Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppperpex Structured version   Unicode version

Theorem oppperpex 24782
 Description: Restating colperpex 24762 using the "opposite side of a line" relation. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hpg.p
hpg.d
hpg.i Itv
hpg.o
opphl.l LineG
opphl.d
opphl.g TarskiG
opphl.k hlG
oppperpex.1
oppperpex.2
oppperpex.3
oppperpex.4 DimTarskiG
Assertion
Ref Expression
oppperpex ⟂G
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)   (,,)

Proof of Theorem oppperpex
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprrl 772 . . . . 5 ⟂G ⟂G
2 hpg.p . . . . . . 7
3 hpg.i . . . . . . 7 Itv
4 opphl.l . . . . . . 7 LineG
5 opphl.g . . . . . . . 8 TarskiG
65ad2antrr 730 . . . . . . 7 TarskiG
7 opphl.d . . . . . . . . 9
87ad2antrr 730 . . . . . . . 8
9 oppperpex.1 . . . . . . . . 9
109ad2antrr 730 . . . . . . . 8
112, 4, 3, 6, 8, 10tglnpt 24581 . . . . . . 7
12 simplr 760 . . . . . . . 8
132, 4, 3, 6, 8, 12tglnpt 24581 . . . . . . 7
14 simpr 462 . . . . . . 7
152, 3, 4, 6, 11, 13, 14, 14, 8, 10, 12tglinethru 24668 . . . . . 6
1615adantr 466 . . . . 5 ⟂G
171, 16breqtrrd 4447 . . . 4 ⟂G ⟂G
18 oppperpex.3 . . . . . . 7
1918ad3antrrr 734 . . . . . 6 ⟂G
20 hpg.d . . . . . . 7
216adantr 466 . . . . . . 7 ⟂G TarskiG
228adantr 466 . . . . . . 7 ⟂G
2310adantr 466 . . . . . . 7 ⟂G
24 simprl 762 . . . . . . 7 ⟂G
252, 20, 3, 4, 21, 22, 23, 24, 17footne 24752 . . . . . 6 ⟂G
2614ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⟂G
2726neneqd 2625 . . . . . . . . . . . . . 14 ⟂G
28 simprrl 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ⟂G
2928orcomd 389 . . . . . . . . . . . . . . 15 ⟂G
3029ord 378 . . . . . . . . . . . . . 14 ⟂G
3127, 30mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ⟂G
3215ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . 13 ⟂G
3331, 32eleqtrrd 2513 . . . . . . . . . . . 12 ⟂G
34 simprrr 773 . . . . . . . . . . . 12 ⟂G
3533, 34jca 534 . . . . . . . . . . 11 ⟂G
3635ex 435 . . . . . . . . . 10 ⟂G
3736reximdv2 2896 . . . . . . . . 9 ⟂G
3837imp 430 . . . . . . . 8 ⟂G
3938anasss 651 . . . . . . 7 ⟂G
4039anasss 651 . . . . . 6 ⟂G
4119, 25, 40jca31 536 . . . . 5 ⟂G
42 hpg.o . . . . . . . . 9
43 oppperpex.2 . . . . . . . . . . 11
4443ad2antrr 730 . . . . . . . . . 10
4544ad2antrr 730 . . . . . . . . 9 ⟂G
46 simplr 760 . . . . . . . . 9 ⟂G
472, 20, 3, 42, 45, 46islnopp 24768 . . . . . . . 8 ⟂G
4847adantr 466 . . . . . . 7 ⟂G
4948anasss 651 . . . . . 6 ⟂G
5049anasss 651 . . . . 5 ⟂G
5141, 50mpbird 235 . . . 4 ⟂G
5217, 51jca 534 . . 3 ⟂G ⟂G
53 oppperpex.4 . . . . 5 DimTarskiG
5453ad2antrr 730 . . . 4 DimTarskiG
552, 20, 3, 4, 6, 11, 13, 44, 14, 54colperpex 24762 . . 3 ⟂G
5652, 55reximddv 2901 . 2 ⟂G
572, 3, 4, 5, 7, 9tglnpt2 24673 . 2
5856, 57r19.29a 2970 1 ⟂G
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   wceq 1437   wcel 1868   wne 2618  wrex 2776   cdif 3433   class class class wbr 4420  copab 4478   crn 4851  cfv 5598  (class class class)co 6302  c2 10660  cbs 15109  cds 15187  TarskiGcstrkg 24465  DimTarskiG≥cstrkgld 24469  Itvcitv 24471  LineGclng 24472  hlGchlg 24632  ⟂Gcperpg 24727 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-pm 7480  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8375  df-cda 8599  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-n0 10871  df-z 10939  df-uz 11161  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-hash 12516  df-word 12657  df-concat 12659  df-s1 12660  df-s2 12935  df-s3 12936  df-trkgc 24483  df-trkgb 24484  df-trkgcb 24485  df-trkgld 24487  df-trkg 24488  df-cgrg 24543  df-leg 24615  df-mir 24685  df-rag 24726  df-perpg 24728 This theorem is referenced by:  lnperpex  24832
 Copyright terms: Public domain W3C validator