Theorem opprc1b 3542

Description: A property of an ordered pair of proper classes (due to our particular definition of ordered pair).

Assertion

Ref	Expression
opprc1b	|- (-. A e. _V <-> (/) e. <.A, B>.)

Proof of Theorem opprc1b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprc1 3170	. . 3 |- (-. A e. _V -> <.A, B>. = {(/), {B}})
2		0ex 3446	. . . 4 |- (/) e. _V
3	2	prid1 3106	. . 3 |- (/) e. {(/), {B}}
4	1, 3	syl5eleqr 1978	. 2 |- (-. A e. _V -> (/) e. <.A, B>.)
5		opeq1 3158	. . . . . 6 |- (x = A -> <.x, B>. = <.A, B>.)
6	5	eleq2d 1964	. . . . 5 |- (x = A -> ((/) e. <.x, B>. <-> (/) e. <.A, B>.))
7	6	notbid 673	. . . 4 |- (x = A -> (-. (/) e. <.x, B>. <-> -. (/) e. <.A, B>.))
8		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
9	8	snnz 3119	. . . . . . . 8 |- {x} =/= (/)
10		df-ne 2019	. . . . . . . 8 |- ({x} =/= (/) <-> -. {x} = (/))
11	9, 10	mpbi 206	. . . . . . 7 |- -. {x} = (/)
12		eqcom 1886	. . . . . . 7 |- ({x} = (/) <-> (/) = {x})
13	11, 12	mtbi 208	. . . . . 6 |- -. (/) = {x}
14	8	prnz 3120	. . . . . . . 8 |- {x, B} =/= (/)
15		df-ne 2019	. . . . . . . 8 |- ({x, B} =/= (/) <-> -. {x, B} = (/))
16	14, 15	mpbi 206	. . . . . . 7 |- -. {x, B} = (/)
17		eqcom 1886	. . . . . . 7 |- ({x, B} = (/) <-> (/) = {x, B})
18	16, 17	mtbi 208	. . . . . 6 |- -. (/) = {x, B}
19	13, 18	pm3.2ni 640	. . . . 5 |- -. ((/) = {x} \/ (/) = {x, B})
20	2	elop 3528	. . . . 5 |- ((/) e. <.x, B>. <-> ((/) = {x} \/ (/) = {x, B}))
21	19, 20	mtbir 209	. . . 4 |- -. (/) e. <.x, B>.
22	7, 21	vtoclg 2346	. . 3 |- (A e. _V -> -. (/) e. <.A, B>.)
23	22	con2i 113	. 2 |- ((/) e. <.A, B>. -> -. A e. _V)
24	4, 23	impbii 174	1 |- (-. A e. _V <-> (/) e. <.A, B>.)

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   \/ wo 239   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  _Vcvv 2292  (/)c0 2875  {csn 3044  {cpr 3045  <.cop 3046

This theorem is referenced by:  opprc3 3543  opeqex 3544  opth2 3546  0nelelxp 4067  onxpdisjOLD 4069  dmsnopOLD 4368  funopg 4454

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-nul 3445

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-nul 2876  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053

Copyright terms: Public domain