Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprrngb Structured version   Unicode version

Theorem opprrngb 17094
 Description: Bidirectional form of opprrng 17093. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 oppr
Assertion
Ref Expression
opprrngb

Proof of Theorem opprrngb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . 3 oppr
21opprrng 17093 . 2
3 eqid 2467 . . . 4 oppr oppr
43opprrng 17093 . . 3 oppr
5 eqidd 2468 . . . . 5
6 eqid 2467 . . . . . . . 8
71, 6opprbas 17091 . . . . . . 7
83, 7opprbas 17091 . . . . . 6 oppr
98a1i 11 . . . . 5 oppr
10 eqid 2467 . . . . . . . . 9
111, 10oppradd 17092 . . . . . . . 8
123, 11oppradd 17092 . . . . . . 7 oppr
1312oveqi 6298 . . . . . 6 oppr
1413a1i 11 . . . . 5 oppr
15 eqid 2467 . . . . . . . 8
16 eqid 2467 . . . . . . . 8 oppr oppr
177, 15, 3, 16opprmul 17088 . . . . . . 7 oppr
18 eqid 2467 . . . . . . . 8
196, 18, 1, 15opprmul 17088 . . . . . . 7
2017, 19eqtr2i 2497 . . . . . 6 oppr
2120a1i 11 . . . . 5 oppr
225, 9, 14, 21rngpropd 17043 . . . 4 oppr
2322trud 1388 . . 3 oppr
244, 23sylibr 212 . 2
252, 24impbii 188 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 369   wceq 1379   wtru 1380   wcel 1767  cfv 5588  (class class class)co 6285  cbs 14493   cplusg 14558  cmulr 14559  crg 17012  opprcoppr 17084 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-oppr 17085 This theorem is referenced by:  opprdrng  17232  opprsubrg  17262  rhmopp  27569
 Copyright terms: Public domain W3C validator