Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprrng Structured version   Unicode version

Theorem opprrng 17064
 Description: An opposite ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
opprbas.1 oppr
Assertion
Ref Expression
opprrng

Proof of Theorem opprrng
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opprbas.1 . . . 4 oppr
2 eqid 2467 . . . 4
31, 2opprbas 17062 . . 3
43a1i 11 . 2
5 eqid 2467 . . . 4
61, 5oppradd 17063 . . 3
76a1i 11 . 2
8 eqidd 2468 . 2
9 rnggrp 16991 . . 3
103, 6grpprop 15870 . . 3
119, 10sylib 196 . 2
12 eqid 2467 . . . 4
13 eqid 2467 . . . 4
142, 12, 1, 13opprmul 17059 . . 3
152, 12rngcl 16999 . . . 4
16153com23 1202 . . 3
1714, 16syl5eqel 2559 . 2
18 simpl 457 . . . . 5
19 simpr3 1004 . . . . 5
20 simpr2 1003 . . . . 5
21 simpr1 1002 . . . . 5
222, 12rngass 17002 . . . . 5
2318, 19, 20, 21, 22syl13anc 1230 . . . 4
2423eqcomd 2475 . . 3
2514oveq1i 6292 . . . 4
262, 12, 1, 13opprmul 17059 . . . 4
2725, 26eqtri 2496 . . 3
282, 12, 1, 13opprmul 17059 . . . . 5
2928oveq2i 6293 . . . 4
302, 12, 1, 13opprmul 17059 . . . 4
3129, 30eqtri 2496 . . 3
3224, 27, 313eqtr4g 2533 . 2
332, 5, 12rngdir 17005 . . . 4
3418, 20, 19, 21, 33syl13anc 1230 . . 3
352, 12, 1, 13opprmul 17059 . . 3
362, 12, 1, 13opprmul 17059 . . . 4
3714, 36oveq12i 6294 . . 3
3834, 35, 373eqtr4g 2533 . 2
392, 5, 12rngdi 17004 . . . 4
4018, 19, 21, 20, 39syl13anc 1230 . . 3
412, 12, 1, 13opprmul 17059 . . 3
4236, 28oveq12i 6294 . . 3
4340, 41, 423eqtr4g 2533 . 2
44 eqid 2467 . . 3
452, 44rngidcl 17006 . 2
462, 12, 1, 13opprmul 17059 . . 3
472, 12, 44rngridm 17010 . . 3
4846, 47syl5eq 2520 . 2
492, 12, 1, 13opprmul 17059 . . 3
502, 12, 44rnglidm 17009 . . 3
5149, 50syl5eq 2520 . 2
524, 7, 8, 11, 17, 32, 38, 43, 45, 48, 51isrngd 17020 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cfv 5586  (class class class)co 6282  cbs 14486   cplusg 14551  cmulr 14552  cgrp 15723  cur 16943  crg 16986  opprcoppr 17055 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-sets 14492  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-mgp 16932  df-ur 16944  df-rng 16988  df-oppr 17056 This theorem is referenced by:  opprrngb  17065  mulgass3  17070  1unit  17091  unitmulcl  17097  unitnegcl  17114  irredlmul  17141  isdrngrd  17205  issrngd  17293  2idlcpbl  17664  opprnzr  17694  ply1divalg2  22274  lduallmodlem  33949
 Copyright terms: Public domain W3C validator