  e.  (SubRing `  R
)  <->  x  e.  (SubRing `  O ) )
2726eqriv 2463 1  |-  (SubRing `  R
)  =  (SubRing `  O
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   .rcmulr 14556  SubGrpcsubg 16000   1rcur 16955   Ringcrg 17000  opprcoppr 17072  SubRingcsubrg 17225
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-subg 16003  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-subrg 17227
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator