MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppr0 Structured version   Unicode version

Theorem oppr0 17492
Description: Additive identity of an opposite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
opprbas.1  |-  O  =  (oppr
`  R )
oppr0.2  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
Assertion
Ref Expression
oppr0  |-  .0.  =  ( 0g `  O )

Proof of Theorem oppr0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2400 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2 eqid 2400 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  R )
3 oppr0.2 . . 3  |-  .0.  =  ( 0g `  R )
41, 2, 3grpidval 16101 . 2  |-  .0.  =  ( iota y ( y  e.  ( Base `  R
)  /\  A. x  e.  ( Base `  R
) ( ( y ( +g  `  R
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  R
) y )  =  x ) ) )
5 opprbas.1 . . . 4  |-  O  =  (oppr
`  R )
65, 1opprbas 17488 . . 3  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  O )
75, 2oppradd 17489 . . 3  |-  ( +g  `  R )  =  ( +g  `  O )
8 eqid 2400 . . 3  |-  ( 0g
`  O )  =  ( 0g `  O
)
96, 7, 8grpidval 16101 . 2  |-  ( 0g
`  O )  =  ( iota y ( y  e.  ( Base `  R )  /\  A. x  e.  ( Base `  R ) ( ( y ( +g  `  R
) x )  =  x  /\  ( x ( +g  `  R
) y )  =  x ) ) )
104, 9eqtr4i 2432 1  |-  .0.  =  ( 0g `  O )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   A.wral 2751   iotacio 5485   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Basecbs 14731   +g cplusg 14799   0gc0g 14944  opprcoppr 17481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-tpos 6910  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-sets 14737  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-0g 14946  df-oppr 17482
This theorem is referenced by:  opprneg  17494  opprdrng  17630  isdrngrd  17632  srng0  17719  opprdomn  18160  fidomndrng  18166  ldual0  32129  lcd0  34592
  Copyright terms: Public domain W3C validator