MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprmulfval Structured version   Unicode version

Theorem opprmulfval 16835
Description: Value of the multiplication operation of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprval.1  |-  B  =  ( Base `  R
)
opprval.2  |-  .x.  =  ( .r `  R )
opprval.3  |-  O  =  (oppr
`  R )
opprmulfval.4  |-  .xb  =  ( .r `  O )
Assertion
Ref Expression
opprmulfval  |-  .xb  = tpos  .x.

Proof of Theorem opprmulfval
StepHypRef Expression
1 opprmulfval.4 . 2  |-  .xb  =  ( .r `  O )
2 opprval.2 . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .r `  R )
3 fvex 5804 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  R )  e. 
_V
42, 3eqeltri 2536 . . . . . 6  |-  .x.  e.  _V
54tposex 6884 . . . . 5  |- tpos  .x.  e.  _V
6 mulrid 14398 . . . . . 6  |-  .r  = Slot  ( .r `  ndx )
76setsid 14328 . . . . 5  |-  ( ( R  e.  _V  /\ tpos  .x. 
e.  _V )  -> tpos  .x.  =  ( .r `  ( R sSet  <. ( .r `  ndx ) , tpos  .x.  >. )
) )
85, 7mpan2 671 . . . 4  |-  ( R  e.  _V  -> tpos  .x.  =  ( .r `  ( R sSet  <. ( .r `  ndx ) , tpos  .x.  >. )
) )
9 opprval.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  R
)
10 opprval.3 . . . . . 6  |-  O  =  (oppr
`  R )
119, 2, 10opprval 16834 . . . . 5  |-  O  =  ( R sSet  <. ( .r `  ndx ) , tpos  .x.  >. )
1211fveq2i 5797 . . . 4  |-  ( .r
`  O )  =  ( .r `  ( R sSet  <. ( .r `  ndx ) , tpos  .x.  >. )
)
138, 12syl6reqr 2512 . . 3  |-  ( R  e.  _V  ->  ( .r `  O )  = tpos  .x.  )
14 tpos0 6880 . . . . 5  |- tpos  (/)  =  (/)
156str0 14325 . . . . 5  |-  (/)  =  ( .r `  (/) )
1614, 15eqtr2i 2482 . . . 4  |-  ( .r
`  (/) )  = tpos  (/)
17 fvprc 5788 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  (oppr `  R )  =  (/) )
1810, 17syl5eq 2505 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  O  =  (/) )
1918fveq2d 5798 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( .r `  O )  =  ( .r `  (/) ) )
20 fvprc 5788 . . . . . 6  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( .r `  R )  =  (/) )
212, 20syl5eq 2505 . . . . 5  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  .x.  =  (/) )
2221tposeqd 6853 . . . 4  |-  ( -.  R  e.  _V  -> tpos  .x.  = tpos 
(/) )
2316, 19, 223eqtr4a 2519 . . 3  |-  ( -.  R  e.  _V  ->  ( .r `  O )  = tpos  .x.  )
2413, 23pm2.61i 164 . 2  |-  ( .r
`  O )  = tpos  .x.
251, 24eqtri 2481 1  |-  .xb  = tpos  .x.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3072   (/)c0 3740   <.cop 3986   ` cfv 5521  (class class class)co 6195  tpos ctpos 6849   ndxcnx 14284   sSet csts 14285   Basecbs 14287   .rcmulr 14353  opprcoppr 16832
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-tpos 6850  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-sets 14293  df-mulr 14366  df-oppr 16833
This theorem is referenced by:  opprmul  16836
  Copyright terms: Public domain W3C validator