MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opprdrng Structured version   Unicode version

Theorem opprdrng 17196
Description: The opposite of a division ring is also a division ring. (Contributed by NM, 18-Oct-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
opprdrng.1  |-  O  =  (oppr
`  R )
Assertion
Ref Expression
opprdrng  |-  ( R  e.  DivRing 
<->  O  e.  DivRing )

Proof of Theorem opprdrng
StepHypRef Expression
1 opprdrng.1 . . . 4  |-  O  =  (oppr
`  R )
21opprrngb 17058 . . 3  |-  ( R  e.  Ring  <->  O  e.  Ring )
32anbi1i 695 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (Unit `  R )  =  ( ( Base `  R
)  \  { ( 0g `  R ) } ) )  <->  ( O  e.  Ring  /\  (Unit `  R
)  =  ( (
Base `  R )  \  { ( 0g `  R ) } ) ) )
4 eqid 2460 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
5 eqid 2460 . . 3  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  R )
6 eqid 2460 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
74, 5, 6isdrng 17176 . 2  |-  ( R  e.  DivRing 
<->  ( R  e.  Ring  /\  (Unit `  R )  =  ( ( Base `  R )  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
81, 4opprbas 17055 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  O )
95, 1opprunit 17087 . . 3  |-  (Unit `  R )  =  (Unit `  O )
101, 6oppr0 17059 . . 3  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  O
)
118, 9, 10isdrng 17176 . 2  |-  ( O  e.  DivRing 
<->  ( O  e.  Ring  /\  (Unit `  R )  =  ( ( Base `  R )  \  {
( 0g `  R
) } ) ) )
123, 7, 113bitr4i 277 1  |-  ( R  e.  DivRing 
<->  O  e.  DivRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    \ cdif 3466   {csn 4020   ` cfv 5579   Basecbs 14479   0gc0g 14684   Ringcrg 16979  opprcoppr 17048  Unitcui 17065   DivRingcdr 17172
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-0g 14686  df-mnd 15721  df-grp 15851  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-drng 17174
This theorem is referenced by:  isdrngrd  17198  lduallvec  33826
  Copyright terms: Public domain W3C validator